Zadania 2 - prawdopodobieństwo warunkowe, całkowite, wzór Bayesa, niezależność zdarzeń PDF

Preview

Summary

zadania...

Description

2. Prawdopodobieństwo całkowite, warunkowe, wzór Bayesa. Niezależność zdarzeń (Ω, Σ, Ρ) - przestrzeń probabilistyczna; 𝑃(Ω) = 1, 𝑃(𝐴′ ) = 1 − 𝑃(𝐴), 𝐴 ∪ 𝐴′ = Ω, 𝐴 ∩ 𝐴′ = ∅, 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵), 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) − 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶 ) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 ), 𝑃(𝐴1 ∪ … ∪ 𝐴𝑛 ) = 1 − 𝑃(𝐴1′ ∩ … ∩ 𝐴′𝑛 ). A i B są niezależne, gdy 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵). Prawdopodobieństwo zdarzenia A, pod warunkiem zdarzenia B (gdy 𝑃(𝐵) > 0): 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) . 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐵) Niech 𝐴1 , … , 𝐴𝑛 jest rozbiciem Ω, tzn. ⋃ 𝑛𝑖=1 𝐴𝑖 = Ω i zbiory 𝐴𝑖 są parami rozłączne. Wtedy: 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴|𝐴1 )𝑃(𝐴1 ) + ⋯ + 𝑃(𝐴|𝐴𝑛 )𝑃(𝐴𝑛 ), (prawdopodobieństwo całkowite), 𝑃(𝐴𝑖 |𝐴) =

𝑃(𝐴|𝐴𝑖 )𝑃(𝐴𝑖 ) 𝑃(𝐴|𝐴𝑖 )𝑃(𝐴𝑖 ) , = 𝑃(𝐴|𝐴1 )𝑃(𝐴1 ) + ⋯ + 𝑃(𝐴|𝐴𝑛 )𝑃(𝐴𝑛 ) 𝑃(𝐴) (wzór Bayesa).

2.1. 14% ludzi używa produktu A, a 9% produktu B. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jakiś człowiek używa któregoś z tych produktów, jeśli każdy używa dokładnie jednego z nich? 2.2. Reklama dociera do 25% ludności przez TV i do 35% ludności przez radio. Obie formy reklamy docierają do 10% ludności. Jakie jest prawdopodobieństwo, że do danej osoby dotrze któraś z tych reklam? 2.3. W firmie jest 600 pracowników. 400 z nich ma wykształcenie wyższe, 300 z nich przeszło dodatkowe przeszkolenia, a 200 ma wykształcenie wyższe i przeszło dodatkowe przeszkolenia. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany pracownik ma wykształcenie wyższe i przeszedł dodatkowe przeszkolenie? A jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany pracownik ma wykształcenie wyższe albo przeszedł dodatkowe szkolenie (tzn. charakteryzuje się dokładnie jedną cechą z nich)? Określ prawdopodobieństwo z jakim przypadkowy pracownik posiada wykształcenie wyższe lub przeszkolenie. 2.4. Z badań ankietowych wynika, że w pewnym mieście 50% rodzin ma telewizor, 60% ma samochód, a 80% ma radio. Dodatkowo wiadomo, że 45% rodzin ma samochód i telewizor, 50% samochód i radio, a 40% radio i telewizor. Wśród badanych rodzin 40% z nich posiada wszystkie wspomniane uprzednio dobra na raz. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana rodzina ma przynajmniej jedno z tych urządzeń? A jakie, że nie ma żadnego z nich? 2.5. O zdarzeniach A, B wiadomo, że 𝐴 ∪ 𝐵 = Ω, prawdopodobieństwo zdarzenia A jest o 0,2 większe od prawdopodobieństwa zdarzenia B, a prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń A i B jest równe 0,3. Oblicz 𝑃(𝐴′ ) 𝑖 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ′ ). 2.6.

O zdarzeniach A i B wiemy, że 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵 ′ ), 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 4𝑃(𝐴 ∩ 𝐵). Oblicz 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵).

2.7. Rzucamy kostką do gry. Czy zdarzenie, że wypadnie parzysta liczba oczek jest niezależne od zdarzenia, że wypadło jedno lub dwa oczka?

