Deflexión en una viga en voladizo PDF

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Summary

Consiste en analizar la deflexión máxima presente en una viga apoyada en voladizo , la cuál está sometida a una carga....

Description

!

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE

Mecánica de Materiales II Informe N° 2

INTEGRANTES: Francisco Salazar Leo Mejía Dennis Bolaños Jesús Mendoza

NRC: 2116

FECHA: 21/10/2019 ! ! ! ! !

Tema:&Viga!en!voladizo! ! 1. Objetivo! Analizar!la!deflexión!máxima!en!una!viga!en!voladizo! 2. Marco&Teórico! ! ! ! ! ! ! ! DEFLEXIÓN Desplazamiento (δ), de un punto de la viga cuando se aplica una fuerza. Existen fórmulas teóricas que permiten determinarla, en función de la fuerza P, la longitud L, el módulo de elasticidad del material E y el momento de inercia de la sección I. ELÁSTICA DE LA VIGA La curva que adopta el eje longitudinal deformado de la viga, cuando se aplica una fuerza. Existen ecuaciones teóricas que permiten determinarla, en función de la abscisa X, la fuerza P, la longitud L, el módulo de elasticidad E y el momento de inercia de la sección I. Viga&en&voladizo& Cantilever! vigas! son! miembros! que! son! compatibles! desde! un! único! punto! solamente;! típicamente!con!un!soporte!fijo.!A!fin!de!asegurar!la!estructura!es!estático,!el!apoyo!debe!fijarse;! lo!que!significa!que!es!capaz!de!soportar!fuerzas!y!momentos!en!todas!las!direcciones.!Una!viga! en!voladizo!es!generalmente!modelada!como!tal:!

&

Un!buen!ejemplo!de!una!viga!en!voladizo!es!un!balcón.!Un!balcón!está!soportado!en!un!extremo! solamente,!el!resto!de!la!viga!se!extiende!sobre!el!espacio!abierto;!no!hay!nada!apoyándolo!en! el!otro!lado.![1]!! Deflexión&de&una&viga&en&voladizo&

& 3. Equipo! !

• Calibrador!pie!de!rey,!micrómetro,!flexómetro! • Vigas!de!aluminio!de!sección!rectangular,!en!C! • Pesos!de!diferente!valor! • Comparadores!de!reloj! • Vigas!en!voladizo! ! ! 4. Procedimiento&& & !

! ! ! ! !

!

1. Medir!las!dimensiones!de!la!sección!transversal!(ancho,!altura)!y!la! longitud!

2. Colocar!la!viga!en!forma!tal!que!la!fuerza!P!se!aplique! de!la!siguiente!forma!3.!

1. Aplicar!una!carga!P!en!el!extremo!libre!de!la!viga,!midiendo!las!deflexiones! DA,! DB en los comparadores de reloj 2. Para!determinar!la!deflexión!práctica!utilizar!la!siguiente!expresión! ! d = (DA+DB) / 2 & 5. Cálculos

Primero!se!realizaran!los!cálculos!para!la!viga!número!uno.! ! Orientación!de!la!viga:!180°! ! d1 (DA)! d2 (DB)! Masa!utilizada!(Kg)! 1! 0,59! 0,55! 2! 1,07! 1,07! 3! 1,62! 1,63! !

dt! 0,57! 1,07! 1,625!

! Orientación!de!la!viga:!270°!

Masa!utilizada!(Kg)! 1! 2! 3!

d1 (DA)! 3,39! 6,88! 10,58!

d2 (DB)! 3,39! 6,90! 10,57!

dt! 3,39! 6,89! 10,575!

! ! A!continuación!se!realizaran!los!mismos!cálculos!para!la!viga!numero!dos!

Orientación!de!la!viga:!180°! ! d1 (DA)! Masa!utilizada!(Kg)! 1! 0,48! 2! 1! 3! 1,52! !

d2 (DB)! 0,48! 1! 1,54!

dt! 0,48! 1! 1,53!

