08 - Funciones Integrables de Lebesgue PDF

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Tema de CDI

Apuntes usados por Antonio Jimenez y, en general, el contenido de la asignatura independientemente del profesor....

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TEMA 8: FUNCIONES INTEGRABLES DE LEBESGUE

Í NDICE 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Conjuntos medibles Lebesgue en RN Función medible Lebesgue Integral de Lebesgue Función integrable Lebesgue Teoremas de convergencia Técnicas de integración: integral en R Técnicas de integración: integrales múltiples

2 6 9 12 14 15 20

Dedicamos este tema a una breve introducción al estudio de la integrabilidad de Lebesgue en RN . Por ello enunciaremos la terminología y resultados básicos al respecto. Para un estudio detallado se sugiere la consulta de la bibliografía especializada, por ejemplo el texto Análisis Real y Complejo (Alhambra, Madrid, 1979) de Walter Rudin. Para una idea global del proceso, usaremos como modelo el cálculo del área que encierra con el eje de abscisas la gráfica de una función real no negativa definida en un intervalo f : I → R. Para ello se podría pensar en aproximar dicha área por defecto (y también por exceso) por la suma de áreas de figuras planas conocidas, por ejemplo rectángulos. Así, en el proceso de integración de Riemann se consideran ´ rectángulos de base fija y altura conveniente (ínfimo o supremo de la función en cada subintervalo según se quiera una aproximación por defecto o por exceso, ver Figura 1). Posteriormente se prueba que este proceso se puede optimizar, obteniendo un área aproximada óptima por defecto y un área proximada óptima por exceso. Cuando ambas coinciden se dice que la función es integrable Riemann.

F IGURA 1. La idea en el caso de la integración de Lebesgue consiste en fijar las alturas (ver Figura 2) y realizar un proceso de optimización similar. Concretamente se consideran los conjuntos f −1 ([hi , hi+1 ]) = {x ∈ I : hi ≤ f (x) ≤ hi+1 }, en el ejemplo, estos conjuntos se pueden ver como unión de intervalos que se pueden considerar las bases de los rectángulos. Sin embargo, los conjuntos f −1 ([hi , hi+1 ]) no necesariamente son uniones finitas, ni siquiera numerables, de intervalos y se pierde la idea intuitiva de la 1

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F IGURA 2. medida de la base. A priori, parece que esta forma de introducir la integral es algo más complicada. La genialidad de Lebesgue estuvo en su perseverancia para definir un concepto de medida de los conjuntos reales que extienda al de la longitud de intervalos (o en general en RN que extienda a la medida del producto cartesiano de intervalos, que denominamos rectángulos generalizados). La forma de introducir dicha medida, al menos en conjuntos acotados, es de nuevo haciendo aproximaciones óptimas por defecto y por exceso. Así, los conjuntos medibles seran aquellos para los que ambas medidas coincidan. Tras comprobar que no todos los conjuntos son medibles en ese sentido, el siguiente paso ha de ser considerar solamente funciones para las cuales los conjuntos f −1 ([hi , hi+1 ]) sean medibles, naciendo así el concepto de función medible. Las ideas de Lebesgue han sido el germen de la teoría de la medida, que nos permite un desarrollo axiomático de la integral de Lebesgue y abordar además ciertas aplicaciones prácticas.

1.

C ONJUNTOS MEDIBLES L EBESGUE EN RN

Se trata de averiguar los conjuntos para los cuales se puede extender el concepto de longitud (N = 1), área (N = 2), volumen (N = 3). En el caso real disponemos de la noción elemental de longitud de un intervalo Definición 1.1. Sea I un intervalo no vacío de R. Se llama longitud de I al elemento de [0, ∞] dado por  sup(I) − ´ınf(I) si I está acotado, λ1 (I) = ∞ si I no está acotado.

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Definición 1.2. En general diremos que I ⊂ RN es un intervalo generalizado si es producto cartesiano de N intervalos reales I = I1 × . . . × IN . Se llama medida de Lebesgue N -dimensional de I al elemento de [0, ∞] dado por  QN  i=1 λ1 (Ii ) si Ii está acotado para cada i, λN (I) = 0 si λ1 (Ii ) = 0 para algún i,  ∞ si en otro caso. Por convenio admitiremos que λN (∅) = 0.

