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PRÁCTICA No. 1 GENERACIÓN DE SEÑALES BÁSICAS CON MATLAB® 1. OBJETIVOS 1.1.

Objetivo General

 Generar señales básicas en tiempo discreto y continúo utilizando MATLAB®. 1.2.

Objetivos Específicos

 Conocer los comandos, algoritmos y funciones necesarias para la representación de señales en MATLAB®.  Representar las señales básicas en distintos intervalos de tiempo y amplitud, así como en sus propiedades de tiempo discreto y continuo. 2. JUSTIFICACIÓN La realización de esta práctica le permitirá al estudiante fortalecer y aplicar los conocimientos teóricos vistos en clase sobre la generación de señales en tiempo continuo y discreto. 3. MARCO TEÓRICO 3.1.

Señales en tiempo continuo y en tiempo discreto

Una manera de clasificar señales se basa en cómo se definen estas en función del tiempo. En este contexto, una señal 𝑥(𝑡) se dice será una señal en tiempo continuo si está definida para todo tiempo 𝑡. La figura 1a representa un ejemplo de una señal en tiempo continuo cuya amplitud o valor varía continuamente en el tiempo. Las señales en tiempo continuo surgen naturalmente cuando una forma de onda física se convierte en una señal eléctrica, conversión que se realiza por medio de un transductor. Por otra parte, una señal en tiempo discreto 𝑥[𝑛] se define sólo en instantes de tiempo discreto, la figura 1b representa un ejemplo de ello. De tal modo, en este caso la variable independiente tiene únicamente valores discretos, los cuales suelen estar espaciados de manera uniforme. Una señal en tiempo discreto se deriva a menudo de una señal en tiempo continuo, muestreándola a una tasa uniforme.

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Figura 1. 𝒂) Señal en tiempo continuo 𝑥(𝑡). 𝒃) Señal en tiempo discreto 𝑥[𝑛].

3.2.

Señales periódicas y no periódicas

Una señal periódica es una función que satisface la condición: 𝑥(𝑡) = 𝑥(𝑡 + 𝑞𝑇) para todo 𝑡 Donde 𝑇 es una constante positiva y 𝑞 es cualquier número entero positivo. El valor más pequeño de 𝑇 que cumple la ecuación anterior se llama periodo fundamental. Por consiguiente, el periodo fundamental 𝑇 define la duración de un ciclo completo de 𝑥(𝑡). El recíproco de 𝑇 se denomina frecuencia fundamental, 𝑓; está describe con qué frecuencia la misma señal periódica se repite. De este modo: 1 𝑇

𝑓=

La frecuencia 𝑓 se mide en Hertz (Hz) o ciclos por segundo. La frecuencia angular, medida en radianes por segundo, está definida por: 𝜔=

2𝜋 𝑇

Note que hay 2𝜋 radianes en un ciclo completo. Una pregunta importante en el análisis de señales es si la suma de dos señales periódicas resulta periódica. Suponga que 𝑥1 (𝑡) y 𝑥2 (𝑡) son señales periódicas, con periodos fundamentales 𝑇1 y 𝑇2 , respectivamente. Entonces, ¿es periódica la suma 𝑥1 (𝑡) + 𝑥2 (𝑡)?; es decir, ¿existe un número positivo 𝑇 , tal que: 𝑥1 (𝑡 + 𝑇 ) + 𝑥2 (𝑡 + 𝑇) = 𝑥1 (𝑡) + 𝑥2 (𝑡) para todo 𝑡?. Estas condiciones se satisfacen si y sólo si la relación 𝑇1 /𝑇2 puede escribirse como la relación de dos enteros, 𝑞 y 𝑟, 𝑞/𝑟 . Esto puede mostrarse si observamos que si 𝑇1 /𝑇2 = 𝑞/𝑟, entonces 𝑟𝑇1 = 𝑞𝑇2 , y debido a que 𝑟 y 𝑞 son enteros, 𝑥1 (𝑡) y 𝑥2 (𝑡) son periódicas con periodo 𝑟𝑇1 . Así, la condición se sigue cumpliendo con 𝑇 = 𝑟𝑇1 . Además, si 𝑞 y 𝑟 son Teoría de Señales y Sistemas – Lab01, Generación De Señales Básicas Con MATLAB® (@Autor Ángelo Joseph Soto Vergel)

