Zusammenfassung Werkstoffkunde PDF

Preview

Summary

Zusammenfassung Werkstoffkunde 2018
Festkörper
Schrödinger Gleichung
...

Description

Vorlesung

Werkstoffe der Elektrotechnik A. Thiede

A. Thiede

Werkstoffe der Elektrotechnik

Einleitung Das Ziel der Lehrveranstaltung besteht in der Vermittlung festkörperphysikalischer Grundlagen für das Verständnis der Funktion und Technologie elektronischer und elektrotechnischer Bauelemente. Aufbauend auf Kenntnissen aus dem Mathematik- und Physikunterricht der Abiturstufe sowie den Lehrveranstaltungen Mathematik und Experimentalphysik ist die Lehrveranstaltung "Werkstoffe der Elektrotechnik" wie folgt gegliedert: I.

Grundlagen der Festkörperphysik

II. Metalle III. Halbleiter IV. Dielektrische Werkstoffe V. Magnetische Werkstoffe Die Lehrveranstaltung "Werkstoffe der Elektrotechnik" schafft damit insbesondere Voraussetzungen für die Lehrveranstaltungen "Halbleiterbauelemente", "Elektrische Antriebe", "Optische Nachrichtentechnik", "Hochfrequenzelektronik" und "Halbleitertechnologie".

Für das begleitende bzw. vertiefende Selbststudium wird folgende Literatur empfohlen: [1] [2] [3] [4] [5]

W. v. Münch, Werkstoffe der Elektrotechnik, Teubner-Verlag, 1993 K. Kopitzki, Einführung in die Festkörperphysik, Teubner-Verlag, 1993 H. Vogel, Gerthsen Physik, Springer-Verlag, 1999 R. Paul, Halbleiterphysik, Hüthig Verlag, 1975 A. Möschwitzer, K. Lunze, Halbleiterelektronik-Lehrbuch, Verlag Technik,1984

2

(51 XWO 1013) (41 UIQ 4016) (41 UAP 1485) (65 UIU 1589) (... YEM 1161)

A. Thiede

Werkstoffe der Elektrotechnik Einleitung

Werkstoffe können hinsichtlich ihres Aggregatszustandes in Festkörper, Flüssigkeiten, Gase und Plasmen unterschieden werden. Die nachfolgende Tabelle fasst den Stand der Erforschung dieser Werkstoffgruppen, ihre aktuelle Bedeutung sowie deren Trend zusammen. Bedeutung Trend Erkenntnisstand

Plasma klein  hoch

Gas klein  hoch

Flüssigkeit klein (außer LCD)  hoch

Festkörper sehr groß  sehr hoch

Tabelle 1: Vergleich von Werkstoffgruppen nach Aggregatszustand Insbesondere im Hinblick auf die Bauelemente der Elektrotechnik resultiert der starke Trend zum Festkörper dabei aus:  der hohen Zuverlässigkeit, die oft unterschätzt wird aber letztlich hochkomplexe Systeme erst ermöglicht,  der Möglichkeit der Miniaturisierung,  der Nutzung neuer Wirkprinzipien,  der gezielten Realisierbarkeit gewünschter Eigenschaften, also eines "Festkörper nach Maß", sowie  der Raumladungskompensation, die nach außen neutral wirkende Bauelemente ermöglicht. Tritt in einem Festkörper eine Ordnung der Bausteine nur im Nahbereich auf, wie das z.B. bei Keramiken oder Gläsern der Fall ist, so spricht man von amorphen Festkörpern. Sind die Bausteine jedoch in großen Bereichen räumlich periodisch angeordnet, so liegt ein kristalliner Festkörper vor. Populäre Beispiele hierfür sind Kochsalz (NaCl) oder Diamant. Aufgrund ihrer außerordentlichen Bedeutung werden wir uns im Folgenden insbesondere mit kristallinen Festkörpern beschäftigen.