! Orientación!de!la!viga:!270°!

d1 (DA)! 0,2! 0,44! 0,68!

Masa!utilizada!(Kg)! 1! 2! 3!

d2 (DB)! 0,47! 0,97! 1,49!

dt! 0,335! 0,705! 1,085!

6. Preguntas

1. Determinar el momento de inercia de la sección transversal. •

Viga de sección en C Sección

Altura (h) 𝑚𝑚

Base (b) 𝑚𝑚

Área (A) 𝑚𝑚"

Y

A*Y

1 2 3

25.4 25.4 3.17 Σ

3.17 3.17 19.06

80.518 80.518 60.420 221.456

12.7 12.7 1.585 26.985

1022.5786 1022.5786 95.7657 2140.9229

𝐴∗𝑌

𝑌=

𝐴

2140.9229 = 9.6671𝑚𝑚 221.456

𝐼3 = 𝐼4 + 𝐼" + 𝐼6 = 𝑏4 ∗

ℎ66 ℎ6" ℎ46 + 𝐴6 ∗ 𝑑6" + 𝐴" ∗ 𝑑"" + 𝑏6 ∗ + 𝐴4 ∗ 𝑑4" + 𝑏" ∗ 12 12 12

𝐼: = 𝐼4 + 𝐼" + 𝐼6 = 𝑏4 ∗

ℎ46 ℎ6 ℎ6 + 𝐴4 ∗ 𝑑4" + 𝑏" ∗ " + 𝐴" ∗ 𝑑"" + 𝑏6 ∗ 6 + 𝐴6 ∗ 𝑑6" 12 12 12

𝐼3 = 2

3.17 ∗ 25.4 12

6

+ 80.518 ∗ 12.7 − 9.67

∗ 9.67 − 𝐼: = 2

•

=

25.4 ∗ 3.17 12

3.17 2

6

+ 80.518 ∗

"

+

19.06 ∗ 3.19 12

+ 60.420

"

= 14137.3351𝑚𝑚> 25.4 − 3.17 2

"

+

3.17 ∗ 19.06 12

6

= 21858.891𝑚𝑚>

Viga de sección rectangular

𝐼3 = 𝑏 ∗

6

ℎ6 25.4 = 9.5 ∗ 12 12

6

= 12973.092331𝑚𝑚>

𝐼: = 𝑏 ∗

ℎ6 12

= 25.4 ∗

9.5 12

6

= 1814.7771𝑚𝑚>

2. Consultar la ecuación de la elástica de la viga como función de x.

𝑀 = 𝐸𝐼 ∗

𝑑" 𝛿 𝑥 𝑑𝑥 "

donde,

𝐸 → 𝑀ó𝑑𝑢𝑙𝑜 1𝑑𝑒1𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 1 𝐼 → 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜1𝑑𝑒1𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎1 𝛿 → 𝑑𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛1 𝑀 → 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜1𝐹𝑙𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟

generando una doble integral, 𝑃(𝑥 − 𝐿) " 𝑑𝑥 𝐸𝐼

−𝛿 𝑥 =

−𝛿 𝑥 =

−𝛿 𝑥 =

1 𝐸𝐼

𝑃𝑥 " − 𝑃𝐿𝑥 + 𝐶4 1𝑑𝑥 2

1 𝑃𝑥 6 𝑃𝐿𝑥 " + 𝐶4 𝑥 + 𝐶" − 2 𝐸𝐼 6

de acuerdo a las condiciones iniciales, 𝛿 0 = 0 = 𝐶" 𝜃 0 = 0 = 𝐶4 resolviendo, −𝛿 𝑥 =

