סיכום כל הקורס אינפי1מ צנזור - מוקלד PDF
| Title | סיכום כל הקורס אינפי1מ צנזור - מוקלד |
|---|---|
| Author | samer ghanayem |
| Course | Infitisimal calculus |
| Institution | Technion - Israel Institute of Technology |
| Pages | 78 |
| File Size | 2.4 MB |
| File Type | |
| Total Downloads | 670 |
| Total Views | 871 |
Summary
אינפי 1מ' 104031 סיכום הרצאות סיכום הרצאות אינפי 1מ' רשימת ההרצאות הרצאה :2 קבוצות של מספרים ,הוכחות מתמטיות............................................................................. 4 הרצאה :3 ערך מוחלט ,קטעים וסביבות ,קבוצות חסומות...........................
Description
אינפי 1מ' 104031
סיכום הרצאות
סיכום הרצאות אינפי 1מ'
רשימת ההרצאות הרצאה :2
קבוצות של מספרים ,הוכחות מתמטיות.............................................................................
4
הרצאה :3
ערך מוחלט ,קטעים וסביבות ,קבוצות חסומות...................................................................
4
הרצאה :4
סופרמום ואינפימום6 .........................................................................................................
הרצאות :5-6
גבול של סדרה.................................................................................................................
7
הרצאות :7-10
משפטי גבולות.................................................................................................................
9
הרצאה :11
גבול במובן הרחב.............................................................................................................
13
הרצאות :12-13מבחן המנה והשורש ,סדרות מונוטוניות.............................................................................
14
הרצאה :14
הלמה של קנטור ,גבולות חלקיים17 .......................................................................................
הרצאות :15-16
גבולות חלקיים ,משפט בולצאנו-ויירשטראס ומסקנות ממנו ,גבול עליון ותחתון.....................
18
הרצאה :17
סדרות קושי....................................................................................................................
21
הרצאה :18
כיסויים והלמה של היינה-בורל..........................................................................................
22
הרצאות :21-22
חזקות ממשיות23 ................................................................................................................
הרצאות :26-27
פונקציות.........................................................................................................................
25
הרצאות :28-29
גבול של פונקציה29 ..............................................................................................................
הרצאות :30-31
משפטי גבולות.................................................................................................................
30
הרצאה :32
גבולות חד-צדדיים...........................................................................................................
33
הרצאה :33
גבולות במובן הרחב ,תנאי קושי.........................................................................................
34
הרצאה :34
רציפות35 ............................................................................................................................
הרצאה :35
משפט ערך הביניים..........................................................................................................
37
הרצאה :36
משפט ויירשטראס (ומסקנות מהמשפט).............................................................................
38
הרצאה :37
רציפות במידה שווה.........................................................................................................
39
[]2
סיכום הרצאות אינפי 1מ'
הרצאה :38
הנגזרת............................................................................................................................
40
הרצאה :39
כללי גזירה......................................................................................................................
42
הרצאה :40
כלל השרשרת..................................................................................................................
43
הרצאה :41
נגזרת של פונקציה הפוכה44 ..................................................................................................
הרצאות :42-43
משפטי גזירות46 .................................................................................................................. 49
הרצאה :44
משפט דרבו.....................................................................................................................
הרצאה :45
נגזרת חסומה ורציפות במ"ש50 .............................................................................................
הרצאות :46-47
כלל לופיטל51 ......................................................................................................................
הרצאות :48-49
משפט טיילור54 ...................................................................................................................
הרצאה :50
שימושים של משפט טיילור...............................................................................................
57
הרצאה :51
השארית במשפט טיילור...................................................................................................
58
הרצאה :53
מיון נקודות חשודות כקיצון..............................................................................................
59
הרצאה :54
קמירות ,קעירות ונקודות פיתול........................................................................................
60
הרצאה :55
אסימפטוטות וחקירת פונקציה מלאה................................................................................
61
הרצאה :56
למת המיתרים ומשפטי קמירות62 .........................................................................................
ריכוז הגדרות ומשפטים
65
[]3
סיכום הרצאות אינפי 1מ'
הרצאה :2קבוצות של מספרים ,הוכחות מתמטיות קבוצות של מספרים:
} … ℕ = {1,2,3,
קבוצת המספרים הטבעיים:
} … ℤ = {… − 3, −2, −1,0,1,2,3
קבוצת המספרים השלמים:
𝑚 }ℚ = { | 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ , 𝑛 ≠ 0 𝑛
קבוצת המספרים הרציונאליים:
}∞ < 𝑥 < ∞ ℝ = {𝑥| −
קבוצת המספרים הממשיים:
משפט:
אם 𝑛 אי-זוגי אז 𝑛2אי-זוגי .
