06 Lagrange Formalismus / Zwangsbedingungen PDF

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T1 Theoretische Mechanik 2015 (Delft) ...

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Fakult¨ at f¨ ur Physik T1: Klassische Mechanik, SoSe 2016 Dozent: Jan von Delft ¨ Ubungen: Benedikt Bruognolo, Sebastian Huber, Katharina Stadler, Lukas Weidinger

http://www.physik.uni-muenchen.de/lehre/vorlesungen/sose_16/T1_theor_mechanik/

Blatt 06.3: Lagrange-Formalismus – Zwangsbedingungen Ausgabe: Freitag, 13.05.16; Abgabe: Freitag, 20.05.16, 13:00; Aufgrund des verl¨ angerten Pfingstwochenendes ist die Universit¨at am Mo., den 16.05, und Di., den ¨ 17.05, geschlossen. Somit f¨allt der Ubungsbetrieb (d.h. 90% der Tutorien) an diesen Tagen aus; deswegen wird es auch Mittwoch, den 18.05, keine Tutorien geben. Am Wochenende wird ein Video online gestellt werden, das die Beispielaufgaben f¨ur Blatt 06 bespricht, und die entsprechenden ¨ bungsseite hinterlegt werden. Folien auf der U (b)[2](E/M/A) bedeutet: Aufgabe (b) z¨ahlt 2 Punkte und ist einfach/mittelschwer/anspruchsvoll Beispielaufgabe 1: Fallendes Scharnier [9] Punkte: (a)[3](E); (b)[3](E); (c)[2](M); (d)[1](E). Zwei masselose St¨ abe der L¨ange l1 = l2 = l, in deren Mitte zwei Massepunkte der Masse m1 = m2 = m befestigt sind, seien mit einem reibunglosen, masselosen Scharnier verbunden und sind zun¨ acht auf einem Tisch so fixiert, dass jeder Stab einen Winkel θ = 30◦ mit der Tischoberfl¨ ache bildet. Zur Zeit t = 0 wird die Fixierung der St¨ abe gel¨ost, so dass die Stabenden reibungslos und in spiegelsymmetrischer Weise [d.h. mit gleichen Winkeln θ(t)] auf der Tischoberfl¨ ache auseinaner rutschen k¨onnen. (a) W¨ ahlen Sie den Winkel θ als verallgemeinerte Koordinate und stellen Sie die Lagrangefunktion des Systems auf. (b) Stellen Sie die Lagrange-Gleichung zweiter Art f¨ur den Winkel θ auf. Finden Sie durch einmalige Integration dieser Gleichung einen Ausdruck, der der erhaltenen Energie entspricht. (c) Finden Sie die Geschwindigkeit, mit der das Scharnier auf den Tisch auftrifft. (d) Geben Sie einen Integralausdruck f¨ur die Zeit an, nach der das Scharnier auf den Tisch auftrifft. (Das Integral braucht nicht gel¨ost zu werden.) Beispielaufgabe 2: Pendel mit frei beweglicher Aufh¨ angung [11] Punkte: (a)[2](E); (b)[2](M); (c)[2](M); (d)[2](E); (e)[1](E); (f)[1](E); (g)[1](E).

1

Im Schwerefeld der Erde sei an einer Masse m1 , die sich reibungsfrei entlang der x-Achse bewegen kann, ein ebenes mathematisches Pendel mit L¨ ange l und Pendelmasse m2 befestigt. In Teilaufgaben (a)-(d) wird dieses Problem in kartesischen Koordinaten mittels Lagrange-Gleichungen 1. Art behandelt; das ist zwar umst¨ andlich, illustriert aber sehr explizit, wie die konsequente Anwendung des Formalismus der Zwangsbedingungen zum Ziel f¨ uhrt. In Teilaufgaben (e)-(g) wir dasselbe Problem viel eleganter mittels verallgemeinerten Koordinaten und LagrangeGleichungen 2. Art gel¨ost.