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coprimos, es decir, no tienen factores enteros comunes diferentes de 1, entonces 𝑇 = 𝑟𝑇1 es el periodo fundamental de la suma 𝑥1 (𝑡) + 𝑥2 (𝑡). Ahora bien, cualquier señal para la cual no hay valor de 𝑇 que cumpla la condición de la ecuación 𝑥(𝑡) = 𝑥(𝑡 + 𝑞𝑇) para todo 𝑡, recibe el nombre de señal aperiódica o no periódica. A continuación, consideramos el caso de señales en tiempo discreto. Una señal en tiempo discreto 𝑥[𝑛] se dice que será periódica si satisface la condición: 𝑥[𝑛] = 𝑥[𝑛 + 𝑁] para todos los enteros 𝑛 Donde 𝑁 es un entero positivo. El valor más pequeño del entero 𝑁 para el cual se satisface la ecuación anterior recibe el nombre de periodo fundamental de la señal en tiempo discreto 𝑥[𝑛]. La frecuencia angular fundamental medida en radianes de 𝑥[𝑛] está definida por: Ω=

2𝜋 𝑁

La figura 2 presenta un ejemplo de señales periódicas y no periódicas en tiempo continuo y discreto.

Figura 2. 𝒂) Onda cuadrada con amplitud 𝐴 = 1 y periodo 𝑇 = 0.2 𝑠. 𝒃) Pulso rectangular de amplitud 𝐴 y duración 𝑇1 . 𝒄) Onda cuadrada en tiempo discreto que alterna entre −1 y +1. 𝒅) Señal en tiempo discreto aperiódica compuesta por tres muestras diferentes de cero. Teoría de Señales y Sistemas – Lab01, Generación De Señales Básicas Con MATLAB® (@Autor Ángelo Joseph Soto Vergel)

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3.3.

Cómo utilizar MATLAB® con señales de tiempo continuo

Una señal de tiempo continuo 𝑥(𝑡), dada por una expresión matemática puede definirse y desplegarse mediante MATLAB® y graficar 𝑥(𝑡) contra 𝑡, para un intervalo de valores de 𝑡. Para mostrar su uso, considere la señal 𝑥(𝑡) dada por: 2 𝑥(𝑡) = 𝑒 −0.1𝑡 sin ( 𝑡) 3 Así, por ejemplo, para un intervalo entre 0 y 30 segundos, con incrementos de 0.1 segundos, los comandos de MATLAB® para generar 𝑥(𝑡) son: t = 0:0.1:30; x = exp(-0.1*t).*sin(2/3*t); plot(t,x) axis([0 30 -1 1]) grid xlabel('Time (sec)') ylabel('x(t)') Los valores de tiempo para los que 𝑥(𝑡) se grafica, se almacenan como elementos en el vector 𝑡. Cada una de las expresiones matemáticas a graficar crea un vector con elementos iguales a los de la expresión evaluada en los valores de tiempo correspondientes. Los vectores resultantes deben multiplicarse, elemento por elemento, para definir el vector 𝑥. Para hacer las operaciones elemento por elemento se necesita un punto antes del operador. Entonces, mediante el comando plot(t,x), 𝑥 se grafica contra 𝑡 . El comando axis se utiliza para sobrescribir los valores predeterminados (por lo general, los predeterminados son aceptables, y este comando no se necesita). Es importante destacar que el uso del comando axis varía según la versión de MATLAB® que se utilice.

