Zusatzaufgabe Schwerpunkt - Lösung PDF

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Lösung Zusatzaufgabe Schwerpunkt...

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5.4) Schwerpunkt durch Integration - Lösung

Berechnung der Fl¨ ache des Viertelkreises: dA = dy dz

ysi = y

Die Fl¨ache berechnet sich mit Hilfe des Doppelintegrals zu: yS i = y Z

R y zSi

Si

dz

y(z) ZR Z dA = dy dz = 0

0

ZR h iy(z) ZR ZR √ y dz = y(z) dz = = R2 − z 2 dz = 0

dy

0

0

R z

0

=

h 1

=

R2 R2 · π R2 π arcsin(1) = · = 4 2 2 2

2

z·

√

R2 − z 2 + R2 arcsin

 z iR R

0

=

Hinweis: Das verwendete unbestimmte Integral ist aus der Literatur entnommen. Z √ x  1 √ 2 x a − x2 + a2 arcsin( ) a2 − x2 = a 2 Alternativ kann die Fl¨ache des Viertelkreises auch direkt aus der Fl¨ ache eines Kreises AKreis = R2 · π berechnet werden.

Berechnung der Schwerpunkt-Koordinate: 1. M¨ oglichkeit dA = dy dz

yS i = y R y zSi

Si

dz dy

Z

Sz =

=

ZR

ysi = y

y(z) ZR Z ZR h 2 i y y(z) dz = y dy dz = ysi dA = 2 0

y 2 (z) dz = 2

0 0 ZR

z 3 iR 1h 2 1 2 2 R z − = (R − z ) dz = 3 0 2 2

0

0

R

0

R3 R 1 )= = (R3 − 3 3 2 3

z

Sz = → yS = A

R3 3 R2 ·π 4

=

4R 3π

2. M¨ oglichkeit dA = z(y) dy

yS i = y R y

Sz = z(y)

ZR

ysi = y

y z(y) dy =

0

0

Si

ZR

y

p

R2 − y 2 dy =

iR R3 1p 2 (R − y 2 )3 = = − 3 0 3 h

R dy z 3. M¨ oglichkeit

yS i =

y(z) 2

dA = y(z) dz

ysi =

y(z) 2

R y Si

Sz =

dz

Z

ysi dA =

ZR

y(z) y(z) dz = 2

0

= R y(z)

0

= z

ZR

1h 1 2 z 3 iR = (R − z 2 )dz = R2 z − 2 3 0 2

R3 3

4. M¨ oglichkeit Wechsel des Koordinatensystems von kartesisch zu polar, gefragt ist weiterhin yS yP = r cos(ϕ) Umrechnung von kartesisch → polar: y

ϕ P

zP = r sin(ϕ)

~r z

ySi = r cos(ϕ)

dA = r dϕ dr

ysi = r cos(ϕ)

R y

π

ϕ Si r · dϕ

~r

Sz =

Z

ysi dA =

Z RZ 2 0

dr

R z

ZR 0

r

2

h

R3 = 3

sin(ϕ)

iπ2 0

0

dr =

r · cos(ϕ)rdϕdr =

ZR 0

r 2 dr =

h r 3 iR 3

0

=...