𝑛 אי-זוגי ⇐ 𝑛2 ⇐𝑛2 = (2𝑘 + 1)2 = 4𝑘 2 + 4𝑘 + 1⇐ 𝑛 = 2𝑘 + 1אי-זוגי.
הוכחה:
כלל:
משפט( :זהה למשפט הנ"ל) אם 𝑛2זוגי אז 𝑛 זוגי .
.1
𝐴⇐𝐵
באופן כללי שני המשפטים הבאים אינם זהים:
𝐴⇐𝐵
.2אבל שני המשפטים הבאים זהים: משפט:
𝑐 = √2 ∉ ℚ
∎ 𝐵⇐𝐴
"לא 𝐵" ⇐ "לא 𝐴"
הוכחה:
נוכיח על דרך השלילה .נניח ש √2 ∈ ℚ-ונגיע לסתירה :
אם c ∈ ℚאז נכתוב אותו כשבר מצומצם(𝑛 ≠ 0): 𝑚2 𝑚 =𝑐⇐=2 2 𝑛 𝑛
⇐ 𝑛2זוגי ⇐ 𝑛 זוגי .
משפט:
𝑚 𝑛
= 𝑐 ,ולכן:
= 𝑚2 ⇐ 𝑚2 = 2𝑛2 ⇐ 𝑐 2זוגי ⇐ 𝑚 זוגי ⇐ 𝑚2מתחלק ב 2𝑛2 ⇐ 4 −מתחלק ב ⇐ 4 −
הגענו לסתירה משום ש 𝑐-אינו שבר מצומצם (כי 𝑚 וגם 𝑛 זוגיים).
("צפיפות הרציונאליים") לכל 𝑥 < 𝑦 ∈ ℝקיים 𝑞 ∈ ℚכך ש. 𝑥 < 𝑞 < 𝑦 -
∎
הוכחה:
𝑦< 𝑥 ⇐ 𝑥.0 𝑦−𝑥 - -עקרון ארכימדס) ⇐ ⇐ 𝑛𝑦 − 𝑛𝑥 > 1יש 𝑚 ∈ ℕכך ש⇐ 𝑛𝑥 < 𝑚 < 𝑛𝑦 - ⇐ 𝑦 0קיים 𝐴 ∈ 𝑥0כך ש𝑥0 > 𝑆 − 𝜀 - .2לכל 𝜀 > 0קיים 𝐴 ∈ 𝑥0כך ש𝑥0 < 𝐼 + 𝜀 -
לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלמעלה (מלמטה) של מספרים ממשיים ,קיים סופרמום (אינפימום).
הערה .𝐴 = {𝑥 ∈ ℚ|𝑥 < √2} :ל 𝐴-אין סופרמום ב. -
לכל 𝑥 > 0ולכל 𝑛 ∈ ℕקיים 𝑦 > 0יחיד כך ש. 𝑦 𝑛 = 𝑥 - סימון 𝑦 = √𝑥 :או 𝑛∕. 𝑦 = 𝑥 1 𝑛
הוכחה :נוכיח רק עבור ( 𝑛 = 2הוכחה כללית משתמשת בבינום): יהי .𝑥 > 0נסמן.𝐴 = {𝑡 > 0|𝑡 2 < 𝑥} : 𝐴 לא ריקה:
ניקח }𝑥 .𝑡 = 2 min{1, 1
אקסיומת הש למות 𝐴 חסומה מלעיל :
𝑥 < 𝑥 ⇐ 𝑡2 < 𝑡 ⇐ 0 < 𝑡 < 1 2
≤ 𝑡 < 𝑡 ∈ 𝐴 ⇐ 0 < 𝑡2
נסמן}𝑥 𝑀 = max{1,ונראה ש 𝑀-חסם מלעיל:
אם 𝐴 ∋ 𝑡 ≤ 1 אם 𝑡 > 1
אז 𝑀 ≤ 𝑡 אז
𝑀 ≤ 𝑥 < 𝑡 < 𝑡2
לפי אקסיומת השלמות יש ל 𝐴-סופרמום ,נסמנו 𝑦.