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Figura 3. Gráfica en MATLAB para la señal 𝑥(𝑡) = 𝑒 −0.1𝑡 sin ቀ 𝑡ቁ 3 Teoría de Señales y Sistemas – Lab01, Generación De Señales Básicas Con MATLAB® (@Autor Ángelo Joseph Soto Vergel)

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La gráfica resultante de 𝑥(𝑡) aparece en la figura 1. Observe que la gráfica que genera MATLAB® es en forma de caja, y los ejes son etiquetados como se muestra. Es importante tomar en cuenta que, cuando generemos gráficas de señales de tiempo continuo con MATLAB®, el incremento en el escalón de tiempo debe elegirse lo suficientemente pequeño (frecuencia de muestreo) para generar una gráfica suave. Si el incremento se elige demasiado grande (para una señal dada), entonces cuando los valores de la señal se conecten mediante líneas rectas (en la generación por computadora de la gráfica), el resultado será que la gráfica se verá dentada; una buena regla empírica es usar por lo menos 200 puntos, es decir, una frecuencia de muestreo de 200 Hz, lo que equivale a tomar muestras en intervalos de 0.005. 3.4.

Cómo utilizar MATLAB® con señales de tiempo discreto

Se dice que la variable de tiempo 𝑡 es una variable de tiempo discreto, si 𝑡 sólo toma los valores discretos 𝑡 = 𝑡𝑛 para algún intervalo de valores enteros de 𝑛. Por ejemplo, 𝑡 podría tomar los valores enteros 𝑡 = 0,1,2 …; es decir, 𝑡 = 𝑡𝑛 = 𝑛 para 𝑛 = 0, 1, 2, …. Una señal de tiempo discreto es una señal que es una función de la variable de tiempo discreto 𝑡𝑛 ; en otras palabras, una señal de tiempo discreto tiene valores (está definida) sólo en los puntos de tiempo discreto 𝑡 = 𝑡𝑛 , donde 𝑛 toma sólo valores enteros. Las señales de tiempo discreto surgen en muchas áreas de la ingeniería, ciencia y economía, y suelen representarse como 𝑥[𝑛] , esta notación sugiere entonces que la variable entera 𝑛 corresponde a los instantes de tiempo 𝑡𝑛 . Para graficar con MATLAB® la señal de la figura 1 en tiempo discreto basta con definir el intervalo de tiempo con valores enteros y utilizar el comando stem para graficar; los comando en MATLAB® para generar 𝑥[𝑛] son: n = 0:30; x = exp(-0.1*n).*sin(2/3*n); stem(n,x) axis([0 30 -1 1]) grid xlabel('Time (sec)') ylabel('x[n]')

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Figura 4. Gráfica en MATLAB® para la señal 𝑥[𝑛] = 𝑒 −0.1𝑛 sin ቀ 𝑛ቁ 3

Es importante mencionar que, en MATLAB® una señal en tiempo discreto se representa exactamente, debido a que los valores de la señal se describen como los elementos de un vector; por otra parte, MATLAB® brinda sólo una aproximación a señales en tiempo continuo, esta aproximación consiste en un vector cuyos elementos individuales son muestras de la señal en tiempo continuo subyacente. Cuando se usa este enfoque aproximado, es importante que se elija el intervalo de muestreo suficientemente pequeño para asegurar que las muestras capturen todos los detalles de la señal, recuerde que este tiempo de muestreo está bastante bien en 0.005. 3.5.

La caja de herramientas (Toolbox) ADSP y su instalación

La caja de herramientas ADSP (Analog and Digital Signal Processing) es un conjunto de archivos-m de MATLAB® (con extensión .m) que se encuentra disponible en la red desarrollada por el autor Ashok Ambardar que cuenta con unas funciones que permiten la generación de señales de forma sencilla; la librería puede descargarse de varios servidores en la red; sin embargo, a continuación, se relaciona el enlace oficial para su descarga desde el repositorio del doctor Ambardar: http://www.ece.mtu.edu/faculty/akambard/book/adsp_mfiles.zip http://www.ece.mtu.edu/faculty/akambard/book/adsp_guis.zip El siguiente procedimiento de instalación es genérico para todas las plataformas:  Genere dos subdirectorios, de preferencia con los nombres “adsp” y “gui”.  Descomprimir el archivo “adsp_mfiles.zip” en la carpeta con el nombre “adsp”. Teoría de Señales y Sistemas – Lab01, Generación De Señales Básicas Con MATLAB® (@Autor Ángelo Joseph Soto Vergel)