3

A. Thiede

Werkstoffe der Elektrotechnik

I. Grundlagen der Festkörperphysik 1. Quanten und Wellen Max Planck eröffnete im Jahre 1900 durch seine sogenannte Quantenhypothese, in der er postulierte, dass für eine Schwingung mit der Frequenz f nur diskrete Energiewerte E n  n  h  f mit n=1, 2, ... (I.1) möglich seien, dem Verständnis des Mikrokosmos völlig neue Möglichkeiten. Nach ihm wird die Konstante h = 6.6246 10-34 Ws2 als das Plancksche Wirkungsquantum bezeichnet. Bekanntermaßen wird die kleinste durch Licht transportierbare Energieportion als Lichtquant oder Photon bezeichnet. Aber auch die Energien z.B. der Gitterschwingungen der Atome eines Festkörpers sind gequantelt; man spricht hier von Phononen. Ausgehend von der Energie eines Photons E  h  f  m c2 (I.2) ergibt sich für dessen Impuls h f h p  m c  mit   f  c (I.3)  c  Wir wollen die Wellenzahl 2 (I.4) k  einführen, die also angibt, wieviele Wellenlängen auf ein 2π-faches einer Längeneinheit passen. Die Angabe k=3 cm-1 besagt also, dass auf eine Strecke von etwa 6.2 cm gerade 3 Wellenlängen passen, die Wellenlänge also etwa 2 cm beträgt. Zu beachten ist, dass k der Betrag des Wellenvektors ist, der in Richtung der Wellenausbreitung zeigt ! Unter Verwendung dieser Definition ergibt sich nun als Impuls h p (I.5)  k   k 2 Da die Konstante h in vielen Gleichungen um den Faktor 2π vermindert benötigt wird, wurde zur Vereinfachung die Konstante  eingeführt. Mit ihr erhält man eine sehr ähnliche Darstellung der Energie eines Photons, wenn statt der Frequenz f die Kreisfrequenz ω verwendet wird: E  h f   ω (I.6) Die Gültigkeit des Energieerhaltungssatzes für Photonen kann mit dem -U bereits für den Nachweis der Teilcheneigenschaften des Lichtes hinlänglich bekannten Photoeffekt demonstriert werden. Bild I.1 zeigt den grundsätzlichen Versuchsaufbau. Eine Metallplatte wird mit Licht bestrahlt. Ist das Licht hinreichend kurzwellig, d.h. übersteigt die Energie der Photonen die Austrittsarbeit EM , so werden aus der Metalloberfläche Bild I.1: Photoeffekt Elektronen gelöst. Der Energieüberschuss, den die Elektronen als kinetische Energie mitnehmen, kann gemessen werden, indem man die Spannung U bestimmt, gegen die diese Elektronen gerade noch anlaufen können, oder mit anderen Worten, bei der der Strom gerade 0 wird, und man erhält (I.7) h  f  E kin  E M  q  U  E M f' f Dabei bezeichnet q den Betrag der Ladung eines Elektrons, die h  k  h  sogenannte Elementarladung c c q  1.62 10 19 As (I.8)  Der Impulserhaltungssatz kann mit Hilfe des Comptonf h Effektes demonstriert werden. Wie schematisch in Bild I.2 c mv dargestellt werden hierzu Photonen, praktisch nutzt man Röntgenstrahlung, auf ein als ruhend zu betrachtendes Elektron geschossen. Geht man davon aus, dass sich die Energie bzw. Bild I.2: Compton-Effekt der Impuls des Photons dabei nur wenig ändern, d.h. dass 4

A. Thiede

Werkstoffe der Elektrotechnik

f  f ' , so erhält man, wie in Übung I.1 zu zeigen sein wird, als Wellenlängenverschiebung des Photons  2 h (I.9)  '    sin 2 m c 2 was exakt den im Experiment messtechnisch ermittelten Werten entspricht. Der Dualismus der Wellen- und Teilchenbetrachtung des Lichtes legt die Frage nahe, ob man auch den uns aus der Alltagserfahrung unzweifelhaft als Teilchen zugänglichen Erscheinungen Welleneigenschaften zuweisen kann. De Broglie setzte hierzu formal die aus der teilchen- und wellenmechanischen Betrachtung resultierenden Impulse gleich h (I.10) mv  p  k      Teilchen Welle und erhielt so für die nach ihm benannte de Broglie Wellenlänge h  m v Für die Energie ergibt die gleiche Betrachtung 1  E    h f m  v2 2       Teilchen Welle

(I.11)

(I.12)

