03 Matemática Solucionario 02 II FASE PDF

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Matemática Solucionario 07

CEPRUNSA 2021 II FASE

FACTORIZACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS: FACTOR COMÚN E IDENTIDADES.

3. ¿Cuál es la expresión factorizada, que representa el área de la siguiente figura? A. (𝑎 − 𝑏)(𝑥 + 𝑦) B. (𝑎 + 𝑏)(𝑥 + 𝑦) C. (𝑎 − 𝑏)(𝑥 − 𝑦) D. (𝑎 + 𝑏)(𝑥 − 𝑦) E. (𝑎 + 𝑏)(𝑥 2 + 𝑦)

1. Indicar uno de los factores primos, al factorizar la expresión: 𝟓𝟎𝒏𝟑 − 𝟐𝒂 + 𝟓𝟎𝒂𝒏𝟐 − 𝟐𝒏 A. (𝑎 − 𝑛) B. (5𝑛 + 2) C. (5𝑛 + 1) D. (𝑛 + 1) E. (𝑛 − 1)

RESOLUCIÓN: Para encontrar el área de la figura tenemos que sumar las áreas de cada rectángulo: 𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙= 𝑥𝑎 + 𝑦𝑎 + 𝑥𝑏 + 𝑦𝑏 Agrupamos los términos y por factor común monomio:

RESOLUCIÓN: Se tiene:

50𝑛3 − 2𝑎 + 50𝑎𝑛2 − 2𝑛 Agrupando términos: (50𝑎𝑛2 + 50𝑛3) − (2𝑎 + 2𝑛) Aplicando factor común monomio: 50𝑛2 (𝑎 + 𝑛) − 2 (𝑎 + 𝑛 ) Aplicando factor común polinomio: 2(𝑎 + 𝑛 )(25𝑛2 − 1) Aplicando diferencia de cuadrados: 2(𝑎 + 𝑛)(5𝑛 + 1)(5𝑛 − 1) Por lo tanto, un factor primo es: (5𝑛 + 1).

𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙= 𝑥(𝑎 + 𝑏) + 𝑦(𝑎 + 𝑏) Por factor común polinomio: 𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙= (𝑎 + 𝑏)(𝑥 + 𝑦)

4. Indicar el número de factores primos que tiene la siguiente expresión: 𝒂𝒙 + 𝒃𝒙 + 𝒂𝒚 + 𝒃𝒚 − 𝒂𝒛 − 𝒃𝒛 A. 3 B. 4 C. 2 D. 5 E. 1

Respuesta: C

2. Simplificar la siguiente expresión: 𝟒𝒂𝟐 𝒙𝟑 − 𝟖𝒂𝟐 𝒚𝟑 − 𝟒𝒃𝟐 𝒙𝟑 + 𝟖𝒃𝟐 𝒚𝟑 𝟐𝒂𝟐 − 𝟐𝒃𝟐

RESOLUCIÓN: Por dato tenemos: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 − 𝑎𝑧 − 𝑏𝑧

A. 2(𝑥 3 − 2𝑦3 ) B. 3(𝑥 3 − 2𝑦 3) C. 2(𝑥 3 + 2𝑦3) D. 2(𝑥 2 − 2𝑦3 ) E. 3(𝑥 3 + 2𝑦5 )

Agrupamos términos y por factor común monomio: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 − 𝑎𝑧 − 𝑏𝑧 𝑥(𝑎 + 𝑏) + 𝑦(𝑎 + 𝑏) − 𝑧(𝑎 + 𝑏) Por factor común polinomio: (𝑎 + 𝑏)(𝑥 + 𝑦 − 𝑧) Por lo tanto, la expresión tiene dos factores primos.

RESOLUCIÓN: Por dato tenemos: 4𝑎2𝑥 3 − 8𝑎2𝑦 3 − 4𝑏 2𝑥 3 + 8𝑏2𝑦 3 2𝑎2 − 2𝑏2 Agrupamos términos en el numerador:

Respuesta: C 5. Hallar el número de factores totales al factorizar: 𝒂𝟒 + 𝒂𝟑 − 𝒂𝟐 − 𝒂 A. 12 B. 16 C. 4 D. 2 E. 6

(4𝑎2𝑥 3 − 8𝑎2𝑦 3) + (−4𝑏2𝑥 3 + 8𝑏2𝑦 3) 2(𝑎2 − 𝑏2) Por factor común monomio: 4𝑎2(𝑥 3 − 2𝑦3 ) − 4𝑏2(𝑥 3 − 2𝑦 3 ) 2(𝑎2 − 𝑏2) Por factor común polinomio: (𝑥 3 − 2𝑦3 )(4𝑎2 − 4𝑏2) 2(𝑎2 − 𝑏2) Factorizamos el 4 y luego simplificamos: 4(𝑥 3 − 2𝑦3)(𝑎2 − 𝑏2) 2(𝑎2 − 𝑏2) Por lo tanto, nos queda: 2(𝑥 3 − 2𝑦3 )