Es sencillo comprobar las siguientes propiedades: Proposición 1.3. (1) Invarianza por traslaciones: Si I es un intervalo generalizado de RN y x ∈ N R , entonces x + I es un intervalo generalizado y λN (x + I) = λN (I). (2) Aditividad finita: Si un intervalo generalizado P I es unión de los intervalos generalizados disjuntos dos a dos, I1 , · · · , In , entonces λN (I) = ni=1 λN (Ii ). (3) Subaditividad finita: Si un intervalo generalizado Pn I está incluido en la unión de los intervalos λN (Ii ). generalizados I1 , . . . , In , entonces λN (I) ≤ i=1 El segundo paso, para la medibilidad de los conjuntos en RN según Lebesgue, es definir una medida por exceso óptima, que extienda a la de los intervalos. Es lo que se conoce como medida exterior de Lebesgue y está definida en el conjunto P(RN ) de todos los subconjuntos de RN . Definición 1.4. Se llama medida exterior de Lebesgue a la aplicación λN∗ : P(RN ) → [0, ∞] definida para cada A ⊂ RN por )! (∞ ∞ [ X In , In intervalo generalizado abierto acotado, ∀n ∈ N . λN (In ) : A ⊂ λ∗N (A) = ´ınf n=1

n=1

Como se indicaba en la introducción, si para un conjunto A ⊂ RN tenemos además una medida por defecto óptima y coincide con la medida por exceso óptima, podríamos decir que dicho conjunto es medible y su medida es cualquiera de las anteriores. A modo de ejemplo, si A ⊂ I, para algún intervalo generalizado acotado I ⊂ RN , entonces una mmedida ´ por defecto de A podría ser la medida de I menos una medida por exceso de I \A, es decir podríamos decir que un conjunto A acotado es medible Lebesgue si λ∗N (A) = λN (I) − λ∗N (I \ A). En general, para conjuntos no necesariamente acotados, tomando en lugar de I cualquier conjunto E ⊂ RN sin imponer que A ⊂ E, se tiene la siguiente definición Definición 1.5. Se dice que A ⊂ RN es medible Lebesgue si

∗ λN (E) = λ∗N (E ∩ A) + λ∗N (E \ A), ∀E ⊂ RN .

∗ (A) es la medida de Lebesgue del conjunto A y se notará por En caso afirmativo se dice que λN λN (A). Denotaremos por MN a la familia de todos los subconjuntos medibles Lebesgue de RN .

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Una de las principales propiedades de la familia de conjuntos medibles Lebesgue MN es su estructura de σ-álgebra, en el sentido de la siguiente definición: Definición 1.6. Sea X un conjunto no vacío. Una σ-álgebra en X es una familia A de subconjuntos de X que verifica las siguientes propiedades: (1) X ∈ A . (2) Si A ∈ A , entonces Ac ∈ A . (3) Si An ∈ A para todo n ∈ N, entonces ∪∞ n=1 An ∈ A .

Teorema 1.7. La familia MN es una σ-álgebra en RN que contiene a los intervalos generalizados de RN . Esta σ-álgebra recibe el nombre de σ-álgebra de Lebesgue de RN . Para la prueba de este resultado observamos que RN ∈ MN . Además, la simetría entre A y Ac en la definición de conjunto medible pone de manifiesto que A ∈ MN si, y sólo si, Ac ∈ MN . Para probar que MN es estable por uniones numerables es necesario usar las siguientes propiedades de la medida exterior de Lebesgue. Proposición 1.8. La medida exterior de Lebesgue λ∗N : P(RN ) → [0, ∞] verifica las siguientes propiedades: ∗ (1) Es nula en el conjunto vacío: λN (∅) = 0 ∗ ∗ (2) Es monótona: λ (A) ≤ λ (B) si A B ⊂ RN . P⊂ ∞ ∗ ∞ (3) Es σ-subaditiva: λ (∪n=1 An ) ≤ n=1 λ∗ (An ) si An ⊂ RN para todo n ∈ N. Observaciones 1.9. (1) Si {Ai : i ∈ I} es una familia no vacía de σ-álgebras en un conjunto no vacío X, entonces ∩i∈I Ai es una σ -álgebra en X. Además, como P(X) es siempre una σ álgebra, tiene sentido definir la menor σ-álgebra en X que contiene a una familia de conjuntos D (o σ-álgebra en X generada por D) como la intersección de todas las σ-álgebras en X que contienen a D . (2) Todo conjunto abierto de RN es unión numerable de intervalos generalizados acotados. Por tanto todos los conjuntos abiertos son medibles Lebesgue. (3) La σ-álgebra de RN generada por la familia de todos los subconjuntos abiertos de RN está contenida en la σ-álgebra de Lebesgue de RN . Dicha σ-álgebra se denomina σ-álgebra de Borel de RN y se denota habitualmente con el símbolo BN y sus elementos se denominan conjuntos de Borel o conjuntos borelianos de RN . (4) Los conjuntos cerrados en RN son borelianos, así como la intersección numerable de conjuntos abiertos (se dice que son conjuntos del tipo Gδ ) y la unión numerable de conjuntos cerrados (se dice que son conjuntos del tipo Fσ ). Por tanto, todos ellos son conjuntos medibles Lebesgue. ∗ (Z) = 0. Para todo A ⊂ RN se tiene (5) Dado Z ⊂ RN con λN ∗ ∗ (A) λ∗N (A) ≤ λ∗N (A ∩ Z) + λ∗N (A ∩ Z c ) = λN (A ∩ Z c ) ≤ λN