y m1

x ~g

ϕ l m2

(a) Geben Sie die Zwangsbedingungen f¨ur die beiden Massen an und stellen Sie die LagrangeGleichungen 1. Art in kartesischen Koordinaten auf. Dabei empfiehlt es sich, die Notation δx = x1 − x2 und δy = y1 − y2 (“Relativkoordinaten”) zu nutzen. (b) Eliminieren Sie die Lagrange-Multiplikatoren und zeigen Sie, dass die Relativkoordinaten folgende Differentialgleichungen erf¨ullen:   ¨δx = − 1 p δx g − δ¨y , α l2 − δ 2x

l2 2 ¨δy = − l2 −δ px

δ˙ x2 + δxδ¨x l2 − δ 2x

,

mit α =

m1 . m1 + m2

(1)

ur ¨δx in kleinen Auslenkungen des Pendels (δx ≪ l) in f¨ uhrender Ordnung (c) Entwickeln Sie (1) f¨ und finden Sie dessen Frequenz. Bestimmen Sie zudem die Zwangskr¨afte bei kleinen Auslenkungen. Nutzen Sie diese um die Bewegung des oberen Massenpunktes m1 zu finden. (d) Nun zur¨uck zum allgemeinen Fall: Schreiben Sie δx = l sin ϕ und δy = l cos ϕ, mit beliebigem Auslenkwinkel ϕ. Zeigen Sie aus (1), dass ϕ folgende Bewegungsgleichung erf¨ ullt: [1 − (1 − α) cos2 ϕ]ϕ¨ + (1 − α) sin ϕ cos ϕϕ˙ 2 ) = −(g/l) sin ϕ .

(2)

(Gl. (2) wird in Teilaufgabe ((f)) nochmal hergeleitet, mittels Lagrange-Gleichungen 2. Art.) (e) Behandlen Sie das Problem nun alterativ mit den Lagrange-Gleichungen 2. Art. W¨ahlen Sie zun¨achst x1 und ϕ als verallgemeinerte Koordinaten. Wie lautet die Lagrange-Funktion? (f) Stellen Sie die Lagrange-Gleichungen 2. Art auf. Eliminieren Sie daraus x ¨1 , und reproduzieren Sie so Gl. (2) aus Teilaufgabe ((d)). (g) Betrachten Sie nun den Fall m1 ≫ m2 und diskutieren Sie die Bewegung des Pendels physikalisch. Beispielaufgabe 3: Testfragen [2] Punkte: (a)[0.5](E); (b)[1](E); (c)[0.5](E). Diese Fragen pr¨ ufen, ob Sie einfache, grundlegende Konzepte der Vorlesung verstanden haben. Sie sollten sie ohne l¨ angeres nachdenken oder nachschlagen in ein paar Minuten beantworten k¨ onnen. (a) Wie lauten die Lagrangegleichungen zweiter Art? 2

(b) Geben Sie f¨ur einen unged¨ampften, ungetriebenen harmonischen Oszillator an: (i) die Lagrangefunktion und Lagrangegleichung zweiter Art. (ii) die Newtonsche Bewegungsgleichung. (c) Was ist eine zyklische Variable? [Gesamtpunktzahl Beispielaufgaben: 22] Hausaufgabe 1: Beschleunigte schiefe Ebene [5] Punkte: (a)[2.5](E); (b)[2.5](E). Ein Massenpunkt gleitet reibungsfrei auf einer schiefen Ebene, die in x-Richtung beschleunigt wird mit einer zeitabh¨angigen Beschleunigung, a(t) = bt2 /2. Die Neigung α der schiefen Ebene ist konstant. (a) Sei xE der x-Wert des Fußpunkts der Ebene (bei z = 0). Finden Sie xE (t) und stellen Sie die Zwangsbedingung und die Lagrangegleichung 1. Art auf. (b) L¨ osen Sie die Bewegungsgleichungen und bestimmen Sie die Zwangskr¨afte. Hausaufgabe 2: Das ebene Doppelpendel [8] Punkte: (a)[2](E); (b)[2](E); (c)[1](E); (d)[3](E). Betrachten Sie eine ebenes Doppelpendel, bestehend aus zwei unterschiedlichen Punktmassen m1 , m2 , die miteinander und mit einem Aufh¨angepunkt durch zwei massenlose St¨ abe der L¨ange l verbunden sind (siehe Skizze). Die Massen k¨onnen sich nur in der x-y Ebene bewegen. In einem kartesischen Koordinatensystem mit Ursprung am Aufh¨ angepunkt seien (x1 , y1 ) und (x2 , y2 ) die Positionen der beiden Massen. Als verallgemeinerte Koordinaten w¨ahlen wir die Winkel φ1 und φ2 . (a) Dr¨ucken Sie (x1 , y1 ) und (x2 , y2 ) durch φ1 und φ2 aus und geben geben Sie kinetische Energie T und potentielle Energie V als Funktionen von φ1 , φ˙ 1 , φ2 und φ˙ 2 an. (b) Zeigen Sie, dass die Lagrange-Gleichungen zweiter Art wie folgt lauten, mit α = m1m+1m2 : i h ¨ 2 cos (φ1 − φ2 ) + g sin φ1 = 0 , (3) φ¨1 + (1 − α) φ˙22 sin (φ1 − φ2 ) + φ i gl h ¨ 1 cos (φ1 − φ2 ) + sin φ2 = 0 . φ¨2 + −φ˙21 sin (φ1 − φ2 ) + φ (4) l (c) F¨ ur kleine Schwingungen, φ1 ≪ 1, φ2 ≪ 1, lassen sich diese Gleichungen durch Linearisierung in φ1 , φ˙ 1 und φ2 , φ˙ 2 vereinfachen. Zeigen Sie, dass dies Folgendes liefert: g (5) φ¨1 + (1 − α) φ¨2 + φ1 = 0 , l g (6) φ¨2 + φ¨1 + φ2 = 0 . l 3