Respuesta: B

RESOLUCIÓN: Por dato se tiene:

𝑎4 + 𝑎3 − 𝑎2 − 𝑎 Por factor común monomio: 𝑎(𝑎3 + 𝑎2 − 𝑎 − 1) Agrupando los términos y por diferencia de cuadrados: 𝑎[𝑎2(𝑎 + 1) − (𝑎 + 1)] 𝑎(𝑎 + 1 )(𝑎2 − 1) 𝑎(𝑎 + 1 )(𝑎 + 1)(𝑎 − 1) 𝑎(𝑎 + 1 )2(𝑎 − 1) Pide: Número de factores totales (#𝑓. 𝑡. ) #𝑓. 𝑡. = (1 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 12 Respuesta: A

Respuesta: A

1

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6. Al multiplicar los tres lados de un triángulo escaleno, se obtiene 𝟐𝒙𝟑 + 𝟖𝒙𝟐 . Si un lado es el doble del otro, así como se muestra en la figura. Hallar la expresión algebraica que representa el tercer lado.

RESOLUCIÓN: Dato:

𝑥 6 − 𝑦6 Por diferencia de cuadrados: 𝑥 6 − 𝑦6 = (𝑥 3 + 𝑦3 )(𝑥 3 − 𝑦3 ) Por suma y diferencia de cubos: (𝑥 + 𝑦)(𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2 )(𝑥 − 𝑦)(𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 ) Por lo tanto, un factor es: (𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 )

A. 𝑥 + 4 B. 𝑥 + 2 C. 𝑥 + 1 D. 2𝑥 + 1 E. 3𝑥 − 1

Respuesta: D 9. Hallar la suma de los factores primos, luego de factorizar: 𝑬 = (𝒙 − 𝟐)𝟑 − 𝟏𝟐𝟓 A. 𝑥 2 + 3𝑥 − 12 B. 𝑥 2 + 2𝑥 + 11 C. 𝑥 2 + 2𝑥 + 19 D. 𝑥 2 − 2𝑥 − 12 E. 𝑥 2 + 2𝑥 + 12

RESOLUCIÓN: De

la

gráfica

tenemos:

RESOLUCIÓN: Por dato:

Luego:

Por lo tanto:

𝐸= (𝑥 − 2)3 − 125 𝐸= (𝑥 − 2)3 − (5)3 Por diferencia de cubos: 𝐸= (𝑥 − 2 − 5)[(𝑥 − 2)2 + 5 (𝑥 − 2 ) + 25] 𝐸= (𝑥 − 7 )[𝑥 2 − 4𝑥 + 4 + 5𝑥 − 10 + 25] 𝐸= (𝑥 − 7)[𝑥 2 + 𝑥 + 19] Nos pide hallar la suma de factores primos: x − 7 + 𝑥2 + 𝑥 + 19 ∴ 𝑥2 + 2𝑥 + 12 Respuesta: E

2𝑥 2𝑦 = 2𝑥3 + 8𝑥 2 2𝑥 2𝑦 = 2𝑥2(𝑥 3 + 4𝑥 2) 𝑦 = (𝑥 + 4 ) 𝑦 =𝑥+4

Respuesta: A

7. ¿Cuál es la expresión factorizada que mejor representa el área de la siguiente figura?

10. Hallar la suma de los términos independientes de los factores primos, luego de factorizar: (𝒙𝟐 − 𝟓)(𝒙𝟒 − 𝟏𝟔) + (𝒙𝟒 − 𝟏𝟔) A. 0 B. 2 C. 64 D. 4 E. −3

A. (𝑥 + 2)(3𝑥 + 4) B. (𝑥 + 2)(2𝑥 − 1) C. (𝑥 + 2)(4𝑥 + 5) D. (𝑥 + 2)(6𝑥 + 7) E. (𝑥 + 2)(5𝑥 + 6)

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN:

Sumamos el área de cada figura: (𝑥 + 2)2 + (𝑥 + 2 )(2𝑥 + 1) + (𝑥 + 2)(2𝑥 + 3) Factorizamos por factor común polinomio: (𝑥 + 2 )[𝑥 + 2 + 2𝑥 + 1 + 2𝑥 + 3 ] (𝑥 + 2)[5𝑥 + 6] Por lo tanto: (𝑥 + 2)(5𝑥 + 6) Respuesta: E