donde hemos usado la σ-subaditividad de λ∗ y dos veces su monotonía. Por tanto Z es medible Lebesgue.

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Es posible probar la existencia de conjuntos medibles Lebesgue que no son borelianos así como conjuntos que no son medibles Lebesgue. Proposición 1.10. BN ( MN ( P(RN ) La aplicación λN : MN → [0, +∞] dada por la restricción de λN∗ a la σ-álgebra de Lebesgue de RN verifica las siguientes propiedades: Teorema 1.11. (1) Es nula en el conjunto vacío: λN (∅) = 0. (2) Es σ-aditiva: dados An ∈ MN , ∀n ∈ N disjuntos dos a dos ! ∞ ∞ [ X λN (An ). λN An = n=1

n=1

En general, dado cualquier conjunto X y una σ-álgebra A en X, toda aplicación µ : A → [0, +∞] verificando las dos propiedades del teorema anterior se denomina medida no negativa. Al par (X, A ) se le denominá espacio medible y a la terna (X, A , µ) se le denominá espacio de medida. Si además se verifica que todo subconjunto de un conjunto de medida cero es medible, se dice que la medida es completa. Si µ(X) < ∞, se dice que la medida es finita y si µ(X) = 1 se denomina medida de probabilidad. Finalmente, si X es la unión de una familia numerable de conjuntos de medida finita se dice que la medida es σ -finita. Existen algunos ejemplos muy sencillos de espacios de medida: Ejemplos 1.12. (1) En la σ-álgebra discreta P(X) podemos definir la medida trivial: µ(A) = 0, y la medida contadora: µ(A) = card(A). Ambas medidas son completas. La medida trivial es finita, y es σ-finita si X es numerable. La medida contadora es finita (σ-finita) si, y sólo si, X es finito (respectivamente, numerable). (2) Sea (X, A , µ) un espacio de medida y E un subconjunto medible no vacío de X. La familia AE = {E ∩ A : A ∈ A } es una σ-álgebra en E y la restricción µ|AE de la medida µ a la σ álgebra AE es una medida en AE . Se dice que AE es la σ-álgebra inducida por A en E y que µ|AE es la medida inducida por µ en E. Es sencillo comprobar que AE = {A ∈ A : A ⊂ E}. Teorema 1.13. La restricción λN de λ∗N a MN es una medida completa σ-finita que extiende a la medida de los intervalos. Esta medida se denomina medida de Lebesgue de RN y la terna (RN , MN , λN ) espacio de medida de Lebesgue de RN . La definición de conjunto medible Lebesgue no involucra la topología de RN . Sin embargo la medida de Lebesgue y la topología de RN están íntimamente relacionadas: Proposición 1.14. Sea E ∈ MN . Se verifican las siguientes propiedades: (1) Regularidad interior de la medida de Lebesgue: λN (E ) = sup ({λN (K) : K compacto, K ⊂ E }) .

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(2) Regularidad exterior de la medida de Lebesgue: λN (E) = ´ınf ({λN (G) : G abierto, E ⊂ G}) . Otra propiedad importante de la medida de Lebesgue es la invarianza por traslaciones: Proposición 1.15. La medida de Lebesgue de RN es invariante por traslaciones, es decir, si x ∈ RN y E ∈ MN , entonces x + E ∈ MN y λN (x + E) = λN (E). Recogemos en el siguiente enunciado las propiedades más importantes de las medidas. Proposición 1.16. Sea (X, A , µ) un espacio de medida. Entonces: (1) µ es finitamente aditiva: A, B ∈ A , A ∩ B = ∅

⇒

(2) µ es sustractiva:

µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B).

A, B ∈ A , A ⊂ B, µ(A) < ∞

⇒

µ(B\A) = µ(B) − µ(A).

A, B ∈ A , A ⊂ B (4) µ es crecientemente continua:

⇒

µ(A) ≤ µ(B).