Man kann somit also jedem bewegten Teilchen eine Welle zuordnen, 2 2  und   (I.13)   x, t  C  e jkx ωt  mit k   2 f  T wobei ausdrücklich darauf hingewiesen sei, dass es sich dabei um ein mathematisches Modell handelt und diese Welle nicht durch eine physikalische Größe repräsentiert wird oder gar das Teilchen selbst sich etwa schlangenförmig bewegen würde. Die fehlende physikalische Repräsentanz mag zunächst verwirren, ist jedoch kein spezifischer Nachteil der Wellenvorstellung. Lediglich die uns aus dem Alltag besser vertraute Teilchenvorstellung lässt uns vergessen zu fragen, aus welchem Material denn eigentlich die Teilchen sein sollen, als die wir uns die Elektronen vorstellen. Welche Bedeutung hat nun aber die Geschwindigkeit des Teilchens für die Wellenbetrachtung ? Wir vermuten zunächst, es handele sich um die Phasengeschwindigkeit der Welle, also die Geschwindigkeit mit der sich ein bestimmter Schwingungszustand, z.B. ein Maximum, bewegt. Wir definieren also die Phasengeschwindigkeit Wege eines Punktes konstanter Phase x 2  x 1 vP  für   x 1, t 1     x 2, t 2  (I.14)  Zeit t 2  t1 Aus dieser Bedingung folgt, dass (I.15) k  x 2   t 2  k  x1   t1 sein muss und wir erhalten für die Phasengeschwindigkeit m 2 x 2  x1     E 2  v v      vP  (I.16) t 2  t1 k   k p m v 2 Die Phasengeschwindigkeit ist also nur halb so groß wie die Geschwindigkeit des Teilchens, beide Größen sind also ganz offensichtlich nicht gleichbedeutend. Dies kann eigentlich auch nicht überraschen, da ein Teilchen stets räumlich lokalisiert, eine Welle dagegen unendlich ausgedehnt ist. Wir wollen nun eine Überlagerung zweier Wellen

a  C  e und

j kx-ωt 

(I.17)

5

A. Thiede

Werkstoffe der Elektrotechnik

j  k+dk x- ω+dω t

 b  C e  (I.18) betrachten, deren Wellenzahl k und Frequenz ω sich also um infinitesimal kleine Beträge unterscheiden. Wir suchen wieder die Bedingungen für den gleichen Phasenzustand. Offenbar muss jetzt sowohl  a x1 , t1    a x 2 , t 2  (I.19) als auch  b x1 , t1    b x 2 , t 2  (I.20) gelten. Daraus folgen in gleicher Weise wie bei Gleichung I.15 jetzt zwei Gleichungen: k  x 2  ω  t2  k  x1  ω  t1 (I.21) (I.22) k  dk  x 2    d  t 2  k  dk  x 1    d  t 1 Wir subtrahieren nun jeweils von der linken und der rechten Seite von Gleichung I.22 die entsprechende Seite von Gleichung I.21 dk  x 2  dω  t 2  dk  x1  dω  t1 (I.23) sortieren um, klammern aus dk   x 2  x1   dω   t 2  t1  (I.24) und erhalten schließlich  m  v2  d  2  x2  x1 d d      dE 1 dp2  vG  (I.25)       v t2  t1 dk d   k dp dp 2  m dp Es liegt nahe, den Aufenthaltsort des Teilchens mit dem Maximum dieser Überlagerung zu korrelieren. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist 2

dw  x     x  dx     *

(I.26)

Die Geschwindigkeit, mit der sich ein bestimmter, räumlich nun auch lokalisierbarer Überlagerungszustand zweier oder mehrerer Wellen bewegt, wird als Gruppengeschwindigkeit bezeichnet. Der Bewegungsgeschwindigkeit des Teilchens entspricht also die Ausbreitungsgeschwindigkeit dieses Maximums. Es ist interessant, an dieser Stelle darauf hinzuweisen, dass ein Maximum um so deutlicher wird, je unterschiedlicher die Wellenlängen der überlagerten Wellen sind. Bild I.3 zeigt beispielhaft die normierten Quadratsummen von jeweils 101 Cosinusfunktionen aus einem Band mit einer relativen Breite von 0.01 %, 0.1 % und 1 %. Wir können den Ort des Teilchen offensichtlich dann am exaktesten bestimmen, wenn die Wellenlänge und damit der Impuls am stärksten verwischt sind, was gerade die Aussage der Heisenbergschen Unschärferelation ist: x  p  h (I.27)

-40

1

1

1

0.8

0.8

0.8

0.6

0.6

0.6

0.4

0.4

0.4

0.2

0.2

0.2

-20

20

0.01 %

40

-40

-20

20

0.1 %

40

-40

-20

20

40

1%

Bild I.3: Normierte Quadratsumme von 101 Cosinusfunktionen aus einem Band der angegebenen relativen Breite