2.8. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Niech A oznacza zdarzenie, że suma oczek jest większa niż 7, a B, że wartość bezwzględna różnicy oczek jest mniejsza niż 2. Czy te zdarzenia są niezależne? 2.9. Rzucamy jednocześnie dwiema rozróżnialnymi kostkami do gry. Określono następujące zdarzenia: A – na obu kostkach wypadła nieparzysta liczba oczek oraz B – tylko na jednej kostce wypadła liczba oczek większa od 4. Czy te zdarzenia są niezależne? 2.10. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymamy sumę oczek większą od 7, jeśli wiadomo, że tylko na jednej kostce wypadła liczba oczek równa 4? 2.11.

Zdarzenia 𝐴, 𝐵 ⊂ Ω są jednakowo prawdopodobne. Wiedząc, że prawdopodobieństwo zdarzenia 1

2

A|B jest równe , a zdarzenia 𝐴 ∪ 𝐵 równe 3, oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 ∩ 𝐵. 4

2.12. Są dwie urny. W pierwszej są 4 kule białe i 2 czarne, a w drugiej 2 białe i 3 czarne. Losujemy jedną kulę z urny pierwszej i wrzucamy ją do drugiej, a następnie losujemy jedną kulę z tej urny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy kulę białą? 2.13. Są trzy karty: jedna jest z obu stron biała, jedna z obu stron czerwona, a ostatnia z jednej strony biała, a z drugiej czerwona. Losujemy kartę i kładziemy ją na stół. Patrzymy i widzimy, że u góry jest strona koloru czerwonego. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta karta u dołu także jest czerwona? 2.14. Dwóch kolegów umówiło się na spotkanie. Każdy z nich przyjdzie na miejsce spotkania w losowo wybranym momencie pomiędzy 12h00 a 13h00 i będzie czekać na kolegę co najwyżej 15 minut. Jakie jest prawdopodobieństwo, że się spotkają, jeśli wiemy, że któryś z nich na pewno przyjdzie między 12h00 a 12h30? 2.15. Losujemy niezależnie od siebie dwie liczby z przedziału [0;1]. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jedna z nich jest większa niż 0.75, jeśli wiemy, że któraś z nich jest mniejsza od 0.25? 2.16. Losujemy niezależnie od siebie dwie liczby z przedziału [0;1]. Jakie jest prawdopodobieństwo, że któraś z nich należy do przedziału [0,4;0,6], jeśli wiemy, że jedna z nich jest mniejsza od 0,2? 2.17. Manufaktura pracuje na 3 zmiany. Zmiany I, II i III produkują odpowiednio: 200, 150 i 150 sztuk wyrobu. Prawdopodobieństwo wyprodukowania wadliwego produktu na tych zmianach wynoszą odpowiednio: 0,1, 0,1 i 0,3. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wyrób wylosowany z całej produkcji jest wadliwy. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosowany wadliwy wyrób wyprodukowała II zmiana. 2.18. Fabryka samochodów produkuje ten sam model w trzech kolorach: białym, czerwonym i żółtym w stosunku 25:10:15. Prawdopodobieństwo, że pojazd w czasie gwarancji będzie miał usterkę lakierniczą wynosi dla samochodu białego 0,03, dla czerwonego 0,02, dla żółtego 0,001. Ile pojazdów na 10000 wyprodukowanych będzie wymagać usunięcia usterki w okresie gwarancyjnym. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowany pojazd z usterką jest koloru białego? 2.19. Pasażer leci z miasta A do D, z przesiadkami w miastach B i C. Prawdopodobieństwo, że bagaż zginie w miastach B, C i D wynoszą odpowiednio 0.1, 0.2, 0.3. Po przylocie do D pasażer dowiedział się, że bagaż zaginął. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zaginął w mieście C? 2.20. Królewna Śnieżka dostała od macochy trzy jednakowe koszyki po dwa jabłka. Wie tylko, że w którymś są dwa trujące jabłka, w innym dwa zdrowe, a w ostatnim jedno zdrowe i jedno trujące. Królewna musi wybrać jedno jabłko i je zjeść. Do dyspozycji ma jednorazowy tester. Wylosowała jedno jabłko, ale tester pokazał, że jest ono trujące. Co ma zrobić królewna: wziąć drugie jabłko z tego samego czy z innego koszyka?...