Zginanie rozwiązane przykłady PDF

Preview

Summary

zginanie wytrzymałość materiałów przykłady...

Description

ĆWICZENIE 4 (27.10.) Zginanie proste (w jednej płaszczyźnie), naprężenia ekstremalne, projektowanie. Zadaniem jest obliczenie maksymalnych wartości naprężeń rozciągających i ściskających dla konstrukcji podanej na rys. 1a. o przekroju pokazanym na rys.2a.

Rys.1a.

I) Pierwszym krokiem w rozwiązywaniu tego zadania jest sporządzenie wykresu momentów zginających oraz wyznaczenie wartości ekstremalnych. Do znalezienia ekstremów lokalnych niezbędne jest również sporządzenie wykresu sił poprzecznych. Wykresy te zestawione są na rys.1b.

Rys.1b.

II)

Wyznaczenie geometrycznych charakterystyk przekroju

W przypadku gdy nie mamy podanych charakterytyk przekrojowych musimy je wyznaczyć. W tym celu dokonamy przybliżonego zamodelowania przekrojem złożonym z prostokątów i dla ćwiczenia wykonamy obliczenia prowadzące do określenia głównego centralnego momentu bezwładności przekroju.

Rys. 2b. Położenia środków ciężkości i pola składowych prostokątów:

yO 1 = t

= 6 mm , 2

A1 = ( b − 2t ) t = 276 ⋅ 12 mm2 = 3312 mm2 ,

yO 2 = h = 40 mm , 2

A2 = ht = 80 ⋅12 mm 2 = 960 mm2

yO 3 = h = 40 mm , 2

A3 = ht = 80 ⋅12 mm 2 = 960 mm 2

Położenia środka ciężkości całego przekroju: 3

∑y yO =

Ai

C i

i =1

= 18.48 mm

3

∑A

i

i =1

położenie włókien górnych i dolnych:

hg = yO = 18.48 mm , moment bezwładności J

hd = h − yO = 61.52 mm y

3

J z = ∑J z i i=1

gdzie stosujemy twierdzenie Steinera dla każdego prostokąta składowego:

(

J z i = J z i (Oi ) + Ai y O i − yO

)

2

Stąd otrzymujemy:

J z1 = 555.6 mm4 = 55.56 ⋅ 10−13 m4 , J z3 = J z 2 = 956.6 mm4 = 95.66 ⋅ 10−13 m4 J z = 2.47 ⋅ 10 −6 m4

III) Naprężenia

σx =

Mz Jz

y

Oś y nie jest osią symetrii przekroju, stąd konieczne staje się osobne rozważenie ekstremów momentów po stronie włókien górnych i po stronie włókien dolnych. g a) M max = 3.6 kNm

stąd bezwzględne wartości naprężeń we wskazanych włóknach wynoszą:

3.6 kNm 18.48 ⋅ 10− 3 m = 26.9 ⋅ 10 3kPa = 26.9 MPa 4 −6 2.47 ⋅10 m 3.6 kNm σ dx = 61.52 ⋅10 −3 m = 89.8 ⋅10 3kPa = 89.8 MPa 4 −6 2.47 ⋅10 m

σ xg =

moment rozciąga włókna górne (narysowany jest po ich stronie) stąd wiemy że dla górnego włókna jest dodatni:

σ xg = + 26.9 MPa a dla dolnego włókna ujemny:

σ xd = − 89.8 MPa

d = 2.025 kNm b) M max

stąd bezwzględne wartości naprężeń we wskazanych włóknach wynoszą:

2.025 kNm 18.48 ⋅10 − 3 m = 15.2 ⋅10 3kPa = 15.2 MPa 4 −6 2.47 ⋅10 m 2.025 kNm σ dx = 61.52 ⋅10 −3 m = 50.5 ⋅103 kPa = 50.5 MPa 4 −6 2.47 ⋅10 m

σ xg =

moment rozciąga włókna dolne (narysowany jest po ich stronie) stąd wiemy że dla górnego włókna jest ujemny:

σ xg = −15.2 MPa a dla dolnego włókna dodatni:

σ xd = + 50.5 MPa Odpowiedź: maksymalne naprężenie występuje w dolnych włóknach w przekroju b), i wynosi σ dx = +50.5 MPa ,minimalne w dolnych włóknach w przekroju a), i wynosi

σ xd = −89.8 MPa .

PROJEKT 4

max σ x =

max M z max y Jz

lub

max σ x =

max M y Jy

max z

Wskaźnik wytrzymałości na zginanie. Dla zadanych przekrojów wyznaczyć wskaźniki wytrzymałości na zginanie

Wy :=

Jy max ( h zd , h zg )

Wz :=

Jz max ( hyd , h yg )

Projektowanie:

max σ x =

max M z Wz

lub

max σ x =

max M y Wy...