Por dato tenemos: (𝑥 2 − 5)(𝑥 4 − 16) + (𝑥 4 − 16) Por factor común polinomio y diferencia de cuadrados: (𝑥 4 − 16)[(𝑥 2 − 5) + 1] (𝑥 2 + 4)(𝑥 2 − 4)(𝑥 2 − 4) (𝑥 2 + 4)(𝑥 + 2 )(𝑥 − 2)(𝑥 + 2 )(𝑥 − 2) (𝑥 2 + 4)(𝑥 + 2 )2(𝑥 − 2)2 Sumamos los términos independientes de los factores primos: 𝑆𝑢𝑚𝑎 = 4 + 2 − 2 = 4 Respuesta: D

8. Factorizar la expresión : 𝒙𝟔 − 𝒚𝟔 y luego indicar un factor primo. A. 𝑥 2 − 𝑥𝑦 − 𝑦2 B. 𝑥 2 + 𝑥𝑦 − 𝑦2 C. 𝑥 2 − 𝑦 2 D. 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 E. 2𝑥 2 − 𝑥𝑦 − 𝑦2 2

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11. Expresar el área sombreada en forma factorizada de la siguiente figura, si el lado del cuadrado pequeño es 𝟕𝒙𝟑 𝒚𝟐 y el lado del cuadrado grande es 12. A. (12 + 7𝑥 3𝑦 2 )(12 − 7𝑥 3𝑦 2 ) B. (10 + 7𝑥3𝑦 2 )(12 − 7𝑥 3𝑦 2 ) C. (12 + 7𝑥 3𝑦 2 )(12 − 7𝑥2𝑦 2 ) D. (12 + 7𝑥 3𝑦 3 )(12 − 7𝑥 3𝑦 2 ) E. (7 + 12𝑥 3𝑦 2)(12 − 7𝑥3𝑦 2 )

Finalmente obtenemos: 𝑅(𝑥; 𝑦) = (𝑥2 + 6𝑦 2)(4𝑥 2 − 9𝑦2) 𝑅(𝑥; 𝑦) = (𝑥2 + 6𝑦2 )(2𝑥 + 3𝑦)(2𝑥 − 3𝑦) Número de factores algebraicos: ∴ (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) − 1 = 7 𝑎ñ𝑜𝑠

RESOLUCIÓN: El área sombreada es: 𝐴𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎= 𝐴𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒 − 𝐴𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜 𝐴𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎= (12)2 − (7𝑥3𝑦 2 )2 Por diferencia de cuadrados se tiene: 𝐴𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎= (12 + 7𝑥 3𝑦 2 )(12 − 7𝑥 3𝑦 2 ) Respuesta: A

14. Factorizar 𝑨(𝒙; 𝒚) = 𝟖𝒙𝟔 − 𝟏𝟗𝒙𝟑 𝒚𝟑 − 𝟐𝟕𝒚𝟔 y dar como respuesta la suma de factores primos lineales. A. 3𝑥 − 3𝑦 B. 5𝑥 + 2𝑦 C. 3𝑥 − 2𝑦 D. 𝑥 − 2𝑦 E. 2𝑥 + 2𝑦

12. Determinar el número de factores algebraicos que se obtiene al factorizar: 𝑨 = 𝟔𝒙𝟗 − 𝟏𝟓𝟑𝟔𝒙

RESOLUCIÓN:

A. 127 B. 63 C. 31 D. 11 E. 8 RESOLUCIÓN: Se tiene: Factorizamos:

Respuesta: C

Aplicando el método del aspa:

𝐴 = 6𝑥9 − 1536𝑥

Finalmente obtenemos: 𝑅(𝑥; 𝑦) = (8𝑥3 − 27𝑦 3)(𝑥 3 + 𝑦3 ) 𝑅(𝑥; 𝑦) = (2𝑥 − 3𝑦)(4𝑥 2 + 6𝑥𝑦 + 9𝑦2 )(𝑥 + 𝑦)(𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2 )

𝐴 = 6𝑥(𝑥 8 − 256) 𝐴 = 6𝑥(𝑥 4 + 16)(𝑥 4 − 16) 𝐴 = 6𝑥(𝑥 4 + 16)(𝑥 2 + 4 )(𝑥 2 − 4) 𝐴 = 6𝑥(𝑥 4 + 16)(𝑥 2 + 4 )(𝑥 + 2)(𝑥 − 2 ) 𝐴 = 6𝑥(𝑥 4 + 16)(𝑥 2 + 4 )(𝑥 + 2)(𝑥 − 2 ) Pide: Número de factores algebraicos (#𝑓. 𝑎. ) #𝑓. 𝑎. = #𝑓. 𝑡. −1 #𝑓. 𝑎. = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) − 1 = 31 #𝑓. 𝑎. = 25 − 1 = 31 Respuesta: C