6

A. Thiede

Werkstoffe der Elektrotechnik 2. Die Schrödinger-Gleichung

Aus der mathematischen Grundausbildung für Ingenieure ist bekannt, dass bei der Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor letzterer i.a. gedreht und gestreckt wird. Für spezielle Vektoren kann jedoch die Matrix auch lediglich eine Längenänderung bewirken, d.h. sie wirkt wie ein Skalar. Vektoren f und Skalare a, die bezüglich der Matrix A dementsprechend die Gleichung Af  af (I.28) erfüllen, heißen Eigenvektoren bzw. Eigenwerte dieser Matrix. David Hilbert erkannte, dass sich Funktionen formal wie Vektoren verhalten. Die Rolle der Matrizen übernehmen dabei sogenannte Operatoren, worunter wir Handlungsanweisungen für mathematische Operationen verstehen wollen. Für solche Operatoren A lassen sich nun in gleicher Weise Eigenfunktionen und Eigenwerte definieren. Diese in den Ingenieurwissenschaften weniger vertraute Betrachtung ist nun gerade eine der Grundlagen der modernen Physik. So entspricht jeder physikalischen Größe ein Operator und Zustände werden als Überlagerungen seiner Eigenfunktionen interpretiert. Operatoren sind dabei nicht im strengen Sinne mathematisch ableitbar. Dies mag zunächst überraschen, stellt bei näherer Betrachtung aber keinen Unterschied zu anderen Modellen dar. So kann man z.B. auch das Holzkugelmodell eines Moleküls nicht mathematisch ableiten, man kann aber sehr wohl gut vertraute Dinge, wie z.B. Holzkugeln, verwenden, um sich eine modellhafte Vorstellung bestimmter Anordnungen von Atomen zu machen. Das Problem liegt also eher darin, dass uns mathematische Zusammenhänge nicht in gleicher Weise wie Holzkugeln seit dem frühesten Kindesalter sehr vertraut sind, sondern dass diese Vertrautheit erst in späteren Jahren mit allerdings nicht minder intensivem Üben erworben werden muss. Verdeutlichen wir dies an einem Beispiel. Wir definieren einen Operator B durch die Anweisung: "Differenziere nach t und multipliziere anschließend mit j !", d.h. also  B  j (I.29) t Wir wollen nun die Eigenfunktionen f und Eigenwerte b bestimmen für die dann gelten muss f B f  b  f bzw. j  b  f (I.30) t Sehr schnell errät man, dass alle Funktionen f    r  e jωt (I.31) die Gleichung I.30 erfüllen, wobei φ(r) eine beliebige nur vom Ort abhängige Funktion sein kann. Die zugehörige Eigenwerte sind bω (I.32) Wir wollen nun zunächst einen Zustand betrachten, der durch nur eine Eigenfunktion gegeben ist:   c f  c   r  e  jωt (I.33) Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit wird dann   *   c   r   e  jωt    c    r   e jωt   c 2  2 r 

(I.34)

d.h. die räumliche Verteilung ist zeitlich stabil. Setzen wir jedoch einen Zustand aus zwei Eigenfunktionen zusammen jω t jω t   c 1 f 1  c 2 f 2  c 1  1 r  e  1  c 2   2 r  e  2 (I.35) so erhalten wir mit   *  c1  1  r  e  jω1 t  c 2  2  r   e  jω2 t  c1  1 r   e jω1 t  c 2   2 r   e jω2 t







 c1  1  r   c2  2  r   c1  c 2  1  r    2  r   e 2

2

2

2

j ω2 -ω1  t

 c1  c 2  1  r    2  r   e  

j ω2 -ω1  t

(I.36)

2 2 2 2  c1  1  r   c2  2  r   2  c1  c 2  1  r    2  r   cos   ω 2 -ω1   t 

eine oszillierende räumliche Verteilung. Dies würde aber genau dem Bohr'schen Atommodell entsprechen, das stationäre Zustände und zumindest zeitweise strahlende Übergänge kennt. Der Operator

7

A. Thiede

Werkstoffe der Elektrotechnik

B wird als Kreisfrequenzoperator bezeichnet. Folglich ist der auch Hamilton-Operator genannte Energieoperator  H    B    j (I.37) t Wir wollen nun den Energieerhaltungssatz, d.h. die Tatsache, dass die Summe von kinetischer und potentieller Energie stets einem erlaubten Energiezustand entsprechen muss, in Form einer Operatorgleichung schreiben: 2     V(r)   (I.38) 2m j t        Ekin Epot E 2   V(r) wiederum der Hamilton-Operator und Δ der Laplace-Operator 2m 2 2 2 (I.39)  2  2  2 x y z Diese Operatorgleichung ist gültig für alle Zustandsfunktionen (r, t) 2    (r, t)  V(r)  (r, t)    (r, t) (I.40) 2m j t und wird als die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung bezeichnet. Da Ableitungen sowohl nach x als auch nach t und bis zur Ordnung 2 vorkommen, handelt es sich um eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung. Sie ist für praktisch interessierende Probleme nur mit erheblichem Aufwand auf numerischem Wege zu lösen. Wir wollen deshalb nun sofort gravierende Vereinfachungen vornehmen.