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 Descomprimir el archivo “adsp_guis.zip” en la carpeta con el nombre “gui”.  Guardar las carpetas “adsp” y “gui” en la carpeta “toolbox” de Matlab. Esta carpeta por lo general está en la ruta C:\Program Files\MATLAB\R2016a\toolbox, donde “R2016a” es la versión de Matlab instalada en el computador.  Finalmente, en la ventada de comandos (Command Window ) de Matlab ejecutamos el siguiente código: addpath('C:\Program Files\MATLAB\R2016a\toolbox\adsp') savepath addpath('C:\Program Files\MATLAB\R2016a\toolbox\gui') savepath Es importante mencionar que la función addpath recibe como parámetro la ruta exacta donde se encuentran las carpetas “adsp” y “gui” en el computador. Esta caja de herramientas es para PC compatibles con MATLAB® y también puede usarse en plataformas Unix (convirtiendo los archivos-m usando el recurso dos2unix), incluyendo IOS. La caja de herramientas ADSP está diseñada para trabajar con todas las versiones (para estudiante o profesional) de MATLAB® v4 o superior. 4. TRABAJO PREVIO Responda las siguientes preguntas en el contexto del análisis de señales y sistemas análogos y digitales: a. ¿Qué es una señal? b. ¿Qué es un sistema? c. ¿Qué se conoce como procesamiento de señales? ¿Qué diferencias existen entre el procesamiento analógico de señales contra el digital? d. ¿Qué es un sistema de comunicación? e. Defina: Muestreo, cuantización y codificación. f. ¿Qué es un sistema de control? ¿Cuáles son sus características? g. ¿Qué se conoce como telemetría (sensado remoto)?

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5. DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Generación de una señal Cuadrada Sintaxis  square(t,duty) Descripción square genera una onda cuadrada con un período de 2𝜋 para los elementos del vector de tiempo 𝑡, esta onda cuadrada tiene picos de ±1. El parámetro duty es opcional y permite definir el ciclo de trabajo y es un número entre 0 y 100 que representa el porcentaje del periodo en el que la señal es positiva. Para la generación de una señal cuadrada es necesario establecer parámetros adicionales tales como: una amplitud 𝐴 y una frecuencia fundamental 𝑓 (𝐻𝑧). En tiempo Continuo Amplitud (𝐴) 1 Frecuencia (𝑓) 100 Parámetros Ciclo de Trabajo (𝑑𝑢𝑡𝑦) 50 Tiempo (𝑡) 0 ≤ 𝑡 ≤ 0.03 Comandos %% Onda Cuadrada Tiempo Continuo A = 1; %Amplitud Fs = 10000; %Frecuencia de Muestreo f = 100; %Frecuencia Fundamental T = 3*(1/f); %Número de Periodos a Graficar duty = 50; %Ciclo útil t = 0:1/Fs:T-1/Fs; %Tiempo de Simulación x = A*square(2*pi*f*t,duty); %Generación de Señal plot(t,x),grid on,ylim([-1.1 1.1]) %Grafica

Gráfica

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Parámetros

En Tiempo Discreto Amplitud (𝐴) Frecuencia (𝑓) Ciclo útil (𝐷) Tiempo (𝑛) Comandos

1 0.125 50 0 ≤ 𝑛 ≤ 24

%% Onda Cuadrada Tiempo Discreto A = 1; %Amplitud f = 0.125; %Frecuencia Fundamental T = 3*(1/f); %Número de Periodos a Graficar duty = 50; %Ciclo útil n = 0:T; %Tiempo de Simulación x = A*square(2*pi*f*n,duty); %Generación de Señal stem(n,x),grid on,ylim([-1.1 1.1]) %Grafica