Suma de los factores primos lineales: ∴ (2𝑥 − 3𝑦) + (𝑥 + 𝑦) = 3𝑥 − 2𝑦 Respuesta: C 15. Factorizar el polinomio: 𝑷(𝒙) = 𝒂𝟐 𝒙𝟐 + 𝒂𝒃𝒙 − 𝟐𝒃𝟐 y dar como respuesta la suma de sus factores primos. A. 2𝑎𝑥 − 𝑏 B. 𝑎𝑥 + 𝑏 C. 2𝑎𝑥 + 𝑏 D. 2𝑎𝑥 + 3𝑏 E. 𝑎𝑥 + 2𝑏

FACTORIZACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS: FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS Y POLINOMIOS (RUFFINI Y ASPA SIMPLE)

RESOLUCIÓN:

13. La edad de su hija de Jaimito, es equivalente al número de factores algebraicos que tiene el siguiente polinomio: 𝑹(𝒙; 𝒚) = 𝟒𝒙𝟒 + 𝟏𝟓𝒙𝟐 𝒚𝟐 − 𝟓𝟒𝒚𝟒 ¿Cuál es la edad de la hija de Jaimito?

Aplicando aspa simple:

A. 3 𝑎ñ𝑜𝑠 B. 5 𝑎ñ𝑜𝑠 C. 7 𝑎ñ𝑜𝑠 D. 8 𝑎ñ𝑜𝑠 E. 9 𝑎ñ𝑜𝑠 RESOLUCIÓN:

De aquí tenemos:

𝑃(𝑥) = (𝑎𝑥 + 2𝑏)(𝑎𝑥 − 𝑏) Suma de factores primos: 𝑎𝑥 + 2𝑏 + 𝑎𝑥 − 𝑏 = 2𝑎𝑥 + 𝑏

Aplicando el método del aspa:

3

Respuesta: C

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16. Factorizar: 𝑺(𝒙; 𝒚) = 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 𝒚 − 𝟏𝟕𝒙𝒚𝟐 + 𝟑𝟑𝒚𝟑

RESOLUCIÓN: Aplicamos la regla de Ruffini.

RESOLUCIÓN:

Calculamos el resto 𝑚 + 30 = 0 → 𝑚 = −30 ∴ 𝑚 = −30

A. (𝑥 − 3𝑦)(𝑥 2 + 2𝑥𝑦 − 11𝑦 2 ) B. (𝑥 + 3𝑦)(𝑥2 + 2 𝑥𝑦 − 11𝑦 2) C. (𝑥 − 3𝑦)(𝑥 2 − 2𝑥𝑦 − 11𝑦 2) D. (𝑥 − 3𝑦)(𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 11𝑦 2) E. (𝑥 − 3𝑦)(𝑥 2 + 𝑥𝑦 − 11𝑦 2)

Aplicando divisores binómicos, asumimos a “x” como la única variable. 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 = ±{1; 3; 11; 33}

Respuesta: C

19. Si 𝟐𝒙 − 𝟏 es un factor de: 𝒅𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟒, entonces el valor de “𝒅” es: 1 A. 2

B. 4 1 C. − 2 Por lo tanto:

D. −6 E. 6 𝑆(𝑥; 𝑦) = (𝑥 − 3𝑦)(𝑥 2 + 2𝑥𝑦 − 11𝑦 2) Respuesta: A

RESOLUCIÓN: Reconstruimos el aspa simple en el trinomio:

17. Factorizar el polinomio 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 , e indicar cuál no es un factor de 𝑷(𝒙). A. 𝒙 B. 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 C. 𝒙𝟐 − 𝒙 D. 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟒 E. 𝒙 + 𝟑

Debe cumplir:

Por lo tanto:

RESOLUCIÓN:

(2𝑥)(𝑎𝑥) = 𝑑𝑥 2 ∴𝑑 =6

Respuesta: E 20. Juan y sus amigos forman un grupo, donde "𝒎" es igual al mayor término independiente de los factores primos de 𝑷(𝒙; 𝒚) = (𝒙 + 𝒚 + 𝟑)𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟕𝒚 + 𝟑𝟏. ¿Cuántos integrantes tiene el grupo?

𝑃(𝑥) tiene a “𝑥” como factor común, entonces: 𝑃(𝑥) = 𝑥 3 + 3𝑥 2 − 4𝑥 𝑃(𝑥) = 𝑥(𝑥 2 + 3𝑥 − 4) El factor 𝑥 2 + 3𝑥 − 4 se logra descomponer con el método del aspa simple.

