Z6Teilbarkeit 1&2 - Wintersemester PDF

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Wintersemester...

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Leitfragen -

Wie kann die Teilbarkeit einen Beitrag zum umfassenden Zahlverständnis beitragen? Warum kann man nicht durch Null teilen? Welche Teilbarkeitsregeln gibt es und wie können diese (grundschultauglich) veranschaulicht werden?

Ziele -

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Zerlegen von Zahlen  Additive Zerlegung  Zahl wird auf möglichst viele verschiedene Weisen als Summe zweier Zahlen dargestellt. z.B. zum Finden von Strategien für Addition und Subtraktion  Multiplikative Zerlegung  Zahl wird auf verschiedenen Weisen als Produkt zweier Zahlen dargestellt. z.B. zum Finden von Strategien für Multiplikation und Division Bedeutung für das Zahlverständnis  Wie kann man (mit Teilbarkeitsüberlegungen) sehen, dass  man anstelle durch 12 zu teilen auch durch 4 und dann durch 3 teilen kann (oder andersherum)?  13 nicht das Ergebnis von 36 – 24 sein kann?  man beim gerechten Aufteilen von 41 Gummibärchen Probleme bekommen wird?  Teilbarkeit als ein wesentlicher Teil der Zahlstruktur  Strukturelle Gliederung und reichere Vernetzung von Zahlverständnis  Beispiele  Was fällt Ihnen zu diesem Zahlenpaar auf? 24 und 36  Was wissen Sie über die Vielfachen von 2?  Was habe diese Zahlen gemeinsam? 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …

Grundbegriffe und Vorstellungen -

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Teiler 

Eine natürliche Zahl b heißt teilbar durch eine natürliche Zahl a (kurz: a|b, oder: a ist Teiler von b), wenn  es eine natürliche Zahl k gibt, so dass b = k • a.  man b Objekte ohne Rest auf a Gruppen „verteilen“ kann.  man b Plättchen auf a Bündel verteilen kann, ohne dass ein Plättchen übrig bleibt.  man b Objekte ohne Rest in Gruppen der Größe a „aufteilen“ kann.  man b Plättchen mit Bündeln mit jeweils a Plättchen legen kann, ohne dass ein Plättchen übrig bleibt. Vielfache  Eine natürliche Zahl b heißt Vielfaches der natürlichen Zahl a, wenn  es eine natürliche Zahl k gibt, so dass b = k • a.  man die Zahl b legen kann, indem man mehrere Bündel mit a Plättchen nebeneinander / untereinander legt.  man die Zahl b mit a Bündel legen kann, die alle gleich mächtig sind.  anders gesagt: wenn a ein Teiler von b ist.

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Spezialfälle  Für alle natürlichen Zahlen n gibt es zwei sog. „triviale Teiler“:  1 teilt n, weil n = q • 1 für q = n.  n teilt n, weil n = q • n für q = 1.  Teilbarkeit mit Null: Für alle natürlichen Zahlen n gilt:  n teilt 0, weil 0 = q • n für q = 0.  0 teilt niemals n (außer n=0), weil es keine natürlich Zahl q gibt, für die gilt, dass q • 0 = n. Primzahlen und Primfaktorzerlegung - Entdeckungen am Mal-Baum  In verschiedenen / allen Bäumen zu einer bestimmten Zahl kommen am Ende dieselben Zahlen gleich oft vor.  Die Zahlen, die als letzte Zahlen auftreten, haben genau zwei Teiler: die Eins und die Zahl selbst. - Primzahlen: Eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler hat (die Eins und die Zahl selbst) heißt Primzahl.  Die ersten Primzahlen heißen der Reihe nach: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, - Warum kommen immer dieselben Zahlen vor?  Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie  Jede natürliche Zahl kann man als Produkt von Primzahlen schreiben  und das geht (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) nur auf eine einzige Art und Weise.  Jede Primzahl, die im Primzahlprodukt der Zahl n auftaucht, heißt Primfaktor von n. - Was hat das mit Lernen in der Grundschule zu tun?  Ein gewisses „Gefühl“ dafür, dass z.B. 12, 48 und 63 etwas mit der Zahl 3 zu tun haben, die 71 aber nicht, gehört zur Orientierung im Zahlenraum.  Primzahlen bilden die „kleinsten Bausteine“ der natürlichen Zahlen bezüglich der Multiplikation.  Sich in dieser Struktur ein wenig auszukennen kann den Umgang mit Zahlen erleichtern. Teilbarkeitsregeln -

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Teilbarkeit von Summen  z.B. Wenn zwei Zahlen durch 3 teilbar sind, dann ist auch ihre Summe durch 3 teilbar.  Für alle natürlichen Zahlen a, b, c gilt: Wenn b und c durch a teilbar sind, dann ist auch b+c durch a teilbar. a|b und a|c ⇒ a|(b+c)  4 teilt 12 und 4 teilt 40, also teilt 4 auch 52 (= 12 + 40) Teilbarkeit von Differenzen  z.B. Wenn zwei Zahlen durch 4 teilbar sind, dann ist auch ihr Abstand durch 4 teilbar.  Für alle natürlichen Zahlen a, b, c mit b>c gilt: Wenn b und c durch a teilbar sind, dann ist auch b – c durch a teilbar. a|b und a|c ⇒ a|(b – c)  4 teilt 40 und 4 teilt 12, also teilt 4 auch 28 (= 40 – 12) Teilbarkeit von Produkten  z.B. Wenn eine Zahl durch 5 teilbar ist, dann ist auch jedes Vielfache der Zahl durch 5 teilbar.

