04 - - Całka podwójna - zadania - Zastosowanie całki podwójnej w mechanice - Całki PDF

Preview

Summary

- Całka podwójna - zadania
- Zastosowanie całki podwójnej w mechanice
- Całki potrójne
- Zamiana zmiennych na współrzędne sferyczne
- Przekształcenie Laplace'a...

Description

Całki podwójne – zadania Prz. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi: (𝑥 − 2)2 + 𝑦 2 = 4 (𝑥 − 1)2 + 𝑦 2 = 1 𝑦 = 𝑥 ,𝑦 = 0 =============================================  Współrzędne biegunowe: Stare współrzędne x,y. 𝑥 = 𝑟 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑦 = 𝑟 ⋅ 𝑠𝑖𝑛𝜑

Zad. Wyprowadzić wzór na pole sfery o promieniu R. (4πR2 )  Umieścić ją w początku układu współrzędnych: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑅2  Wystarczy policzyć połowe, a później się pomnoży  𝑧 = √𝑅 2 − (𝑥 2 + 𝑦 2 ) 𝑝𝑜𝑙𝑒(Σ) = ∬ √1 + (𝑧𝑥 )2 + (𝑧𝑦 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 2

𝐷

To je całka nad powierzchnią będącą przekrojem sfery więc pewnie: 𝐷: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑅2 𝑅 𝑑𝑥𝑑𝑦

Po uproszczeniu:

𝐵 2 − (𝑥 2 + 𝑦 2 ) = √𝑅 𝐷 𝑅 ⋅ ρ dρ dφ =⋯ =∬ √𝑅2 − 𝜌2 ∆

𝑝𝑜𝑙𝑒(Σ) = ∬

Prz. (też geometryczne zastosowanie) Objętość bryły.

𝑉 ⊂ 𝑅3 Zad. Obliczyć pole części powierzchni: 𝐷 ⊂ 𝑅 2 − 𝑜𝑏𝑠𝑧𝑎𝑟 𝑟𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑛𝑦 𝑧 = √𝑥 2 + 𝑦 2 (𝑠𝑡𝑜ż𝑒𝑘) 𝑉 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 3 : 𝑑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑍 ≤ 𝑔 (𝑥, 𝑦) (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷} Odcięta płaszczyznami: 𝑧 = 1, 𝑧 = 2 𝑜𝑏𝑗ę𝑡𝑜ść(𝑉) = ∬ 𝑔 (𝑥, 𝑦 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 − ∬ 𝑑 (𝑥, 𝑦 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷

𝐷

= ∬(𝑔(𝑥, 𝑦 ) − 𝑑(𝑥, 𝑦)) 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝜎 = 𝜎 (𝑥, 𝑦) − 𝑔ę𝑠𝑡𝑜ść 𝑝𝑜𝑤𝑖𝑒𝑟𝑧𝑐ℎ𝑛𝑖𝑜𝑤𝑎 𝑝ł𝑦𝑡𝑘𝑖

𝐷

W 𝑅3 : 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 - jest to powierzchnia walca 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 9 - sfera

Interesuje nas jaka jest jej masa.

Jeśli liczymy coś o środku w kole to dobrze jest sprawdzić czy uda nam się to policzyć na współrzędnych biegunowych. Liczenie pola powierzchni fragmentu wykresu funkcji – pole płata powierzchniowego: Mamy wykres funkcji: 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) Policzyć pole nad obszarem: (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 (Analogia z 1 semestru – długość łuku funkcji (od a do b), niżej: ) 𝑏

𝑑ł𝑢𝑔𝑜ść ł𝑢𝑘𝑢 = ∫ √1 + (𝑓 ′ )2 𝑑𝑥𝑑𝑦

Teraz płat powierzchniowy:

𝑎

𝑝𝑜𝑙𝑒 𝑝ł𝑎𝑡𝑎 (Σ) = ∬ √1 + (𝑓𝑥 )2 + (𝑓𝑦 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷

