Ecuación de Lagrange PDF

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Se trata de ecuaciones en la forma y = x (y’) + (y’), donde ,  son funciones únicamente de la variable y’. Observar que la ecuación de Clairaut es una caso especial de la ecuación de Lagrange, teniendo por función  a la función identidad....

Description

La ecuación de Lagrange: Se trata de ecuaciones en la forma y = x (y’) + (y’), donde ,  son funciones únicamente de la variable y’. Observar que la ecuación de Clairaut es una caso especial de la ecuación de Lagrange, teniendo por función  a la función identidad. Para resolver la ecuación de Lagrange, hagamos y’ = p, con lo que tenemos: y = x (p) + (p) Si ahora derivamos esta ecuación con respecto a x, tenemos:

es decir,

que resulta ser una ecuación diferencial lineal, como podemos ver:

Ecuación que puede resolverse como lineal , para obtener la solución en la forma: x = f( p, C). Finalmente se puede pasar a hallar la solución general en forma f(x, y ,C) = 0.

EJEMPLO:

Resolvamos la ecuación diferencial de Lagrange: y = x (y’)2 + (y’)2

Para ello hacemos y’ = p, entonces tenemos: y = x p2 + p2 Derivamos la ecuación respecto a x:

que puede ser expresada en forma de ecuación diferencial. lineal:

que tras ser resuelta según 10.7 tenemos:

Ahora para hallar la solución general de la ecuación diferencial de Lagrange, eliminamos p, entre las dos ecuaciones en p:

lo que nos da es la solución general. Ecuaciones Diferenciales De Ricatti Se dice que una Ecuación Diferencial es de Ricatti si presenta la siguiente forma.

Nota: En este tipo de ecuaciones es necesario conocer una solución particular a la cual se le denominara y1. Para solucionar este tipo de ecuaciones es necesario seguir el siguiente método. 1.- Dado que y1 es solución, se propone el valor de y de la siguiente forma y se deriva respecto a x.

2.- Se Sustituyen estos valores en la Ecuación Diferencial dejándola de la siguiente forma.

3.- Se multiplican las funciones por los nuevos valores de y se comienza a reducir la ecuación. Nota: el valor de y1' será igual a ---> y1' = P(x) y1^2 + Q(x) y1 + R(x) Por lo que los valores del lado derecho que coincidan con esta condición serán reducidos dejando la ecuación de la siguiente forma.

4.- Como vemos aun tenemos un valor en el lado izquierdo de la ecuación que puede ser despejado, por lo que al despejar la ecuación queda de la siguiente forma.

5.- En esta Ecuación vemos que se puede reducir la variable "v", una vez reducida la ecuación queda de la siguiente forma.

6.- Observemos que poco a poco nos estamos acercando a una ecuación diferencial lineal no homogénea por lo que continuando haciendo diferentes despejes llegaremos a esta forma.

7.- Observemos en el paso de arriba que la ecuación diferencial ya se presenta la estructura de una Ecuación Diferencial Lineal No Homogénea, por lo que se puede procede resolver utilizando el método de Factor Integrante.

8.- Una vez realizada la integración por el método de factor integrante se pone la ecuación diferencial en términos de y para esto consideramos el valor de v de la siguiente forma.

9.- Se realizan los despejes y cambios necesarios y se encuentra la solución a la Ecuación Diferencial....