Für alle natürlichen Zahlen a, b, c gilt: Wenn b durch a teilbar ist, dann ist auch b ∙ c durch a teilbar (c nicht zwingend durch a teilbar!). a|b ⇒ a|(b ∙ c)  4 teilt 12, also teilt 4 auch 5 ∙ 12 (= 60) Transitivität  Für alle natürlichen Zahlen a, b, c gilt: Wenn b durch a teilbar ist, und c durch b teilbar ist, dann ist c auch durch a teilbar. a|b und b|c ⇒ a|c  3 teilt 15 und 15 teilt 60, also teilt 3 auch 75 

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 Wofür braucht man diese Aussagen?  Zahlen können schnell und flexibel auf Teilbarkeit hin untersucht werden:  Ist 682 ohne Rest durch 11 teilbar? 11 teilt 660 Es bleiben noch 22. 11 teilt auch 22. Aufgrund der Summenregel gilt: 11 teilt 682  Ist 145 ohne Rest durch 7 teilbar? 7 teilt 140 Aufgrund der Differenzenregel müsste 7 dann auch 5 teilen.  Dies ist nicht der Fall, also teilt 7 auch nicht 145. (Widerspruchsbeweis) Quersummenregeln:  Für Zahldarstellung im Dezimalsystem folgenden zwei Quersummenregeln:  Zahl durch 9 teilbar, wenn Quersumme im Dezimalsystem durch 9 teilbar.  Zahl durch 3 teilbar, wenn Quersumme im Dezimalsystem durch 3 teilbar.  Unterschied (Differenz) zwischen einer Zahl und ihrer Quersumme  Unterschied zwischen einer Zahl und ihrer Quersumme im Dezimalsystem ist immer durch 9 (und somit 3, weil 3•3=9) teilbar. Warum? Zahl verändert sich immer um ein Vielfaches von 9, wenn ein Plättchen in eine benachbarte Spalte (in Stellenwerttafel) geschoben wird (Summenregel).  Beispiel:  135 792 durch 9 teilbar? o Quersumme von 135 792 ist 27. -> 27 ist durch 9 teilbar. o Wenn 27 Plättchen in die Einerspalte (Quersumme), dann haben wir eine Zahl, die durch 9 teilbar ist. o Wenn Plättchen jetzt so verschieben, dass die Zahl 135 792 erscheint, dann verändern wir die Zahl immer nur um ein Vielfaches von 9. -> Die Zahlen die entstehen sind also auch immer wieder alle durch 9 teilbar.  Alternierende Quersummenregel:  Für Teilbarkeit durch 11  Ziffern von rechts nach links werden abwechselnd subtrahiert und addiert  Bsp: 53647  Alternierende Quersumme: 7 – 4 + 6 – 3 + 5 = 11  Also ist 53 647 durch 11 teilbar. Endstellenregeln:  Um zu prüfen, ob eine Zahl durch 2, 5 oder 10 teilbar ist, reicht es, die letzte Stelle im Dezimalsystem (Einerstelle) anzusehen.  z.B. gibt es die folgenden Regeln:  Eine Zahl durch 2 teilbar, wenn letzte Stelle 0, 2, 4, 6 oder 8 ist.  Eine Zahl dann durch 5 (bzw. 10) teilbar, wenn letzte Ziffer im Dezimalsystem durch 5 (bzw. 10) teilbar.

Eine Zahl dann durch 4 (bzw. 25,…) teilbar, wenn letzten beiden Ziffern im Dezimalsystem gebildete Zahl durch 4 (bzw. 25,…) teilbar.  Eine Zahl dann durch 8 (bzw. 40,…) teilbar, wenn letzten drei Ziffern im Dezimalsystem gebildete Zahl durch 8 (bzw. 40,…) teilbar. Beispiel:  3412 = 34 H + 12 • 34 H (also 3400) ist durch 4 teilbar. (jeder Hunderter kann durch vier geteilt werden)  12 ist durch 4 teilbar  Deshalb auch 3412 (also 3400 + 12) durch 4 teilbar. (Summenregel) 

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Unterrichtsbeispiele zu Teilbarkeit und Teilbarkeit -

Die Vielfachen von 2 und 10 haben als „gerade Zahlen“ und „Zehnerzahlen“ spezielle, den Kindern bekannte Bezeichnungen. Auch die Vielfachen der 5 aufgrund der „Kraft der Fünf“ als spezielle Zahlen vorgekommen. Durch die besonderen Eigenschaften dieser Zahlen ist die Endstellenregel für die Kinder relativ leicht zu entdecken. Endstellenregel für 4 mit Hunderterfeld visualisierbar; Endstellenregel für 8 daraus ableitbar Zusammengesetzte Teilbarkeitsregeln Quersummenregel für 3 und 9 Argumentation mit konkreten Zahlen anhand der Stellenwerttafel Operative Übungen (als Vorarbeit): „Verändere die Zahl 1856 so, dass sie durch 3 teilbar ist.

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