נראה 𝑥 ≥ 𝑦 2וגם 𝑥 ≤ 𝑦 2ולכן 𝑥 = : 𝑦 2 𝑥 ≥ : 𝑦2
נניח בשלילה 𝑥 < .𝑦 2נמצא 𝜀 > 0כך ש𝑥(𝑦 + 𝜀)2 < -וזו תהיה סתירה לכך ש 𝑦-חסם מלמעלה. []6
𝑥 − 𝑦2 } 0 < 𝜀 < min {1, 2𝑦 + 1
סיכום הרצאות אינפי 1מ'
𝑥 ≤ :𝑦 2
𝑥 = )(2𝑦 + 1
)𝜀 (𝑦 + 𝜀)2 = 𝑦 2 + 2𝜀𝑦 + 𝜀 2 = 𝑦 2 + 𝜀(2𝑦 +
𝑦2 𝑥 −+𝑦12
+
𝑦2
𝑦2 𝑡𝑦+
( 𝑥 𝑦 2 −חיובי לפי הנחת השלילה)
יחידות:
0קיים 𝑁1כך שלכל 𝑛 > 𝑁1מתקיים:
𝜀 2
< |𝐿 .|𝑎𝑛 −קיים 𝑁2כך שלכל 𝑛 > 𝑁2מתקיים:
נגדיר ,𝑁 = max{𝑁1 , 𝑁2 }:ואז לכל 𝑁 > 𝑛 מתקיים:
< |𝐾 .|𝑏𝑛 −
𝜀 = ∎ |(𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 ) − (𝐿 + 𝐾)| = |(𝑎𝑛 − 𝐿) + (𝑏𝑛 − 𝐾)| ≤ |𝑎𝑛 − 𝐿| + |𝑏𝑛 − 𝐾| < 2 + 2 𝜀
𝜀
אי שיוויון המשולש
יהי 𝑎𝑛 .𝜀 > 0מתכנסת ולכן חסומה ,כלומר קיים 𝑀 כך ש |𝑎𝑛 | < 𝑀 -לכל 𝑛 ,וגם 𝑀 < |𝐾| . הוכחת (:)3
𝜀 2
קיים 𝑁1כך שלכל 𝑛 > 𝑁1מתקיים . |𝑏𝑛 − 𝐾| < 2𝑀 :קיים 𝑁2כך שלכל 𝑛 > 𝑁2מתקיים: 𝜀
נגדיר } ,𝑁 = max{𝑁1 , 𝑁2ואז לכל 𝑁 > 𝑛 :
הוכחת (:)4
יהי .𝜀 > 0
𝜀 𝑀2
< |𝐿 . |𝑎𝑛 −
≤ |𝐾)𝐿 |𝑎𝑛 𝑏𝑛 − 𝐿𝐾| = |𝑎𝑛 𝑏𝑛 − 𝑎𝑛 𝐾 + 𝑎𝑛 𝐾 − 𝐿𝐾| = |𝑎𝑛 (𝑏𝑛 − 𝐾) + (𝑎𝑛 − 𝜀 𝜀 𝑀 < |𝐾||𝐿 ≤ |𝑎𝑛 ||𝑏𝑛 − 𝐾 |+|𝑎𝑛 − + 𝜀=𝑀 𝑀2𝑀 2 ∎
𝐾 = 𝑛𝑏𝑚𝑖𝑙 ולכן ע"פ משפט |𝐾| ≠ 0 ∞→𝑛
→ | 𝑛𝑏| .
∞→𝑛
נפעיל את הגדרת הגבול ונקבל שקיים 𝑁1כך שלכל 𝑛 > 𝑁1מתקיים: בנוסף יהי 𝑀 < |𝐿| .
