Deflexión de una viga PDF

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Universidad Iberoamericana

Informe Deflexión de una Viga

Ecuaciones Diferenciales

Prof: Osiris Decena

Erick Violand

18-0100

Miguel Linares

18-0465

Alexander Polanco

Martes 16/4/2019

Indice

Introducción

3

Antecedentes

3

Definiciones

4

Definición de problema mediante ecuaciones diferenciales

4

Modelo Físico

7

Referencias:

8

Introducción Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene las derivadas de una o más funciones dependientes de una o más variables independientes. (Zill & Wright, 2012). Cuando una

ecuación diferencial tiene infinitas soluciones se pueden plantear condiciones iniciales para que la solución se cumpla en valores específicos. Las ecuaciones diferenciales tienen distintas áreas en las que se pueden aplicar y este informe trata sobre la deflexión de una viga y cómo pueden aplicarse ecuaciones diferenciales para resolver estos problemas. Las vigas son un elemento bastante importante cuando se habla sobre la construcción de estructuras. Hoy en día son muy fundamentales en la ingeniería debido a que son la base y soporte de la mayoría de edificaciones, puentes y otras estructuras que tenemos hoy en día. Las vigas soportan el peso de otras cargas estructurales e incluso hasta de su propio peso y esto resulta en que la viga se flexiona. Para poder entender cómo se soluciona este tipo de ecuación y se encuentra la deflexión de la viga primero hay que definir ciertos términos que constituyen el problema y entender cómo se llega a una ecuación diferencial de cuarto orden y luego poder resolverla. Esta aplicación tiene muchos usos importantes hoy en día tales como: -Cálculo de punto máximo de deflexión -Aplicación en diseño de estructuras -Ubicación de puntos estratégicos donde colocar aros -Optimización de materiales El objetivo principal de este informe es entender cómo se utiliza una ecuación diferencial de cuarto orden para encontrar la deflexión de la viga.

Antecedentes La aplicación de las ecuaciones diferenciales para encontrar la deflexión de una viga es una aplicación muy importante en el mundo de la ingeniería civil. Debido a esto ya se han realizado numerosas investigaciones acerca de las vigas, su deflexión y cómo resolverlas y utilizaremos algunos de estos trabajos como base para este informe. Estos trabajos son: -Aplicación de las ecuaciones diferenciales en problemas de deflexión en vigas. Escrito por Ana Márquez et al. Universidad de la Costa. -Ecuaciones Diferenciales con problemas con valores en la frontera. 8va edición. Escrita por Dennis Zill y Warren Wright. -Deflexión de una viga aplicación de ecuaciones diferenciales. Escrito por Irvin Salcido et al. Universidad Autónoma de Chihuahua.

Definiciones Una viga es una estructura horizontal que puede sostener carga entre dos laterales sin crear empuje lateral sobre estos. Son elementos lineales, alargados y son sometidos a un estado de tensión planas, es decir a fuerzas o momentos que tienen sus vectores perpendiculares al eje de la barra. Las vigas son las encargadas de recibir las cargas de los elementos que se encuentren sobre ella y al mismo tiempo transmitir éstas cargas a las columnas de la estructura. Las cargas que actúan sobre una viga ocasionan que este se flexione, con lo que su eje se deforma en una curva. La deflexión de una viga en cualquier punto a lo largo de su eje es el desplazamiento de ese punto desde su posición original, medido en la dirección de las coordenadas en y^2. (Ana Márquez et al.) El módulo de elasticidad es una constante elástica que caracteriza a los materiales y depende de la constitución de este. Estudiado por Thomas Young en 1807, es definido como el esfuerzo necesario para producir una deformación unitaria, la cual es una medida de la rigidez de los materiales. (Ana Márquez et al.) El momento de inercia es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia.

Definición de problema mediante ecuaciones diferenciales Primero consideremos que tenemos una viga de longitud L que es homogénea y tiene secciones transversales uniformes a lo largo de su longitud. En ausencia de carga en la viga, una curva que une los centroides de todas sus secciones transversales es una recta conocida como eje de simetría.

Si se le aplica una carga a la viga en un plano vertical que contiene al eje de simetría, la viga experimenta una distorsión y la curva que conecta los centroides de todas sus secciones transversales se llama curva de deflexión o curva elástica.

La curva de deflexión se aproxima a la forma de una viga y supongamos que el eje x coincide con el eje de simetría y que la deflexión y(x), medida desde este eje, es positiva si es hacia abajo. En la teoría de elasticidad se muestra el momento de flexión M(x) en un punto x a lo largo de la viga se relaciona con la carga por unidad de longitud w(x) mediante la ecuación:

El momento de flexión M(x) es proporcional a la curvatura K de la curva elástica:

Aquí E e I son constantes definidas anteriormente; E es el módulo de Young de elasticidad del material de la viga e I es el momento de inercia de una sección transversal de la viga. El producto EI se llama rigidez flexional de la viga. La curvatura K está dada por K= y” / [ 1 + (y’)^2 ] ^ 3/2. Cuando la deflexión y(x) es pequeña, la pendiente es aproximadamente 0 y por tan K es aproximadamente 1 y si se permite que K sea aproximadamente y” entonces nos quedará que M = EIy”. Y nos queda esta ecuación:

Y si reemplazamos que esto satisface la ecuación de cuarto orden:

Algo muy importante para resolver esta ecuación diferencial es que hay distintos casos de

valores iniciales y estas dependen del estado en el que se encuentren los extremos de la viga con respecto a donde están apoyados. La viga puede estar empotrada, libre o simplemente apoyada. Cada estado en el que está un extremo presenta dos condiciones iniciales y se utilizan cuatro condiciones para cada viga, las cuales están evaluadas en x = 0 y x = L. Esta imagen muestra el significado de cada estado en el que pueden estar los extremos.

Y esta tabla muestra cuales son los valores iniciales a tomar:

Modelo Físico

Referencias: -Aplicación de las ecuaciones diferenciales en problemas de deflexión en vigas. Escrito por Ana Márquez et al. Universidad de la Costa. -Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales. Escrito por Dylana Paniagua. Universidad Latina. -Ecuaciones Diferenciales con problemas con valores en la frontera. 8va edición. Escrita por Dennis Zill y Warren Wright. -Deflexión de una viga aplicación de ecuaciones diferenciales. Escrito por Irvin Salcido et al. Universidad Autónoma de Chihuahua....