𝑃𝑥 " 𝑥 − 3𝐿 6𝐸𝐼

𝐸𝐼𝛿 𝑥 =

𝑃𝑥 " (3𝐿 − 𝑥) 6

como 𝑥 = 𝐿,

𝐸𝐼𝛿 𝑥 =

𝑃𝐿" (2𝐿) 6

𝛿 𝑥 =

𝑃𝐿6 3𝐸𝐼

3. Calcular la deflexión de la viga a 2/3 de la longitud respecto del empotramiento •

Viga de sección en C 𝛿 𝑥 =

𝑃𝐿6 3𝐸𝐼

ejemplo de cálculo 6 2 0.5001 3 ∗ 3 ∗ 9.81 = 3.6714𝑥 10Y> = 0.3671𝑚𝑚 𝛿 𝑥 = 14137.335 X 3 ∗ 70𝑥 10 ∗ 1000>

P (N) 1*9.81 2*9.81 3*9.81

•

𝛿1(𝑚𝑚) 0.122 0.244 0.367

Viga de sección rectangular

𝛿 𝑥 = ejemplo de cálculo,

𝑃𝐿6 3𝐸𝐼

6 2 0.4971 3 ∗ 1 ∗ 9.81 = 1.3097𝑥 10Y> 𝑚 = 0.1311𝑚𝑚 𝛿 𝑥 = 12973.09233 X 3 ∗ 70𝑥 10 ∗ 1000>

P (N) 1*9.81 2*9.81 3*9.81

𝛿1(𝑚𝑚) 0.1311 0.262 0.393

4. Comparar la deflexión máxima teórica con la práctica, en la viga. •

Viga de sección en C 𝐼3 = 14137.3351𝑚𝑚>

Peso aplicado kg 1 2 3

𝛿 Teórica 0.413 0.826 1.239

𝛿 Práctico promedio 0.48 1 1.53

Error relativo % 16.22 21.06 23.3

𝐼: = 21858.891𝑚𝑚>

Peso aplicado kg 1 2 3 •

𝛿 Teórica 0.267 0.534 0.801

𝛿 Práctico promedio 0.335 0.705 1.085

Error relativo % 25.4 32.02 35.4

Viga de sección rectangular 𝐼3 = 12973.092331𝑚𝑚>

Peso aplicado kg 1 2 3

𝛿 Teórica 0.442 0.884 1.326

𝛿 Práctico promedio 0.545 1.07 1.635

Error relativo 23.3 21.04 24.4

𝐼: = 1814.7771𝑚𝑚> Peso aplicado kg 1 2 3

𝛿 Teórica 3.16 6.32 9.48

𝛿 Práctico promedio 3.39 6.89 10.575

Error relativo % 7.28 9.02 11.55

5. Indicar la razón por la cual la práctica no se realiza aplicando la carga así"

Ya que la deflexión máxima de la viga no está aplicada en referencia a la línea neutra, por lo que aparte de causar deflexión se generaría un momento torsor debido al brazo de palanca generado, lo que llegaría a marcar otros valores que no son correspondientes a la práctica.

7. Conclusiones • El!valor!más!alto!de!deflexión!teórica!es!10,575!que!es!el!obtenido!al!cargar!3!Kg!en!la! viga!número!uno!con!una!orientación!de!270°,!analizando!esto,!se!debe!a!la!sección!de! la!viga!cuando!tiene!dicha!orientación.& • Para!la!viga!número!dos!con!orientación!de!270°,!se!observa!una!mayor!dispersión!en! los!valores!de!las!deflexiones,!por!lo!que!se!concluye!que!la!sección!de!esta!viga!en!esta! orientación!presenta!mayor!facilidad!a!la!deformación,!en!este!caso!deflexión.& • En!la!viga!en!voladizo!su!flecha!mayor!se!encuentra!en!el!extremo!!de!la!viga!siendo!ahí! donse!se!aplica!la!fuerza.& • Los valores prácticos promedios son cercanamente próximos a los valores teóricos de las deflexiones de las vigas, aunque con errores muy considerables menores al 35.4%, quizas debido a la apreciación del observador al tomar los datos respectivos.

8. Bibliografía& • (“Viga!en!voladizo!|!Software!de!Análisis!Estructural!Nube!SkyCiv,”!n.d.)& • (Gerab!&!Valério,!2014)& & & & !...