13-Zginanie - Notatki z wykładu 13 PDF

Preview

Summary

notatki...

Description

Katedra Mechaniki i Informatyki Technicznej PŁ. Opracował: Prof. dr hab. Krzysztof Dems Materiały pomocnicze do wykładu

ZGINANIE PRĘTÓW PRYZMATYCZNYCH Zginanie: Płaszczyzna działania obciążeń prostopadłych do osi pręta pryzmatycznego przechodzi przez jego oś.

Zginanie proste: Odkształcona oś pręta pozostaje w płaszczyźnie działania obciążeń. Zginanie czyste: Moment gnący we wszystkich przekrojach poprzecznych zginanego pręta jest stały (siła tnąca jest równa zeru).

1

Katedra Mechaniki i Informatyki Technicznej PŁ. Opracował: Prof. dr hab. Krzysztof Dems Materiały pomocnicze do wykładu

Założenia zginania prostego i czystego:

1. Płaskie przekroje prostopadłe do osi pręta przed odkształceniem pozostają płaskie i prostopadłe do zakrzywionej po odkształceniu osi zginanego pręta. 2. Warstwy pręta równoległe do jego osi i prostopadłe do płaszczyzny działania momentu gnącego nie wywierają żadnych oddziaływań na siebie.

EF AB CD E ' F ' EF A' B' , A' B' AB C ' D ' CD

E ' F ' EF EF

E' F ' E' F' ⇒ y A' B '

E'F' y 1 1 1 ⇒ AB

E'F' AB

y

y

2

Katedra Mechaniki i Informatyki Technicznej PŁ. Opracował: Prof. dr hab. Krzysztof Dems Materiały pomocnicze do wykładu

Ponieważ odkształcenia włókien zginanego pręta podlegają prawu Hooke’a (odkształcenia liniowo-sprężyste), to: y

⇒

E

E

y

Rozkład naprężeń normalnych w przekroju poprzecznym jest liniowo zmienny. Naprężenia osiągają wartość zero na osi obojętnej prostopadłej do płaszczyzny działania momentu gnącego. Warstwa włókien w których zginające naprężenia normalne są równe zeru zostaje nazwana warstwą obojętną pręta.

3

Katedra Mechaniki i Informatyki Technicznej PŁ. Opracował: Prof. dr hab. Krzysztof Dems Materiały pomocnicze do wykładu

Odkształcenia:

y

1) Równania równowagi:

2) 3)

Ey

Naprężenia:

E

∫ ydA

0

E

∫ yzdA

0

E

∫y

2

dA

Mg

Moment statyczny : S z Moment dewiacji : I yz Moment bezwładności względem osi z : I z

∫y

2

∫ ydA ∫ yzdA

dA

4

Katedra Mechaniki i Informatyki Technicznej PŁ. Opracował: Prof. dr hab. Krzysztof Dems Materiały pomocnicze do wykładu

Zatem równania równowagi przyjmują postać:

1) 2) 3)

E E E

Sz

0

I yz

0

Iz

Mg

⇒

1) S z 0 2) I yz 0 1 Mg 3) EI z

1) Moment statyczny S z = 0 : oś z jest osią centralną przechodzącą przez sodek ciężkości przekroju poprzecznego pręta. 2) Moment dewiacji I yz = 0 : osie y i z są tzw. osiami głównymi przekroju poprzecznego pręta. Wnioski: Oś z leżąca w warstwie obojętnej zginanego pręta i oś y do niej prostopadła są głównymi centralnymi osiami bezwładności przekroju poprzecznego zginanego pręta.

Zginaniem prostym nazywamy zginanie w którym płaszczyzna działania obciążeń zawiera główną centralną oś bezwładności przekroju.

5

Katedra Mechaniki i Informatyki Technicznej PŁ. Opracował: Prof. dr hab. Krzysztof Dems Materiały pomocnicze do wykładu

Oś z leżąca w warstwie obojętnej zginanego pręta jest główną centralną osią bezwładności przekroju poprzecznego zginanego pręta.