A. 2 B. 7 C. 8 D. 3 E. 39

Luego:

RESOLUCIÓN: Descomponer convenientemente el 31 con la finalidad de aplicar el método del aspa. (𝑥 + 𝑦 + 3)2 + 7𝑥 + 7𝑦 + 21 + 10 Extrayendo el factor 7 de la expresión indicada: 𝑃(𝑥; 𝑦) = (𝑥 + 𝑦 + 3)2 + 7(𝑥 + 𝑦 + 3) + 10 Aplicando aspa simple:

𝑃(𝑥) = 𝑥(𝑥 + 4)(𝑥 − 1) A continuación tenemos algunos factores de 𝑃(𝑥): 𝑥(𝑥 + 4) = 𝑥2 + 4𝑥 𝑥(𝑥 − 1) = 𝑥 2 − 𝑥 (𝑥 + 4)(𝑥 − 1) = 𝑥 2 + 3𝑥 − 4 𝑥(𝑥 + 4 )(𝑥 − 1) = 𝑥3 + 3𝑥 2 − 4𝑥 Por lo tanto, 𝑥 + 3 no es un factor de 𝑃(𝑥).

−𝑎𝑥 + 8𝑥 = 5𝑥 𝑎=3

Respuesta: E

18. Si: 𝒙 − 𝟑 es factor de 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝒎, hallar “𝒎”. A. −27 B. 18 C. −30 D. 24 E. 30

Finalmente obtenemos: 𝑃(𝑥; 𝑦) = (𝑥 + 𝑦 + 8)(𝑥 + 𝑦 + 5) Nos piden: 𝑇𝐼: 8 ∧ 5 Entonces el número de integrantes es 8. Respuesta: C

4

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21. Hallar la suma de los factores primos al factorizar: 𝑷(𝒙; 𝒚) = 𝟏𝟓𝒙𝟒 − 𝟐𝟗𝒙𝟐 𝒚𝟐 − 𝟏𝟒𝒚𝟒

RESOLUCIÓN: Aplicando divisores binómicos:

A. 7𝑥2 + 5𝑦2 B. 8𝑥2 − 5𝑦 2 C. 15𝑥 2 − 9𝑦 2 D. 7𝑥2 + 3𝑦2 E. 5𝑥 2 − 7𝑦2

RESOLUCIÓN:

Aplicando el método del aspa:

Del esquema:

Nos piden:

𝑎+5−6= 0 ∧ 𝑏+𝑎+5 =0 𝑎 = 1 ∧ 𝑏+1+5= 0 𝑏 = −6 𝑎 + 𝑏 = 1 + (−6) = −5

Respuesta: D

24. Calcular “𝒂𝒃𝒄" a partir de la identidad: 𝟐𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟐 = (𝒂𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝒃)(𝒙 − 𝒄) A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 E. 9

Finalmente obtenemos: (5𝑥 2 + 2𝑦2)(3𝑥 2 − 7𝑦 2) Sumamos los factores primos: 5𝑥 2 + 2𝑦2 + 3𝑥 2 − 7𝑦 2 = 8𝑥2 − 5𝑦2 Respuesta: B 22. Si la cantidad de camas UCI que se encuentran disponibles en un hospital, se halla sumando los términos independientes de los factores primos del polinomio 𝑷(𝒂; 𝒃) = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝟑𝒂 + 𝟑𝒃 + 𝟐𝒂𝒃 − 𝟐𝟖. ¿Cuántas camas UCI disponibles tiene dicho hospital?

RESOLUCIÓN: Sea: 𝐿(𝑥) = 2𝑥3 − 5𝑥 2 + 𝑥 + 2, divisores binómicos:

A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 E. −3

factorizamos

𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 = ± {1;

1 ; 2} 2

𝐿(𝑥)

por

RESOLUCIÓN: Agrupamos convenientemente: 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 + 3𝑎 + 3𝑏 − 28 (𝑎 + 𝑏)2 + 3(𝑎 + 𝑏) − 28 Aplicando el método del aspa:

Del esquema: 2𝑥 3 − 5𝑥 2 + 𝑥 + 2 = (2𝑥 2 − 3𝑥 − 2)(𝑥 − 1) Por aspa simple:

Por lo tanto: 2𝑥 3 − 5𝑥 2 + 𝑥 + 2 = (2𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 1)

Finalmente obtenemos: (𝑎 + 𝑏 + 7)(𝑎 + 𝑏 − 4) Sumamos los términos independientes de los factores primos: ∴ 7 + (−4 ) = 3 Respuesta: B

Finalmente: (𝑎𝑥 + 1)(𝑥 − 𝑏)(𝑥 − 𝑐) = (2𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 1) ∴𝑎+𝑏+𝑐 = 2+2+1= 5 Respuesta: C

23. Hallar el valor de "𝒂 + 𝒃", si el polinomio: 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝒂𝒙 + 𝒃 es divisible entre (𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟑). A. 𝟑 B. −𝟑 C. 𝟓 D. −𝟓 E. 𝟕 5

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ECUACIONES CUADRÁTICAS

27. El Premio Abel es un galardón que se le otorga a un matemático destacado. La recompensa económica para el  €, semejante a la del Premio Nobel. premiado es de 𝒂𝒂𝟎𝟎𝟎𝟎 El valor de "𝒂" se puede obtener de la siguiente ecuación (−𝟑 − 𝟐𝒂)𝒙𝟐 + (𝟓 − 𝒂)𝒙 − 𝟑𝒂 + 𝟒 = 𝟎, que presenta raíces recíprocas. ¿Cuál es dicha recompensa?