Gráfica

Generación de una señal Diente de Sierra Sintaxis  sawtooth(t,width) Descripción Sawtooth genera una onda de diente de sierra con un período de 2𝜋 para los elementos del vector de tiempo 𝑡, sawtooth(t)crea una onda de diente de sierra con picos de ±1. La onda de diente de sierra se define para ser −1 en múltiplos de 2𝜋 y aumentar linealmente con el tiempo con una pendiente de 1/𝜋. El parámetro width es opcional y permite modificar la señal; width es un parámetro escalar entre 0 y 1 que determina el punto entre 0 y 2𝜋 en Teoría de Señales y Sistemas – Lab01, Generación De Señales Básicas Con MATLAB® (@Autor Ángelo Joseph Soto Vergel)

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que se produce el máximo. La función crece desde −1 a +1 en el intervalo de 0 a 2𝜋 ∗ 𝑤𝑖𝑑𝑡ℎ; luego, disminuye linealmente desde +1 a −1 en el intervalo de 2𝜋 ∗ 𝑤𝑖𝑑𝑡ℎ a 2𝜋. Por lo tanto, un parámetro de 0.5 especifica una onda triangular estándar, simétrica respecto al instante de tiempo 𝜋 con pico a pico de amplitud de 1. Para la generación de una señal diente de sierra es necesario establecer parámetros adicionales tales como: amplitud 𝐴 y frecuencia fundamental 𝑓 (𝐻𝑧). En tiempo Continuo Amplitud (𝐴) 1 Frecuencia (𝑓) 100 Parámetros Ancho (𝑤𝑖𝑑𝑡ℎ) 0.5 Tiempo (𝑡) 0 ≤ 𝑡 ≤ 0.03 Comandos %% Onda Diente de Sierra Tiempo Continuo A = 1; %Amplitud f = 100; %Frecuencia Fundamental Fs = 10000; %Frecuencia de Muestreo T = 3*(1/f); %Número de Periodos a Graficar width = 0.5; %Ancho t = 0:1/Fs:T-1/Fs; %Tiempo de Simulación x = A*sawtooth(2*pi*f*t,width); %Generación de Señal plot(t,x),grid on,ylim([-1.1 1.1]) %Grafica

Gráfica

Parámetros

En Tiempo Discreto Amplitud (𝐴) Frecuencia (𝑓) Ancho (𝑤𝑖𝑑𝑡ℎ) Tiempo (𝑛)

1 0.125 0.5 0 ≤ 𝑛 ≤ 24

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Comandos %% Onda Diente de Sierra Tiempo Discreto A = 1; %Amplitud f = 0.125; %Frecuencia Fundamental T = 3*(1/f); %Número de Periodos a Graficar width = 0.5; %Ancho n = 0:T; %Tiempo de Simulación x = A*sawtooth(2*pi*f*n,width); %Generación de Señal stem(n,x),grid on,ylim([-1.1 1.1]) %Grafica

Gráfica

Generación de una señal Senoidal Sintaxis  sin(t)  cos(t) Descripción sin(t)y cos(t)devuelve el seno y coseno de los elementos de 𝑡 respectivamente. Estas funciones operan cada elemento presente una matriz. Las funciones aceptan dos categorías de valores de entrada: reales y complejas. Para entradas reales de 𝑡 en el intervalo [-inf, inf] las funciones devuelven valores reales en el intervalo [-1, 1]. Para valores complejos de 𝑡 , las funciones devuelven valores complejos. Es importante mencionar que todos los ángulos que pueda representar están en radianes. Para la generación de una señal senoidal es necesario establecer parámetros adicionales tales como: amplitud 𝐴 y frecuencia fundamental 𝑓 (𝐻𝑧); aunque también es posible adicional algún desfase es radianes. Teoría de Señales y Sistemas – Lab01, Generación De Señales Básicas Con MATLAB® (@Autor Ángelo Joseph Soto Vergel)

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Parámetros

En tiempo Continuo Amplitud (𝐴) Frecuencia (𝑓) Desfase (∅) Tiempo (𝑡) Comandos

1 100 𝜋/2 0 ≤ 𝑡 ≤ 0.03

%% Onda Senoidal Tiempo Continuo A = 1; %Amplitud f = 100; %Frecuencia Fundamental phi = pi/2; %Desfase en radianes Fs = 10000; %Frecuencia de Muestreo T = 3*(1/f); %Número de Periodos a Graficar t = 0:1/Fs:T-1/Fs; %Tiempo de Simulación x = A*sin(2*pi*f*t+phi); %Generación de Señal plot(t,x),grid on,ylim([-1.1 1.1]) %Grafica