Naprężenia:

E

y

E

1

y

Z trzeciego równania równowagi:

Mg EI z

Mg y Iz

Zatem:

Maksymalne naprężenia poprzecznym pręta:

Dla y

1

ymax . ⇒

Wz

Iz

zginające

Mg y Iz

g

-

max .

w

przekroju

Mg Wz

wskaźnik przekroju pręta na

ymax .

zginanie. 6

Katedra Mechaniki i Informatyki Technicznej PŁ. Opracował: Prof. dr hab. Krzysztof Dems Materiały pomocnicze do wykładu

Przekrój prostokątny o podstawie a i wysokości h:

Moment bezwładności przekroju: I z Wskaźnik przekroju na zginanie: Wz

1 bh3 12 1 bh 2 6

Przekrój kołowy o średnicy wewnętrznej d i zewnętrznej D:

Moment bezwładności przekroju: I z Wskaźnik przekroju na zginanie: Wz

1 64

( D4

d4)

(D 4 d 4 ) d 32

Warunek wytrzymałościowy na zginanie:

Mg g

Wz

kg

k g - dopuszczalne naprężenia na zginanie materiału pręta.

7

Katedra Mechaniki i Informatyki Technicznej PŁ. Opracował: Prof. dr hab. Krzysztof Dems Materiały pomocnicze do wykładu

Równanie linii ugięcia zginanego pręta

Równanie linii ugięcia (osi pręta) : y

Z geometrii analitycznej:

1

f (x ) ?

d 2y dx 2   dy 2  1      dx    

3/ 2

Dla zginanego pręta w zakresie odkształceń liniowosprężystych (małych): 1

Mg EI z

oraz

dy - tangens kąta nachylenia stycznej do osi odkształconego dx pręta w stosunku do osi x – jest znacznie mniejszy od 1 z uwagi na małe odkształcenia pręta.

Zatem:

1

d 2y dx 2 3/ 2

  dy 2  1      dx    

d2 y oraz dx 2

d 2y dx 2

Mg EI z

8

Katedra Mechaniki i Informatyki Technicznej PŁ. Opracował: Prof. dr hab. Krzysztof Dems Materiały pomocnicze do wykładu

Równanie różniczkowe linii ugięcia zginanego pręta: 2

d y dx 2

M g ( x) EI z

Całkując stronami względem zmiennej x: dy dx

Mg

∫EI

dx C1

z

Całkując ponownie: y

 Mg  ∫  ∫ EI dx dx C1x C2 z  

otrzymamy równanie linii ugięcia odkształconego pręta. C1 , C2 - stałe całkowania wyznaczane z warunków brzegowych.

9

Katedra Mechaniki i Informatyki Technicznej PŁ. Opracował: Prof. dr hab. Krzysztof Dems Materiały pomocnicze do wykładu

Uwaga: Wyrażenia określające moment gnący mogą być różne w różnych przedziałach pręta – zatem równania linii ugięcia trzeba pisać osobno dla każdego przedziału pręta.

Na granicach przedziałów musi być zachowana zgodność ugięć i ich pochodnych (ugięcie pręta jest funkcją ciągłą i gładką). Zatem muszą być spełnione warunki ciągłości na granicach przedziałów pręta:

10

Katedra Mechaniki i Informatyki Technicznej PŁ. Opracował: Prof. dr hab. Krzysztof Dems Materiały pomocnicze do wykładu

Przykład: x 0 y 0 WB:   x 3l y 0 x WC:  

0 x1 M g1

2l

2l 1 Px 1

3 " 1 EIy1 Px 3 1 EIy1' 1 Px12 C1 6 EIy1 1 Px13 C1 x1 18

M g2

D1

2l

y1 y1'

y2 y2'

x2 3l 1 Px 2 P (x 2

2l )

3 " 1 EIy2 Px2 P( x2 2l ) 3 EIy'2 1 Px22 1 P ( x2 2l )2 C 2 6 2 3 EIy2 1 Px2 1 P( x2 2l )3 C 2x 2 D 2 18 6

Z warunków brzegowych i warunków ciągłości: 8 Pl 2 D1 D2 0 , C1 C2 18

i ostatecznie: P  ( x13 8l 2 x) y 1  18 EI  P y2 [ x 3 3( x 2l ) 3 8l 2x ] 18 EI 

Ugięcie dla x = 2l : y x

2l

4 Pl 3 9 EI

11...