Zastosowanie w mechanice: Masa płaskiej płytki o zadanej gęstości

2

Tniemy płytkę na małe części o wymiarach np. (prostokąt) (Δ𝑥𝑘 , Δ𝑦𝑘 ) Wybierzmy punkt (𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 ) z tej powierzchni Δ𝑚𝑘 = 𝜎(𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 ) ⋅ Δ𝑥𝑘 ⋅ Δ𝑦𝑘 𝑛

𝑛

𝑘=1

𝑘=1

𝑀 ≅ ∑ Δ𝑚𝑘 = ∑ σ(xk∗ , 𝑦𝑘∗ ) ⋅ Δ𝑥𝑘 ⋅ Δ𝑦𝑘 = ∬ 𝜎(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷

Zad. Obliczyć masę obszaru D ograniczonego prostymi 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑥 + 𝑦 = 2 Jeżeli gęstość powierzchniowa masy obszaru 𝐷 w punkcie (𝑥, 𝑦) wyraża się wzorem 𝜎(𝑥, 𝑦) = 𝑥 ⋅ 𝑦

Całki potrójne: 𝑛

∗)

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∑ 𝑓(𝑥 ⋅ Δ𝑥𝑘 𝑘 𝛿(𝑃)→0 𝑘=1

[𝒂,𝒃]

∬

[𝒂,𝒃]𝒙[𝒄,𝒅]

∭

𝑛

𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = lim ∑ 𝑓(𝑥𝑘∗ , 𝑦𝑘∗) ⋅ Δ𝑥𝑘 Δ𝑦𝑘 𝛿(𝑃)→0

𝑘=1

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

[𝒂,𝒃]𝒙[𝒄,𝒅]𝒙[𝒑,𝒒]

𝑛

= lim ∑ 𝑓(𝑥𝑘∗ , 𝑦𝑘∗ , 𝑧𝑘∗ ) ⋅ Δ𝑥𝑘 Δ𝑦𝑘 Δ𝑧𝑘 𝛿(𝑃)→0

𝑘=1

Niech funkcja f będzie ciągła na prostopadłościanie 𝑅 = [𝑎, 𝑏 ]𝑥[𝑐, 𝑑 ]𝑥[𝑝, 𝑞] Wtedy: ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑅

𝑏

𝑑

𝑐

𝑝

Kolejność iterowania jest przemienna, ale mogą być problemy podczas liczenia jeśli źle dobierzemy. 𝑞

Uwaga! Całkę iterowaną 𝑑

𝑏

∫ {∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 ] 𝑑𝑦} 𝑑𝑧 𝑐

𝑎

𝑝

Będziemy zapisywać w postaci: 𝑏

𝑑

Przykład: Niech V będzie obszarem ograniczonym powierzchniami: 𝑧 = 3 − 𝑥2 − 𝑦 2 , 𝑧=2

𝑉 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 3 : 2 ≤ 𝑧 ≤ 3 − 𝑥 2 − 𝑦 2 ∧ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷𝑥𝑦 }

Całka podwójna po obszarez normalnym: Niech f będzie funkcją ciągłą na obszarze 𝑉 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3 ∶ 𝑑 (𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝑔(𝑥, 𝑦) ∧ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷𝑥𝑦 } Normalnym względem płaszczyzny xOy Wtedy: ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉

= ∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦 ⋅ 𝐷𝑥𝑦

𝑞

= ∫ {∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 ] 𝑑𝑦 } 𝑑𝑧 𝑎

Dla wszystkich punktów (𝑥, 𝑦) należących do wnętrza obszaru regularnego 𝐷𝑥𝑦 .