25. Hallar el conjunto solución de la siguiente ecuación:

4𝑥 2 + 3𝑥 − 2 = 0

−3+√41

A. 𝑐𝑠 = {

4 −3+√41

B. 𝑐𝑠 = {

8 3+√41

C. 𝑐𝑠 = {

1

8

D. 𝑐𝑠 = { ; 1}

;

;

;

−3−√41 4

−3−√41

8 3−√41 8

}

2 −3+√17 −3−√17

E. 𝑐𝑠 = {

8

;

8

}

A. 770000 € B. 660000 € C. 550000 € D. 220000 € E. 110000 €

}

}

RESOLUCIÓN:

RESOLUCIÓN: Dato:

Dato: (−3 − 2𝑎)𝑥 2 + (5 − 𝑎)𝑥 − 3𝑎 + 4 = 0 Sabemos que si una ecuación presenta raíces recíprocas: 𝑎=𝑐 Luego: −3 − 2𝑎 = −3𝑎 + 4 𝑎=7 Reemplazando en:  𝑎𝑎0000 € 𝑅𝑒𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑠𝑎 = 770000 € Respuesta: A

4𝑥 2 + 3𝑥 − 2 = 0

Donde: 𝑎 = 4; 𝑏 = 3 𝑦 𝑐 = −2 Aplicando la fórmula general: −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 𝑥1,2= 2𝑎 −3 ± √(3)2 − 4(4)(−2) 𝑥1,2= 2(4) −3 ± √41 𝑥1,2= 8

A. 2 B. −2 C. 4 D. −4 E. √3

−3 − √41 −3 + √41 ⋁ 𝑥2 = 𝑥1 = 8 8 −3 + √41 −3 − √41 ; } 8 8

∴ 𝑐𝑠 = {

Respuesta: B

RESOLUCIÓN: Dato: 𝑥1 = 2 − √3 → 𝑥2 = 2 + √3 Sabemos que la formación de una ecuación cuadrática es: 𝑥 2 − 𝑆𝑥 + 𝑃 = 0, donde: 𝑆 = 𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 y 𝑃 = 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 Luego: 𝑆 = 2 − √3 + 2 + √3 = 4

26. Para apoyar una escalera en la pared de forma correcta, la base y la altura debe estar en la relación de 𝟏 a 𝒎 respectivamente. Si la suma de raíces de: (𝒎 − 𝟏)𝒙𝟐 − 𝟑𝒎𝒙 − 𝟐 = 𝒎𝟐 , es 4. ¿Cuál es dicha relación? A. 1 𝑎 5 B. 1 𝑎 4 C. 1 𝑎 3 D. 1 𝑎 2 E. 1 𝑎 1

2

𝑃 = (2 − √3)(2 + √3) = 22 − √3 = 1 Por lo tanto, la ecuación es: 𝑥 2 − 4𝑥 + 1 = 0

Entonces: 𝑎= 1; 𝑏= −4; 𝑐=1 Pide: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = −2

RESOLUCIÓN: Dato:

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎

28. Si una raíz de la ecuación cuadrática: es 𝟐 − √𝟑. Hallar el valor de "𝒂 + 𝒃 + 𝒄".

(𝑚 − 1)𝑥 2 − 3𝑚𝑥 − 2 = 𝑚 2 (𝑚 − 1)𝑥 2 − 3𝑚𝑥 − 2 − 𝑚 2 = 0

Luego la suma de raíces es: 𝑥1 + 𝑥2 =

4=

−(−3𝑚)

Respuesta: B 29. Hallar el valor de "𝒏", si la siguiente ecuación presenta raíces simétricas. (𝟔 + 𝟑𝒏)𝒙𝟐 + (𝟏𝟖 − 𝟑𝒏)𝒙 + 𝟐𝒏 + 𝟏𝟎 = 𝟎

−𝑏 𝑎

A. 6 B. 8 C. 3 D. 1 E. 2

𝑚−1

4𝑚 − 4 = 3𝑚 𝑚=4

Como 𝑚 = 4 entonces la relaciones de 1 𝑎 4.

