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HOJA DE TRABAJO SESIÓN 1: VECTORES

1.

1

Si ‖𝑢 󰇍 ‖ = √2, ‖𝑣‖ = 2 y 𝑢󰇍 ⋅ 𝑣 = ; hallar la longitud del vector 2𝑢󰇍 − 3𝑣. 4 Solución Por propiedad de longitud de vectores: ‖2𝑢 − 3𝑣 ‖2 = ‖2𝑢‖2 − 2(2𝑢) ∙ (3𝑣 ) + ‖3𝑣 ‖2 ‖2𝑢 − 3𝑣‖2 = |2|2 ‖𝑢‖2 − 12𝑢 ∙ 𝑣 + |3|2 ‖𝑣‖2 1 ‖2𝑢 − 3𝑣‖2 = (4)(2) − 12 ( ) + (9)(4) 4 ‖2𝑢 − 3𝑣 ‖2 = 8 − 3 + 36 ‖2𝑢 − 3𝑣 ‖2 = 41

‖2𝑢 − 3𝑣‖ = √41

3.- Hallar la norma del vector 𝑤 󰇍󰇍 , sabiendo que 𝑢󰇍 y 𝑣 forman un ángulo de 60°, 𝑤 = 𝑢󰇍 + 𝑣, ‖𝑢󰇍 ‖ = 3 y ‖𝑣‖ = 5

Solución Por propiedad de módulo de un vector, ‖𝑢 + 𝑣 ‖2 = ‖𝑢‖2 + 2‖𝑢‖‖𝑣 ‖𝑐𝑜𝑠𝜃 + ‖𝑣 ‖2 ‖𝑢 + 𝑣 ‖2 = 9 + 2(3)(5)𝑐𝑜𝑠60° + 25 ‖𝑢 + 𝑣 ‖2 = 49 ‖𝑢 + 𝑣‖ = 7

5.- Sean 𝑢󰇍 = (1,2,3), 𝑣 = (1, 2, 3) 𝑣 = (1, 2, 3) y 󰇍󰇍𝑤 = (1,2,3) . Determine 𝑧 en: a) 𝑧 = 𝑢󰇍 − 𝑣 + 3𝑤 󰇍󰇍 󰇍󰇍 − 2𝑧 = 0 b) 2𝑢󰇍 +󰇍󰇍𝑤 Solución 󰇍󰇍 a) 𝑧 = 𝑢󰇍 − 𝑣 + 3𝑤 𝑧 = (1,2,3) − (1,2,3) + (3,6,9) 𝑧 = (3,6,9) b) 2𝑢󰇍 +󰇍󰇍𝑤 󰇍󰇍 − 2𝑧 = 0 2𝑧 = (2,4,6) + (1,2,3) 2𝑧 = (3,6,9) 𝑧 = (1.5,3,4.5)

7.- Sean 𝑢󰇍 = 2𝑖 + 𝑗 + 𝑘 y 𝑣 = 𝑘 − 𝑗 + 𝑖

󰇍 . 󰇍󰇍𝑣󰇍 c) 𝑢 Solución 󰇍 . 𝑣 = (2𝑖 + 𝑗 + 𝑘). (𝑘 − 𝑗 + 𝑖) 𝑢 𝑢 󰇍 . 𝑣 = (2𝑖 − 𝑗 + 𝑘)

󰇍 . 󰇍󰇍𝑢󰇍 d) 𝑢 Solución 󰇍 . 󰇍𝑢 = (2𝑖 + 𝑗 + 𝑘). (2𝑖 + 𝑗 + 𝑘) 𝑢 󰇍 . 󰇍𝑢 = (4𝑖 + 𝑗 + 𝑘) 𝑢

e) (𝑢 󰇍 . 󰇍𝑣󰇍 ). 󰇍𝑢 Solución 󰇍 . 󰇍𝑣󰇍 ). 󰇍𝑢 = (2𝑖 − 𝑗 + 𝑘). (2𝑖 + 𝑗 + 𝑘) (𝑢 (𝑢 󰇍 . 󰇍𝑣󰇍 ). 󰇍𝑢 = (4𝑖 − 𝑗 + 𝑘)

APLICACIONES

1. Una fuerza constante de 4 lb f de magnitud tiene la misma dirección que el vector a = i + j + k , calcule el trabajo realizado si el punto de aplicación se mueve a lo largo del eje de P(0; 2; 0) a Q(0; 1; 0) (las unidades de distancia son pies). 𝑎 = 𝑖 + 𝑗 + 𝑘󰇍 = (1 , 1, 1 ) ; ‖𝑎‖ = √3 𝐹 = ‖𝐹‖. ( 𝐹=(

4

1 1 1 𝑎 , , ) ) = 4( ‖𝑎‖ √3 √3 √3 4

4 4 4 𝑘󰇍 ) = 𝑖, 𝑗, √3 √3 √3 √3 √3 √3 4

,

,

󰇍󰇍󰇍󰇍 = 𝑄 − 𝑃 = (0,1,0) − (0,2,0) 𝑑 = 𝑃𝑄 𝑑 = (0, −1,0) ∴ 𝐹. 𝑑 =

−4

√3

3.- Una persona tira de una vagoneta sobre un terreno horizontal ejerciendo una fuerza de 20 kg f aplicada a un ángulo de 30° con respecto a la horizontal (ver la figura). Determine el trabajo realizado cuando la vagoneta recorre 100 m.

𝑑 = (−100 , 0) 𝐹 = (‖𝐹 ‖𝑐𝑜𝑠𝜃, ‖𝐹 ‖𝑆𝑒𝑛𝜃)

𝐹 = (−20 𝑐𝑜𝑠30°, 30 𝑆𝑒𝑛30°) 𝐹 = (−17.321 , 10)

∴ 𝑊 = 𝐹. 𝑑 = (−17.321 , 10). (−100 , 0) 𝑊 = −1732.1...