Dabei ist 

2.1. Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung Zunächst wollen wir die Zeitabhängigkeit separieren und nur noch die Ortsabhängigkeit betrachten, wobei wir uns außerdem auf eine Ortskoordinate x beschränken. Dazu probieren wir einen Produktansatz für die Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung aus.  (x, t)   1(x)   2 (t) (I.41) Dieser Ansatz wird in Gleichung I.40 eingesetzt  2(t) 2 ²  1(x)  (I.42)     2 (t)  V(x)  1 (x)   2 (t)    1 (x)  x² t 2m j Anschließend dividieren wir auf beiden Seiten durch 1 und 2 . ² 1 (x)  (t) 2  1 1     V(x)     2 x² t 2m  1(x) j  2 (t)       nur von x abhängig nur von t abhängig

(I.43)

Da beide Seiten von unterschiedlichen Variablen abhängig sind, können sie nur dann gleich sein, wenn sie beide einer Konstanten E mit der Dimension einer Energie gleich sind. Für die rechte Seite erhalten wir somit E 1 (I.44)  j  dt   d2 (t)   2 (t) E (I.45)  j   t  t 0   ln  2 (t)  

8

A. Thiede

Werkstoffe der Elektrotechnik

E  j  t

2 (t)  e  (I.46) wobei die aus der Integrationskonstanten resultierende Phase t0 beliebig und also auch bequem t0=0 gewählt werden kann. Vergleichen wir diese Zeitfunktion mit dem zeitlich periodischen Faktor aus Gleichung I.13 für die de Broglie-Welle so stellen wir fest, dass unsere Konstante E E  ω (I.47) die Gesamtenergie des Teilchens sein muss. Für die linke Seite von Gleichung I.43 erhalten wir somit 2 d² 1 (I.48)   (E  V) 1  0 2m dx² Diese lediglich vom Ort abhängige Gleichung ist eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung. Sie wird zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung genannt. Typischerweise wird sie gelöst, um bei vorgegebenem Verlauf der potentiellen Energie mögliche Zustände der Gesamtenergie zu berechnen. Dabei gehorcht Gleichung I.48 den Randbedingung der Normierung

1     * dτ  V







1



*

 1  e





1

* *   1   2   2 dx 



E j t 

e

E j t 

(I.49)



dx 



1

*

 1 dx



da sich das Teilchen ja irgendwo im Volumen aufhalten muss, und der Stetigkeit, d.h. 1 und

d1 dx

müssen endlich und stetig sein. Wir wollen die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung nun für besonders einfache Anordnungen lösen. a) Lösung für das freie Elektron: Für das freie Elektron ist die potentielle Energie überall gleich und kann daher auch 0 gesetzt werden. Damit ergibt sich aus Gleichung I.48 2 d²  1 (I.50)    E  1 2m dx² und weiter 2 m E (I.51) 1 ''   1 ² Die Gesamtenergie E ist gleich der kinetischen Energie Ekin und kann geschrieben werden als 2  k2 m m2  v2 p2 E  Ekin   v 2  (I.52)   2 2 m 2 m 2 m und wir erhalten durch das Einsetzen des nach der Wellenzahl k umgestellten Ergebnisses aus Gleichung I.52 E  2 m (I.53) k 2  kin 2  in die Gleichung I.51 1 ''   k 2   1 (I.54) Diese Gleichung ist eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Sie kann in einfachster Weise gelöst werden, wenn man den Ansatz  1  e λx,  1 '    e λx,  1 ''   2  e λx (I.55) verwendet. Durch Einsetzen dieses Ansatzes erhält man λ 2  e λx   k 2  e λx (I.56) und somit

9

A. Thiede

 k,

Werkstoffe der Elektrotechnik

 1   j   1  j k,  2   j k

(I.57)

Für die gesuchte Wellenfunktion erhalten wir somit zunächst die zeitunabhängige Lösung 1  A  e jkx  B  e  jkx (I.58) und daraus schließlich durch Hinzufügen des zeitabhängigen Faktors entsprechend Gleichung I.46 die zeitabhängige Lösung  

A  e j kx ωt  B  e j kx ωt         hinlaufende Welle rücklaufende Welle 