RESOLUCIÓN:

Respuesta: B

Dato: (6 + 3𝑛)𝑥 2 + (18 − 3𝑛)𝑥 + 2𝑛 + 10 = 0 6

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CEPRUNSA 2021 II FASE 32. Hallar el valor de "𝒂 − 𝒃" si las ecuaciones son equivalentes. (𝒂 − 𝟓)𝒙𝟐 + 𝟒𝒃𝒙 + 𝟒 = 𝟎 (𝒂 − 𝟏)𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟐 = 𝟎

Sabemos que si la ecuación 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 presenta raíces simétricas entonces 𝑏 = 0. Luego: 18 − 3𝑛 = 0 𝑛=6 Respuesta: A

A. −6,5 B. 6,5 C. −1 D. −0,5 E. 0,5

30. El volcán Misti es uno de los siete volcanes activos del sur del país, cuya cumbre está localizada a "𝒃" 𝒌𝒎 del centro de la ciudad de Arequipa. Si el valor de "𝒃" se puede obtener de la siguiente ecuación 𝟒𝒙𝟐 + 𝟒𝒃𝒙 + 𝟐𝟖𝟗 = 𝟎, que presenta raíces iguales. ¿Cuál es la distancia al centro de la ciudad?

RESOLUCIÓN: Dato:

(𝑎 − 5)𝑥 2 + 4𝑏𝑥 + 4 = 0 (𝑎 − 1)𝑥2 − 7𝑥 + 2 = 0 Sabemos que son ecuaciones equivalentes, por lo tanto: 𝑎 − 5 4𝑏 4 = = 𝑎 − 1 −7 2 Luego: 𝑎−5 4𝑏 =2 =2 ⋀ −7 𝑎−1 𝑎 − 5 = 2𝑎 − 2 ⋀ 4𝑏 = −14 −3 = 𝑎 ⋀ 𝑏 = −3,5

A. 34𝑘𝑚 B. 15𝑘𝑚 C. 17𝑘𝑚 D. 51𝑘𝑚 E. 16𝑘𝑚 RESOLUCIÓN: Dato: 4𝑥 2 + 4𝑏𝑥 + 289 = 0 Sabemos que si una ecuación presenta raíces iguales: ∆= 0 Luego: 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 (4𝑏)2 − 4(4)(289) = 0 16𝑏2 − 16(289) = 0 𝑏2 − 289 = 0 𝑏2 = 289 𝑏 = 17 ⋁ 𝑏 = −17 Entonces: 𝑏 = 17 Por lo tanto:

Pide: 𝑎 − 𝑏 = −3 − (−3,5) = 0,5

Respuesta: E 33. Las raíces de la ecuación: 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, son ambas reales y mayores que 1. Sea: 𝑴 = 𝒃 + 𝒄 + 𝟏, entonces "𝑴": A. Puede ser menor que cero. B. Debe ser mayor que cero. C. Debe ser menor que cero. D. Puede ser igual a cero. E. Debe estar entre -1 y 1.

𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 = 17 𝑘𝑚

Respuesta: C 31. América es el continente que cubre el 8 % de la  países. Si el superficie total del planeta, conformado por 𝒂𝟓 valor de "𝒂" se puede obtener de la siguiente ecuación (𝒂 − 𝟏)𝒙𝟐 + 𝟒𝒂𝒙 + 𝟒 = 𝟎, cuyo producto de raíces es 𝟐. ¿Cuántos países tiene el continente americano?

RESOLUCIÓN: Sean 𝑥1 ⋀ 𝑥2 raíces de 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.

Del enunciado tenemos: 𝑥1 > 1 ⋀ 𝑥2 > 1 𝑥1 − 1 > 0 ⋀ 𝑥2 − 1 > 0 … (𝐼) Además: 𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏 ⋀ 𝑥1. 𝑥2 = 𝑐 Por dato: 𝑀 = 𝑏 + 𝑐 + 1 𝑀 = −𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥1 . 𝑥2 + 1 𝑀 = 𝑥1 (𝑥2 − 1) − ( 𝑥2 − 1) 𝑀 = (𝑥2 − 1)( 𝑥1 − 1) Por lo tanto, de (𝐼) se deduce que 𝑀 > 0.

A. 15 B. 25 C. 45 D. 20 E. 35 RESOLUCIÓN: Dato: (𝑎 − 1)𝑥 − 4𝑎𝑥 + 4 = 0 Luego el producto de raíces es: 𝑥1 . 𝑥2 = 2

4 2= 𝑎−1

34. Sea la ecuación cuadrática: 𝒂𝒙𝟐 − 𝒃𝒙 + 𝟑 = 𝟎. Si tiene por

𝑐

𝑎

conjunto solución: {

A. 𝑚 − 𝑛 B. 𝑚 + 𝑛 C. 3 D. 1 E. 𝑛

2𝑎 − 2 = 4 𝑎=3

 Reemplazando en:  𝑎5 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑖𝑠𝑒𝑠 = 35 .

