Zadania - operacje na zbiorach i funkcje PDF

Preview

Summary

Zadania do Logiki i teorii mnogości...

Description

Zadania treningowe Joanna Golińska-Pilarek

Zadanie 1 Znajdź A ∩ B, A \ B, B \ A, (C \ A) ∩ (C \ B ), dla następujących zbiorów A, B i C: 1. A = {n ∈ N : n > 5}, B = {n ∈ N : n ≤ 100}, C = N 2. A = {n ∈ N : n nie jest liczbą pierwszą }, B = {n ∈ N : 3|n}, C = {n ∈ N : 2|n} 3. A = {n ∈ N : n2 < 13}, B = {n ∈ N : 5 < n2 }, C = N Zadanie 2 Sprawdź, czy dla dowolnych zbiorów zachodzą następujące własności. Jeśli równość zachodzi, przedstaw szczegółowy dowód. Jeśli równość nie zachodzi, podaj kontrprzykład i udowodnij, że jest on rzeczywiście kontrprzykładem. 1. A = B wtedy i tylko wtedy, gdy A ⊆ B oraz B ⊆ A 2. A ⊆ B wtedy i tylko wtedy, gdy A ∩ B = A 3. A ⊆ B wtedy i tylko wtedy, gdy A ∪ B = B 4. A \ B = A \ (A ∩ B) 5. A ∪ B = B ∪ A 6. A ∩ B = B ∩ A 7. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C 8. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C 9. (A \ B) ∩ B = ∅ 10. (A \ B) \ C ⊆ A \ (B \ C) 1

11. A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C 12. A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A \ C ) 13. (A ∪ B) \ C = (A \ C ) ∪ (B \ C) 14. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) 15. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) 16. A ∪ B = (A \ B) ∪ (B \ A) ∪ (A ∩ B ) 17. A \ B = A ∩ −B 18. −−A = A 19. (A ∪ B) ∩ −A = B \ A 20. A \ B = −(−A ∪ B) 21. (A \ B) \ (C \ D) ⊆ (A \ C) ∪ (D \ B) 22. Jeśli A ⊆ C oraz B ⊆ D, to A ∪ B ⊆ C ∪ D oraz A ∩ B ⊆ C ∩ D Zadanie S T3 Znajdź n∈N An i n∈N An , jeśli: 1. An = {x ∈ N : x ≤ n}

2. An = {x ∈ N : x > n2 } 3. An = {x ∈ R : |x − n| ≤ 1} 4. An = {x ∈ Z : x − n ≤ 3} 5. An = {x ∈ N : (n + 1) jest dzielnikiem x} 6. An = {x ∈ N : 2(n + 1) jest dzielnikiem x} 7. An = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1 +

1 }. n+1

W każdym przypadku udowodnij uzyskaną równość. Zadanie T S4 Znajdź n∈N\{0} An , n∈N\{0} An , gdzie dla n ∈ N \ {0} zbiory An to następujące przedziały: 1. (0, n1 ). 2

2. [0, n1 ]. 3. (− n1 , n1 ) 4. [−1 − n1 , 1 + n1 ]. 5. [−1 + n1 , 1 − n1 ]. 6. (− n1 , 1 − n1 ).   7. n − n1 , n + n1 .

,2+ 8. [ (−1) n n

(−1)n ]. n

9. [ (−1) , 2 + (−1)n ]. n h  1+ 1(−1)n+1 1+ 1 (−1)n ,1− 2 n 10. − 2 n . n

11.



n+1

−n1 , n +

(−1)n+1 n

12. (0, n).

i .

13. (− n1 , n). S 14. m∈N (m − n1 , m + n1 ).

W każdym przypadku udowodnij uzyskaną równość. Zadanie 5 Udowodnij, że: [ \ −At 1. − At = t∈T

t∈T

2. − 3.

\

t∈T

t∈T

−At

(At ∩ Bt ) =

[

(At ∪ Bt ) =

\

(At ∪ B) = B ∪

t∈T

5.