Gráfica

Parámetros

En Tiempo Discreto Amplitud (𝐴) Frecuencia (𝑓) Desfase (∅) Tiempo (𝑛) Comandos

1 0.125 𝜋/2 0 ≤ 𝑛 ≤ 24

%% Onda Senoidal Tiempo Discreto A = 1; %Amplitud f = 0.125; %Frecuencia Fundamental phi = pi/2; %Desfase en radianes T = 3*(1/f); %Número de Periodos a Graficar n = 0:T; %Tiempo de Simulación x = A*cos(2*pi*f*n-phi); %Generación de Señal stem(n,x),grid on,ylim([-1.1 1.1]) %Grafica Teoría de Señales y Sistemas – Lab01, Generación De Señales Básicas Con MATLAB® (@Autor Ángelo Joseph Soto Vergel)

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Gráfica

Generación de una señal Exponencial Creciente y Decreciente Sintaxis  exp(t)  abs(x)  real(x)  imag(x)  atan(x) Descripción exp(t)devuelve el exponencial 𝑒 𝑡 para cada elemento de un array 𝑡 . Para los elementos complejos donde 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, devuelve la exponencial compleja 𝑒 𝑧 = 𝑒 𝑡 (cos 𝑦 + 𝑖 sin 𝑦). Para generar una señal creciente los valores del vector 𝑡 deben ser positivos (exp(t)) y en para el caso de una señal exponencial decreciente los valores de 𝑡 deben ser negativos exp(-t). También es posible generar una señal exponencial con base diferente al número de Euler, para ello se debe seguir la siguiente sintaxis: r.^t, donde r es un número real. NOTA: En el caso en donde 𝑧 es puramente imaginaria la señal definida será una señal compleja cuyas partes real e imaginaria son cos(𝜔0 𝑡) y sin(𝜔0 𝑡) respectivamente; y tomando como base el teorema de Euler es posible definir: 𝐴 ∗ cos(𝜔0 𝑡 + 𝜑) = 𝐴 ∗ Re{𝑒 𝑗(𝜔0 𝑡+𝜑) } y 𝐴 ∗ sin (𝜔0 𝑡 + 𝜑) = 𝐴 ∗ Im{𝑒 𝑗(𝜔0 𝑡+𝜑) } Teoría de Señales y Sistemas – Lab01, Generación De Señales Básicas Con MATLAB® (@Autor Ángelo Joseph Soto Vergel)

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Donde 𝐴 es real y “Re” se lee “la parte real de” e “Im” se lee “la parte imaginaria de”. Este tipo de señales por su naturaleza compleja requiere de dos gráficas para representarlas correctamente, una para la parte real (haciendo uso del comando real que retorna la parte real de una expresión compleja) y otra para la parte imaginaria (haciendo uso del comando imag que retorna la parte imaginaria de una expresión compleja), o bien, una para el módulo (haciendo uso del comando abs que retorna la magnitud de un número complejo) y otra para el argumento (haciendo uso del comando atan siguiente la sintaxis atan(imag(x)/real(x))). En tiempo Continuo Base (𝑟) 1.5 Parámetros Tiempo (𝑡) 0 ≤ 𝑡 ≤ 10 Comandos %% Onda Exponencial en Tiempo Continuo Fs = 10000; %Frecuencia de Muestreo t = 0:1/Fs:10; %Tiempo de Simulación x1 = exp(t); %Generación de Señal subplot(2,1,1),plot(t,x1),grid on %Grafica r = 1.5; x2 = r.^(-t); %Generación de Señal subplot(2,1,2),plot(t,x2),grid on %Grafica

Gráfica

Parámetros

En Tiempo Discreto Base (𝑟) Tiempo (𝑛) Comandos

1.5 0 ≤ 𝑛 ≤ 10...