קיים 𝑁2כך שלכל 𝑛 > 𝑁2מתקיים:
|𝐾| | 𝐾| < |𝑏𝑛 | < |𝐾| + 2 2
< |𝐾| − | 𝐾| 𝜀 4
𝜀|𝐾 |2
קיים 𝑁3כך שלכל 𝑛 > 𝑁3מתקיים:
𝑀4
[]9
|𝐾| 2
0קיים Nכך שלכל 𝑛 > Nמתקיים:
לכן לכל :𝑛 > N דוגמא: משפט:
𝜀 𝑀
< |.|𝑎𝑛 − 0
𝜀 𝜀=𝑀 𝑀
,𝑙𝑖𝑚 (𝑛 sin 𝑛) = 0משום ש sin 𝑛-סדרה חסומה ו𝑙𝑖𝑚 𝑛 = 0 - 1
1
∞→𝑛
∞→𝑛
∞→𝑛
יהי .𝜀 > 0
∞→𝑛
∞→𝑛
קיים 𝑁1כך שלכל 𝑛 > 𝑁1מתקיים 𝜀 . 𝐿 − 𝜀 < 𝑎𝑛 < 𝐿 +
קיים 𝑁2כך שלכל 𝑛 > 𝑁2מתקיים 𝜀 . 𝐿 − 𝜀 < 𝑐𝑛 < 𝐿 +
נגדיר , 𝑁 = max{𝑁1 , 𝑁2 }:ואז לכל 𝑁 > 𝑛: .1
.2
𝜀 ∎ 𝐿 − 𝜀 < 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 ≤ 𝑐𝑛 < 𝐿 +
𝑙𝑖𝑚 (𝑛 sin 𝑛) = 0הוכחה: 1
∞→𝑛
−1 ≤ sin 𝑛 ≤ 1ולכן:
ולכן לפי משפט הסדנוויץ'0 :
!𝑛 ) 𝑛 ( 𝑚𝑖𝑙 𝑛
∞→𝑛
נראה כי
1 𝑛
≤
!𝑛
𝑛𝑛
!𝑛
הוכחת
1 𝑛
≤ 𝑛𝑛 : !𝑛
→ 𝑛 sin
∞→𝑛
0
1
𝑛
→ ≤ 𝑛 − ≤ sin 𝑛 𝑛 𝑛
∞→𝑛
1
1
1
←0
∞→𝑛
1 2 3 1 1 1 1, , , … , … ≤ 1, , , , 2 9 32 2 3 4
≤ 0ואז לפי סנדוויץ' .𝑙𝑖𝑚 (𝑛𝑛 ) = 0
הוכחת 𝑛𝑛 ≤ : 0
!𝑛 𝑛𝑛
חיובי ,ולכן
!𝑛
𝑛𝑛
≤0
!𝑛
∞→𝑛
צריך חצ ים בכיוון ההפוך ,צריך להגיע מפסוק אמ ת אל ההוכחה ,ולא מההכוחה אל פסוק האמת
(כל גורם באגף ימין ≤
𝑛! 1 ≤ 𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 ≤ 𝑛 ⋅ !𝑛 ⇒ 𝑛𝑛−1
≤ !𝑛 ⇒
𝑛 ⋅ … ⋅ 𝑛 ⋅ 𝑛 ≤ ⇒ 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) ⋅ … 3 ⋅ 2
מכל גורם באגף ימין)
משפט:
∎
(הסנדוויץ') אם לכל 𝑛 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 ≤ 𝑐𝑛 ,ו , 𝑙𝑖𝑚𝑎𝑛 = 𝑙𝑖𝑚 𝑐𝑛 = 𝐿 -אזי𝑙𝑖𝑚 𝑏𝑛 = 𝐿 :
הוכחה:
דוגמאות:
< | 𝑛𝑏|| 𝑛𝑎| = ||𝑎𝑛 𝑏𝑛 − 0
אם לכל 𝑛 𝑙𝑖𝑚𝑎𝑛 = 𝐿 , 𝑎𝑛 ≥ 𝑏𝑛 ,ו , 𝑙𝑖𝑚 𝑏𝑛 = 𝐾 -אזי𝐿 ≥ 𝐾 : נניח בשלילה 𝐾 < 𝐿.
הוכחה:
נגדיר > 0
𝐿𝑘− 3
∞→𝑛
∞→𝑛
= 𝜀 ,ואז לכל 𝑛 > 𝑁1מתקיים , 𝑎𝑛 < 𝐿 + 𝜀 :ולכל 𝑛 > 𝑁2מתקיים.𝐾 − 𝜀 < 𝑏𝑛 :
לכן עבור } , 𝑁 = max{𝑁1 , 𝑁2מתקיים𝑏𝑛 :
𝐿𝐾− 0לכל 𝑛 .אם 𝐿 =
הוכחה:
תהי 𝑛𝑏 סדרה המתקבלת ע"י
𝑛𝑎
𝑎𝑛−1
∞→𝑛
= 𝑛𝑏 (אפשר להגדיר .)𝑎0 = 1
ע"פ הנתון 𝐿 = 𝑛𝑏 𝑚𝑖𝑙 ולכן גם סדרת הממוצעים ההנדסיים שלה: ∞→𝑛
[]12
1 𝑛𝑎
=
1 1 1 + +⋯+ 𝑎1 𝑎2 𝑛𝑎
𝑛
+ ⋯+ 𝑛
+ ⋯+
𝑛
1 𝑎2 1 𝑎2
+ +
1
𝑎1 1
𝑎1
𝑛 𝐿 →)𝑛𝑎 ⋅ … ⋅ ∎ ( √𝑎1 ⋅ 𝑎2 ∞→𝑛
𝑛 𝑚𝑖𝑙 אז . 𝑙𝑖𝑚 √𝑎𝑛 = 𝐿 :ההיפך לא נכון ,לדוגמא תתי סדרות
𝑛→∞ 𝑎𝑛−1 𝑛𝑎
𝐿
→
∞→𝑛 1 𝑛𝑎
𝑛 √ ≤ ≤ 𝑛𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎1 ⋅ 𝑎2
הקצוות שואפים ל 𝐿-כאשר ∞ → 𝑛 ולכן ע"פ משפט הסנדוויץ':
משפט:
1 𝐿 ∞→𝑛 𝑛
1
= 𝑛𝑥 (סדרת הממוצעים החשבוניים) ,אזי . 𝑙𝑖𝑚 𝑥𝑛 = 𝐿 :הת כנסות הממוצעים
תהי 𝐿 = 𝑛𝑎𝑚𝑖𝑙 𝑎𝑛 > 0 , 𝐿 ≥ 0 ,לכל 𝑛 ,אזי: ∞→𝑛
→ 𝑛𝑎 ≠ 0אז:
→ 𝑎.