[

\

t∈T

4.

At =

t∈T

\

At ∩

[

At ∪

t∈T

t∈T

\

\

Bt

[

Bt

t∈T

t∈T

At

t∈T

3

6.

[

(At ∩ B) = B ∩

[

(At ∩ Bt ) ⊆

\

At ∪

t∈T

7.

t∈T

8.

t∈T

9.

\

t∈T

[[

At,s =

\\

At,s =

12.

At ∩

\

At ∪

t∈T

13.

[\

t∈T s∈S

At ∩

\

t∈T

[

Bt

t∈T

(At ∪ Bt )

[[

At,s

\\

At,s

s∈S t∈T

[

t∈T

At

t∈T

s∈S t∈T

t∈T s∈S

11.

t∈T

Bt ⊆

t∈T s∈S

10.

[

[

[

Bs =

\

Bs =

[[

(At ∩ Bs )

\\

(At ∪ Bs )

t∈T s∈S

s∈S

s∈S

At,s ⊆

t∈T s∈S

\[

At,s .

s∈S t∈T

Zadanie 6 Niech An,m = {x ∈ R : n2 ≤ x < m2 }, dla n, m ∈ N \ {0}. Znajdź: [ An,m 1. n,m

2.

\

An,m

n,m

3.

[\

An,m

\[

An,m

n

4.

n

m

m

W każdym przypadku udowodnij uzyskaną równość. Zadanie 7 Niech An,m = {x ∈ R : n2 ≤ x < m2 + (n + 1)2 }, dla n, m ∈ N. Znajdź: [ An,m 1. n,m

4

2.

\

An,m

n,m

3.

[\

An,m

\[

An,m

n

4.

n

m

m

W każdym przypadku udowodnij uzyskaną równość. Zadanie 8 Sprawdź, czy następujące zbiory są funkcjami. Udowodnij odpowiedź. 1. {hx, yi ∈ R × R : x2 = y 2 } 2. {hx, yi ∈ R+ × R+ : x2 = y 2 }, gdzie R+ oznacza zbiór dodatnich liczb rzeczywistych 3. {hx, yi ∈ N × Z : x2 = y 3 } 4. {hx, yi ∈ N × Z : x3 = y 2 } Zadanie 9 Niech f : R → R. Zbadaj, czy funkcja f zdefiniowana wzorem podanym poniżej jest różnowartościowa i „na”. W przypadku odpowiedzi pozytywnej, podaj dowód. W przypadku odpowiedzi negatywnej, podaj kontrprzykład i uzasadnij szczegółowo swoją odpowiedź. 1. f (x) = x2 + 1 2. f (x) = x + 3. 3. f (x) = 2x 4. f (x) = x3 ( 2x + 1 5. f (x) = x−1 0

dla x 6= 1

dla x = 1

6. f (x) = 2x + x 7. f (x) = 3x − 2x 8. f (x) =

2x +1

x2

5

9. f (x) = x2x Zadanie 10 Wyznacz następujące obrazy i przeciwobrazy: 1. f [[0, 1]], gdzie f : R → R, f (x) = x2 + 1 2. f [[0, 3]], gdzie f : R → R, f (x) = 3(x − 1)2 + 2. 3. f −1 [[0, 3]], gdzie f : R → R, f (x) = 2x2 + 5x − 5 4. f −1 [[0, √12 ]], gdzie f : R → R, f (x) = sin x 5. f [[0, 2]] \ {1}, gdzie f : R \ {1} → R, f (x) = 6. f −1 [(−∞, 2]], f : R → R, f (x) =

2 x−1

+3

1 x+1

7. f −1 [[3, +∞)], f : R+ → R, f (x) =

√

x2 + x + 1

Zadanie 11 Udowodnij, że funkcja f : N × N → N zdefiniowana wzorem f (n, k) =

(n + k)(n + k + 1) +n 2

jest bijekcją.

6...