(d) L¨ osen Sie diese linearen Differentialgleichungen mittels einem Exponentialansatz und finden Sie die entsprechenden Eigenvektoren und Eigenwerte. Diskutieren Sie das Verhalten des Systems f¨ur die Grenzf¨alle m1 ≫ m2 sowie m1 ≪ m2 . Hausaufgabe 3: Rollende Zylinder [7] Punkte: (a)[3](M); (b)[2](E); (c)[2](E). Ein homogener, massiver Zylinder von Radius R und Masse M ruhe auf einer ebenen Tischoberfl¨ ache. Ein zweiter identischer Zylinder sitze auf dem h¨ ochsten Punkt des ersten Zylinders (siehe Skizze). Der obere Zylinder werde nun infinitesimal ausgelenkt, so dass beide Zylinder zu rollen beginnen. In der Skizze sind die Stellen, an denen sich die Zylinder zur Zeit t = 0 ber¨uhrten, mit kleinen Kreisen markiert.

θ R θ2 θ1 θ

R y x

t=0

t>0

Hinweis: Nehmen Sie an, dass die Zylinder perfekt (d.h. ohne zu gleiten) rollen. F¨ur die kinetische Energie eines mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotierenden homogenen, massiven Zylinders von onnen Sie ohne Beweis den Ausdruck 14 MR2 ω 2 annehmen. Radius R und der Masse M k¨ (a) W¨ ahlen Sie als verallgemeinerte Koordinaten den Winkel θ1 , der angibt wie weit sich der untere Zylinder gedreht hat, sowie den Winkel θ, der den Ber¨ uhrungspunkt der beiden Zylinder charakterisiert (siehe Skizze). Zeigen sie, dass die Lagrangefunktion des Systems gegeben ist durch i h 1 L = MR2 3θ˙12 + 2θ˙1 θ˙ (1 − 2 cos θ ) + 6θ˙2 − 2MRg(1 + cos θ) , 2 wobei die Tischplatte als Nullpunkt der potentiellen Energie benutzt wurde. Beachten Sie, dass atzlich zur kinetischen Energie 14 MR2 ω 2 noch die kinetische Energie aus der Bewegung es zus¨ der Schwerpunkte gibt. (b) Finden Sie zwei unabh¨angige Erhaltungsgr¨oßen des Systems. (c) Nutzen Sie diese Erhaltungsgr¨oßen um folgende Gleichung θ˙2 =

12g(1 − cos θ) R(17 + 4 cos θ − 4 cos2 θ)

herzuleiten. Skizzieren Sie θ˙ als Funktion von θ (mit Hilfe von Mathematica o.¨a.). Markieren Sie den ungef¨ ahren Winkelbereich, in dem die Formel g¨ultig ist, und begr¨unden Sie Ihre Wahl. [Gesamtpunktzahl Hausaufgaben: 20]

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