(3) µ es monótona:

An ∈ A , An ⊂ An+1, ∀n ∈ N

⇒

∞ [

µ

An

n=1

(5) µ es decrecientemente continua: An ∈ A , An+1 ⊂ An , ∀n ∈ N, µ(A1 ) < ∞

⇒

(7) µ es σ-subaditiva:

⇒

An ∈ A , ∀n ∈ N

µ

n→∞

An

n=1

!

= l´ım µ(An ). n→∞

µ(A ∪ B) ≤ µ(A) + µ(B). ⇒

µ

An ∈ A , µ(An ) = 0, ∀n ∈ N

F UNCIÓN

∞ [

An

n=1

Como consecuencia,

2.

= l´ım µ(An ).

∞ \

(6) µ es finitamente subaditiva: A, B ∈ A

!

⇒

MEDIBLE

!

µ

≤

∞ X

µ(An ).

n=1

∞ [

n=1

An

!

= 0.

L EBESGUE

Como se puso de manifiesto en la introducción, para desarrollar la integral de Lebesgue es necesario considerar funciones f : A ⊂ RN → R de manera que la imagen inversa de cada intervalo sea un

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conjunto medible Lebesgue. Este tipo de funciones serán las funciones medibles Lebesgue. En general se definen como: Definición 2.1. Sea A ∈ (M )N y f : A → R. Se dice que f es una función medible Lebesgue si f −1 (−∞, α) = {x ∈ A : f (x) < α} ∈ MN para cada α ∈ R. En realidad se puede probar la siguiente caracterización de las funciones medibles Lebesgue: Teorema 2.2. Sea A ∈ (M )N y f : A → R. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (1) f es medible Lebesgue. (2) Para cada α ∈ R, el conjunto f −1 (α, +∞) = {x ∈ X : f (x) > α} es medible Lebesgue. (3) Para cada α ∈ R, el conjunto f −1 ([α, +∞)) = {x ∈ X : f (x) ≥ α} es medible Lebesgue. (4) Para cada α ∈ R, el conjunto f −1 ((−∞, α]) = {x ∈ X : f (x) ≤ α} es medible Lebesgue. (5) Para cada intervalo real I, el conjunto f −1 (I) es medible Lebesgue. (6) Para cada conjunto abierto O ⊂ R, el conjunto f −1 (O) es medible Lebesgue. Observaciones 2.3. (1) En general, dado (X, A ) un espacio medible e (Y, T ) un espacio topológico. Se dice que f : X → Y es una función medible si la imagen inversa por f de cada conjunto abierto en Y es un conjunto medible en X, es decir, f −1 (G) ∈ A para todo G ∈ T . (2) Si f : X → Y es una función medible, entonces la imagen inversa por f de cada conjunto cerrado en Y es un conjunto medible en X . Ejemplos 2.4. (1) Sea A ∈ MN y f : A → RN una función continua en A. Entonces f es medible Lebesgue. En efecto, dado α ∈ R, f −1 (−∞, α) es un abierto en A, es decir, existe O ⊂ RN abierto (por tanto O ∈ MN ) de manera que f −1 (−∞, α) = O ∩ A ∈ MN .

(2) Teniendo en cuenta que los subconjuntos de un conjunto de medida nula son medibles, si A ∈ MN y f : A → RN es una función continua en A salvo en un conjunto de medida nula, entonces f es medible Lebesgue. Definición 2.5. Se dice que una propiedad se verifica casi por doquier o en casi todo punto en A ∈ MN (se escribe a.e. x ∈ A) si existe un conjunto Z ⊂ A con λN (Z) = 0 tal que dicha propiedad se verifica para todo punto x ∈ A\Z . (3) Razonando como en el primer apartado, si A, B ∈ MN con B ⊂ A y f : A → R es una función medible Lebesgue, entonces la restricción f |B : B → R es una función medible Lebesgue. (4) Dados E, F ∈ MN no vacíos tales que E ∪ F = A y E ∩ F = ∅ y sea f : A → R una función. Entonces f es medible Lebesgue si, y sólo si, f |E y f |F son medibles Lebesgue. Una implicación es consecuencia del apartado anterior y para la otra basta observar que f −1 (G) = {x ∈ A : f (x) ∈ G} = {x ∈ E : f (x) ∈ G} ∪ {x ∈ F : f (x) ∈ G} = ( f |E )−1 (G) ∪ (f |F )−1 (G)

(5) Como consecuencia del apartado anterior se tiene que a) Dado A ∈ MN y f : RN → R entonces f|A : A → R es medible Lebesgue si y sólo si f · χA : RN es medible Lebesgue.