Respuesta: B

Respuesta: E

7

𝒎𝟏𝟓 +𝒏𝟐 +𝟐 𝒎𝟏𝟓 +𝒏𝟐 +𝟐 ; 𝒏𝟐+𝟏 }. 𝒎𝟏𝟓+𝟏

Hallar el valor de "𝒃".

Matemática Solucionario 07

CEPRUNSA 2021 II FASE

RESOLUCIÓN:

PROBLEMAS CON ECUACIONES CUADRÁTICAS

Sean 𝑥1 ⋀ 𝑥2 raíces de 𝑎𝑥 2 − 𝑏𝑥 + 3 = 0 𝑚15+ 𝑛2 + 2 𝑚15+ 𝑛2 + 2 ; 𝑥2 = 𝑥1 = 15 𝑛2 + 1 𝑚 +1 Luego: 1 1 𝑛2 + 1 𝑚15+ 1 + 15 = 15 + 2 𝑚 + 𝑛2 + 2 𝑥1 𝑥2 𝑚 + 𝑛 + 2 𝑚15+ 𝑛 2 + 2 1 1 = + =1 𝑥1 𝑥2 𝑚15+ 𝑛2 + 2 Entonces: 𝑥2 + 𝑥1 1 1 =1 + =1→ 𝑥1. 𝑥2 𝑥1 𝑥2 𝑏 𝑏 𝑎 → 3 =1→ =1→𝑏=3 3 𝑎 Respuesta: C 35. Si 𝟐 es una de las raíces de la ecuación: 𝒙𝟐 − (𝒌 − 𝟑)𝒙 + 𝒌𝟐 + 𝒌 − 𝟏𝟔 = 𝟎 Calcula la otra raíz, sabiendo que 𝒌 < 𝟎. A. −5 B. −7 C. 7 D. 3 E. 5

37. Hallar un número entero, sabiendo que la suma con su 𝟐𝟔 inverso es 𝟓 . A. 4 B. 10 C. 5 D. 6 E. 13 RESOLUCIÓN: Tomando como datos: 𝑈𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜: 𝑥

𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜:

1 𝑥

Aplicando la condición:

1 26 = 5 𝑥 𝑥 2 + 1 26 = 5 𝑥 𝑥+

5𝑥 2 + 5 = 26𝑥 5𝑥 2 − 26𝑥 + 5 = 0 (5𝑥 − 1)(𝑥 − 5) = 0 1 ∨ 𝑥=5 𝑥= 5

RESOLUCIÓN: Dato: 2 es una raíz de la ecuación: 𝑥 2 − (𝑘 − 3)𝑥 + 𝑘 2 + 𝑘 − 16 = 0 Entonces reemplazamos para hallar "𝑘": 22 − (𝑘 − 3 )(2) + 𝑘 2 + 𝑘 − 16 = 0 𝑘2 − 𝑘 − 6 = 0 (𝑘 − 3 )(𝑘 + 2) = 0 𝑘 = 3 ⋁ 𝑘 = −2 Sabiendo que: 𝑘 < 0 → 𝑘 = −2 Luego la ecuación es: 𝑥 2 − (𝑘 − 3 )𝑥 + 𝑘2 + 𝑘 − 16 = 0 𝑥 2 + 5𝑥 − 14 = 0 (𝑥 + 7)(𝑥 − 2) = 0 Por lo tanto: 𝑥 = −7 ⋁ 𝑥 = 2 Entonces la otra raíz es −7. Respuesta: B 36. Según el Libro de los Récords “Guinness, el hombre más 𝟕𝒑  𝒎. El valor de "𝒑" se puede alto de la historia mide 𝟐, obtener de la siguiente ecuación: (𝟓 + 𝟐𝒑)𝒙𝟐 − (𝟏𝟐 − 𝟔𝒑)𝒙 + 𝒑 + 𝟏𝟏 = 𝟎, que presenta raíces simétricas. ¿Cuánto mide el hombre más alto del mundo? A. 2,75 𝑚 B. 2,72 𝑚 C. 2,71 𝑚 D. 2,74 𝑚 E. 2,76 𝑚

Por tanto, el número será el 5. Respuesta: C 38. Calcular las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75m, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36m y 48m respectivamente. A. 40m y 55m B. 50m y 65m C. 45m y 55m D. 45m y 60m E. 50m y 60m RESOLUCIÓN: Como tenemos los datos de un rectángulo semejante se tiene entonces: 36 3 → 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 = 48 4 Los lados están a razón de 3 a 4 por lo tanto en el rectángulo pedido será:

RESOLUCIÓN: Dato: (5 + 2𝑝)𝑥 2 − (12 − 6𝑝)𝑥 + 𝑝 + 11 = 0 Sabemos que si la ecuac...