𝑞

𝑐

V jest obszarem ograniczonym powierzchniami: 𝑧 = 0, 𝑦 = 0, −𝑥 + 𝑦 = 1, 𝑧 = 1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 , 𝑧 = −1 ∭ 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦 ⋅ 𝑉

Obszary normalne (w całkach podwójnych też były): Obszar normalny względem płaszczyzny 𝑂𝑥𝑦 (płaszczyzna osi Ox i Oy)

𝑉 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3 : 𝑑 (𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝑔(𝑥, 𝑦), (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷𝑥𝑦 } , gdzie 𝑔(𝑥, 𝑦), 𝑑 (𝑥, 𝑦) są funkcjami ciągłymi

𝐷𝑥𝑦 1

𝑦=1−𝑥

0

𝑦=0

= ∫ 𝑑𝑥 ⋅ ∫

Przykład: 𝑅

𝐷𝑥𝑦

𝑧=1+𝑥2 +𝑦 2

∫

𝑧=−1

𝑥𝑑𝑧

= ∬ 𝑥(1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 1)𝑑𝑥𝑑𝑦 =

𝑝

𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑔𝑑𝑧𝑖𝑒 𝑅 = [1, 𝑒]𝑥[𝑒. 𝑒 2 ]𝑥[0,1] 𝑥+𝑦

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧

Obliczyć ∭𝑉 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

Analogicznie w 5 pozostałych przypadkach (różna kolejność iteracji).

∭

∫

𝑧=𝑑(𝑥,𝑦)

Przykład:

∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 𝑎

𝑧=𝑔(𝑥,𝑦)

Przykład:

𝑥(2 + 𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑦

Obliczyć całkę ∭𝑉 (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , jeżeli V jest obszarem ograniczonym powierzchniami: 𝑦 = √𝑥 2 + 𝑧 2 , 𝑦 = 2

𝑠(0) = 0 + 𝑐 = 0 𝑐=0

Zamiana zmiennych na współrzędne sferyczne: (Przykładem są współrzędne geograficzne) 𝜌 ≥ 0, 0 ≤ φ < 2π (lub − π ≤ φ < π), − 𝑥 = 𝜌 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝜑 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝜓 𝑆: { 𝑦 = 𝜌 ⋅ 𝑠𝑖𝑛𝜑 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝜓 𝑧 = 𝜌 ⋅ 𝑠𝑖𝑛𝜓

π

2

𝜋 ≤𝜓≤2

𝑠(𝑡) = 𝑡

Niech f będzie funkcją określoną na przedziale [0, ∞]. Przekształceniem (transformatą) Laplace’a funkcji f nazywamy funkcję F określoną wzorem: ∞

𝐹(𝑠) = ∫

Zamiana zmiennych w całce potrójnej na współrzędne sferyczne: Niech f będzie funkcją ciągłą na obszarze V, który jest obrazem obszaru Ω we współrzędnych sferycznych. Wtedy: ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉

= ∭ 𝑓(ρ ⋅ cosφ ⋅ cosψ , ρ ⋅ sinφ Ω

⋅ cosψ , ρ ⋅ sinψ)

Obliczyć całkę potrójną ∭𝑉 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 po obszarze V ograniczonym powierzchniami: 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0, 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 16 (1/8 kuli) Na egzaminie będą pytania takie jak w przykładowym egzaminie. Nie będzie zadań dotyczących mechaniki.

Przekształcenie Laplace’a 𝑦′

=0 𝑦’(𝑡) = 0 𝑦(𝑡) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

𝑦 ′ = 1,

𝑦(𝑡) = 𝑡 + 𝑐 𝑦 ′ = 𝑡 /∫ 𝑡2 𝑦(𝑡) = + 𝐶 2

Równanie rzędu pierwszego (różniczkowe) Przykład: 𝑣=1 𝑑𝑥 To jest równanie różniczkowe, bo 𝑣 = 𝑑𝑡 𝑠(𝑡) = 𝑡 + 𝐶 𝑠(𝑡0 ) = 𝑠0 – warunek początkowy

0

𝑒 −𝑠𝑡

𝑇

⋅ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 (= lim ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 ⋅ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ) T→∞

(inne oznaczenie) ℒ{𝑓}(𝑠) = 𝐹(𝑠)