סיכום הרצאות אינפי 1מ'
משפט:
𝐿
.1יהי ,𝐶 > 0אזי. 𝑙𝑖𝑚 √𝐶 = 1 : .2
𝑛
𝑙𝑖𝑚 𝑛√𝑛 = 1
הוכחת (:)1
∞→𝑛
נגדיר . 𝑎𝑛 = 𝐶 :מתקיים= 1 :
𝑛
∞→𝑛
𝑛𝑎
1 𝑛
1
𝑎𝑎𝑛𝑛⋅1
⋅… ⋅
𝑎3
⋅
𝑛
𝑚𝑖𝑙 ,ולכן לפי המשפט הקודם. 𝑙𝑖𝑚 √𝐶 = 1 : 𝑛
𝑛→∞ 𝑎𝑛−1
הוכחת (:)2
נגדיר . 𝑎𝑛 = 𝑛 :מתקיים= 1 :
→ ∞→𝑛
𝑛𝑏 ⋅ … 𝑖𝑏 ⋅ = √𝑏1
√ 𝑎 𝑛 = √𝑎 ⋅ 𝑎 2 1 𝑛
𝑚𝑖𝑙 =
𝑛→∞ 1−
דוגמא:
𝑛
𝑚𝑖𝑙 =
𝑛→∞ 𝑛−1
9
𝑛𝑎
∎
∞→𝑛
𝑛 𝑚𝑖𝑙 ,ולכן לפי המשפט הקודם𝑛 = 1 : √ 𝑚𝑖𝑙.
𝑛→∞ 𝑎𝑛−1
∞→𝑛
𝑛 𝑛 𝑛 √ ⋅ 𝑎𝑛 = √32𝑛+1 ⋅ 𝑛 = √32𝑛 ⋅ √3 ⋅ 𝑛√𝑛 = 9 ⋅ √3 →𝑛 𝑛
∞→𝑛
𝑛
הרצאה :11גבול במובן הרחב הגדרה:
∞ = 𝒏𝒂𝒎𝒊𝒍 (או ∞ ∞→𝒏
→ 𝒏𝒂) אם לכל 𝑀 קיים 𝑁 כך שלכל 𝑁 > 𝑛 מתקיים. 𝑎𝑛 > 𝑀 :
∞→𝒏
מינוח :אם 𝑛𝑎 מתכנסת (לגבול סופי 𝐿) או ש 𝑎𝑛 -שואפת ל ∞-או ל , −∞-אז נאמר ש 𝑎𝑛 -מתכנסת במובן הרחב. .1ניתן להגדיר במקום "לכל 𝑀" גם "לכל ( " 𝑀 > 0ההגדרות שקולות).