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b) La siguiente función es medible Lebesgue aún siendo discontinua en todo punto de R ( 1 x ∈ Q, f (x) = 0 x ∈ R \ Q. El siguiente resultado expone las propiedades algebraicas de las funciones medibles Lebesgue. Proposición 2.6. Sean A ∈ MN , f, g : A → R funciones medibles Lebesgue y α ∈ R. (1) Las funciones f +g, f g y αf son medibles Lebesgue. Por tanto el conjunto de todas las funciones medibles Lebesgue de A en R es una subálgebra del álgebra de las funciones de A en R. (2) Si f no se anula en A, entonces la función 1/f es medible Lebesgue. (3) Si p ∈ R+ , entonces la función |f |p es medible Lebesgue. Se puede caracterizar la medibilidad de una una función a partir de la medibilidad de su parte positiva y parte negativa, en el sentido de la siguiente definición Definición 2.7. Sea f : X → R una función. Se llama parte positiva de f y parte negativa de f a las funciones f + : X → R y f − : X → R definidas respectivamente por f + (x) = m´ax({f (x), 0}),

f − (x) = m´ın({f (x), 0}),

∀x ∈ X.

Teniendo en cuenta que f = f + + f − y |f | = f + − f − , se prueba fácilmente el siguiente resultado Corolario 2.8. Sea A ∈ MN , f : A → R es una función medible Lebesgue si y sólo si las funciones f + y f − son medibles Lebesgue. Finalmente se puede comprobar que la medibilidad se conserva mediante las operaciones analíticas. Proposición 2.9. Sea {fn } una sucesión de funciones medibles Lebesgue en A ∈ MN . Entonces: (1) El conjunto E = {x ∈ A : {fn (x)} está mayorada} es medible Lebesgue, y si E = 6 ∅, la función f : E → R, definida por f (x) = sup({fn (x) : n ∈ N}) (x ∈ E), es medible Lebesgue. (2) El conjunto E = {x ∈ A : {fn (x)} está minorada} es medible Lebesgue, y si E = 6 ∅, entonces la función f : E → R dada por f (x) = ´ınf({fn (x) : n ∈ N}) (x ∈ E), es medible Lebesgue. (3) El conjunto E = {x ∈ A : l´ım sup fn (x) es finito} es medible Lebesgue, y si E 6= ∅, la función f : E → R dada por f (x) = l´ım supn→∞ fn (x) (x ∈ E), es medible Lebesgue. (4) El conjunto E = {x ∈ A : l´ım inf fn (x) es finito} es medible Lebesgue, y si E 6= ∅, la función f : E → R dada por f (x) = l´ım inf n→∞ fn (x) (x ∈ E), es medible Lebesgue. (5) El conjunto E = {x ∈ A : {fn (x)} es convergente} es medible Lebesgue, y si E = 6 ∅, la función f : E → R dada por f (x) = l´ımn→∞ fn (x) (x ∈ E), es medible Lebesgue. Una propiedad importante de las funciones medibles Lebesgue no negativas, que permite definir su integral de una manera sencilla (evitando ciertas complicaciones en el proceso descrito en la introducción), es que son límite de una sucesión creciente de funciones simples:

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Definición 2.10. Se dice que una función s : A → R, con A ⊂ RN es simple si su imagen es finita. Sm N Es decir, existen m ∈ N, A1 , . . . , Am ∈ R con P A = i=1 Ai y α1 , . . . , αm ∈ R de manera que s(x) = αi si x ∈ Ai . Se puede escribir s = m i=1 αi χ Ai , expresión que recibe el nombre de descomposición canónica de s. Si cada Ai es medible Lebesgue entonces la función simple es medible Lebesgue. Ejemplo 2.11. La función característica de un conjunto A ⊂ RN es la función χ A : RN → R definida por  1 si x ∈ A, χ A (x) = 0 si x ∈ / A. Claramente, χ A es una función simple y su descomposición canónica es 1 · χ A + 0 · χ X\A . Ejemplo 2.12. Sabemos que si f es medible, entonces |f | es medible. El recíproco no es cierto. En efecto, sea A ⊂ RN un conjunto no medible de Lebesgue. La función  1 si x ∈ A, f (x) = −1 si x 6∈ A, no es medible ya que f −1 (0, +∞) = A ∈ / MN , pero |f | sí lo es por ser constante.

Teorema 2.13. (teorema de aproximación de Lebesgue). Sea A ∈ MN y f : A → [0, ∞[ una función. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (1) f es medible. (2) Existe una sucesión creciente {sn } de funciones simples medibles de A en [0, ∞[ que converge puntualmente en A a f . Además, si f es medible y está acotada, entonces la sucesión {sn } converge uniformemente en A a f . 3.

I NTEGRAL DE L EBESGUE