0

Zad. Obliczyć transformatę Laplace’a funkcji: 0 𝑑𝑙𝑎 𝑡 < 0 a) 1(𝑡) = { 1 𝑑𝑙𝑎 𝑡 > 0 b) 𝑓(𝑡) = 𝑒 𝛼𝑡 (Jak będzie równanie różniczkowe to będą dane wzory na Laplace’a [bo z tego bd to rozwiązywać]) Jeżeli funkcje ciągłe f(t), g(t) mają jednakowe transformaty to są równe. Zad. Wyznaczyć funkcję ciągłą, której transformata Laplace’a ma postać: 1 1 𝑠−9 a) 𝑠2 +25 , 𝑏) 𝑠2 −9 , 𝑐) 𝑠4 (Transformaty są operacjami liniowymi, tak jak całki)



Ważny wzór: Niech 𝐹(𝑠) będzie transformatą funkcji f(t). Wtedy transformata pochodnej ℒ{𝑓 ′ (𝑡)} = 𝑠 ⋅ 𝐹 (𝑠) − 𝑓(0) W przypadku pochodnej II rzedu: ℒ{𝑓 ′′(𝑡)} = 𝑠 2 ⋅ 𝐹(𝑠) − 𝑠 ⋅ 𝑓(0) − 𝑓′(0) ℒ{𝑓

(𝑛)

}=

𝑠𝑛

𝑛

⋅ ℒ{𝑓} − ∑ 𝑠 𝑛−𝑘 ⋅ 𝑓 (𝑘−1) (0+) 𝑘=1

Przykład: Rozwiązanie równania: (*) 𝑦 ′ + 𝑦 = 0 Z warunkiem początkowym 𝑦(0) = 0 Niech Y(s) będzie transformatą szukanego rozwiązania y=y(t) równania (*). Wtedy: 𝑦 ′ (𝑡) + 𝑦(𝑡) = 1 Zatem: ℒ{𝑦 ′ (𝑡) + 𝑦(𝑡)} = ℒ{1} // obustronna transformata ℒ{𝑦 ′ (𝑡)} + ℒ{𝑦(𝑡)} = Stąd korzystając ze wzoru na transformatę pochodnej: 𝑠𝑌(𝑠) − 𝑦(0) + 𝑌 (𝑠) = 0 Pnieważ 𝑦(0) = 1 więc: 𝑠𝑌(𝑠) + 𝑌(𝑠) = 1

Zatem transformata szukanego rozwiązania y(t) ma 𝑌(𝑠) ⋅ (𝑠 + 1) =1 postać: 1 𝑌(𝑠) = 𝑠+1

Przykład: Prędkość rozpadu pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna do masy substancji, która w danej chwili jeszcze się nie rozpadła. Współczynnik proporcjonalności k (𝑘 > 0) jest wielkością charakterystyczną dla danej substancji. Wyznaczyć zależność masy pierwiastka od czasu. 𝑚(𝑡) – masa pierwiastka promieniotwórczego w chwili t 𝑚′ (𝑡) = −𝑘 ⋅ 𝑚(𝑡) 𝑚′ - prędkość rozpadu = zmiana masy w czasie = pochodna z masy po czasie 𝑚(𝑡) = ? ? 𝑚′ + 𝑘 ⋅ 𝑚 = 0 𝑀(𝑠) = ℒ{𝑚(𝑡)}(𝑠) ℒ{𝑚′ + 𝑘 ⋅ 𝑚} = ℒ{0} ℒ{𝑚′ } + 𝑘 ⋅ ℒ {𝑚} = 0 𝑠 ⋅ 𝑀(𝑠) − 𝑚(0) + 𝑘 ⋅ 𝑀(𝑠) = 0 𝑀(𝑠) ⋅ (𝑠 + 𝑘) = 𝑚(0) 𝑚(0) 𝑀(𝑠) = 𝑠+𝑘 𝑚(𝑡) = 𝑚(0) ⋅ 𝑒 −𝑘𝑡 Przykład: Rozwiązać równanie różniczkowe: 𝑦 ′′ + 𝑦 ′ − 12𝑦 = 0 Z warunkami: 𝑦(0) = 0 𝑦 ′ (0) = 1

Wynikiem będzie: 1 1 𝑦(𝑡) = − ⋅ 𝑒 −4𝑡 + 𝑒 3𝑡 7 7...