הערות:
צריך להראות שהתנאי בהגדרה מתקיים לכל "אם" חיובי
כן תקף"𝑐 ⋅ ∞" ," ∞ ⋅ ∞ " ," ∞ + ∞" : ).(𝑐 > 0
.2המשפטים עבור גבולות סופיים אינם בהכרח תקפים לגבולות אינ סופיים : לא תקף."∞0 " ," 0 ⋅ ∞ " ," ∞ − ∞ " ," 1∞ " ,"∞" : ∞
דוגמאות:
.1
∞ = 𝑛 . 𝑙𝑖𝑚 2נוכיח לפי ההגדרה:
.2
∞ = 𝑛 𝑙𝑖𝑚 cלכל 1 < 𝑐 ∈ ℝ
∞→𝑛
יהי .𝑀 > 0נגדיר 𝑀 𝑁 = log2ואז לכל 𝑁 > 𝑛 מתקיים. 𝑎𝑛 = 2𝑛 > 2𝑁 = 2log2 𝑀 = 𝑀 : ∞→𝑛
𝑎𝑛 = (−1)𝑛 ⋅ 𝑛 .3אין גבול (כי לא חסומה) ,גם לא במובן הרחב (הוכיחו לפי ההגדרה).
𝑛 2 − 1 1 − 𝑛2 1 → = 3 𝑛→∞ 3 3𝑛2 1
.4
.5
.6 משפט:
∞
→ 𝑛𝑎 ⇐ 0
∞→𝑛
1 → ∞→𝑛 𝑛𝑎
∞
[]13
𝑛 1 𝑒 → ) (1 + ∞→𝑛 𝑛
→)𝑛3 − 1000𝑛2 = 𝑛2 (𝑛 − 1000
∞→𝑛
∎
∞
" ∞"
" ∞"1
" ∞ "∞ −
∎
סיכום הרצאות אינפי 1מ'
הוכחה:
משפט: משפט:
יהי .𝜀 > 0קיים Nכך שלכל 𝑛 > Nמתקיים> 0 :
0
→ 𝑛𝑎 < ∞ ⇐ 0
∞→𝑛
יהי ,|𝑞| < 1אזי0 :
הוכחה:
אם :𝑞 = 0 אם :𝑞 ≠ 0
משפט:
1 → ∞→𝑛 𝑛𝑎
1
𝜀
> 𝑛𝑎 .לכן לכל :𝑛 > N
לא נכון .צריך להגיד שהסדרה חיובית
𝜀< 1 𝑛𝑎 = |− 0
1
מגדיר ים את אם החיובי כאח ד חלקי אפסילון ,ואז
| ∎
→ 𝑛𝑞
∞→𝑛
מיידי. נגדיר . 𝑐 = |𝑞| > 1 :ולכן:
1 𝑐 𝑛 = ∞ ⇒ 𝑙𝑖𝑚 |𝑞 |𝑛 = 𝑙𝑖𝑚 𝑛 = 0 ⇒ 𝑙𝑖𝑚 q𝑛 = 0 𝑚𝑖𝑙 ∎ ∞→𝑛 ∞→𝑛 ∞→𝑛 𝑐 ∞→𝑛
1
(הפיצה) אם 𝑛𝑏 ≤ 𝑛𝑎 לכל 𝑛 ו , 𝑙𝑖𝑚𝑎𝑛 = ∞ -אזי. 𝑙𝑖𝑚 𝑏𝑛 = ∞ :
הוכחה:
∞→𝑛
∞→𝑛
יהי .𝑀 > 0קיים 𝑁 כל שלכל 𝑁 > 𝑛 מתקיים:
𝑀 > 𝑛𝑎 ≥ 𝑛𝑏 ∎
הרצאות :12 -13מבחן המנה והשורש ,סדרות מונוטוניות משפט:
𝑛 (מבחן השורש לסדרות) תהי 𝑛𝑎 < 0לכל 𝑛 .אם 𝑞 = 𝑛𝑎 √ 𝑚𝑖𝑙 קיים ,אז:
∞→𝑛
.1אם . 𝑙𝑖𝑚 𝑎𝑛 = 0 ⇐ 𝑞 < 1 ∞→𝑛
.2אם . 𝑙𝑖𝑚 𝑎𝑛 = ∞ ⇐ 𝑞 > 1 ∞→𝑛
הוכחה:
עבור :𝑞 < 1
נסמן:
𝑞1+ 2
= 𝑏.
𝑞 < 𝑏 ⇐ 2𝑞 < 1 + 𝑞 ⇐ 𝑞 < 1
𝑏 0אינו חסם מלמעלה של הסדרה .לכן קיים 𝑁𝑎 כך ש. 𝑎𝑁 > 𝐿 − 𝜀 -
משפט:
כיוון ש 𝑎𝑛 -עולה ,לכל 𝑁 > 𝑛 מתקיים:
כל סדרה מונוטונית ,מתכנסת במובן הרחב.
הוכחה: []15
𝜀 ∎ 2 + 𝜀 > 𝐿 ≥ 𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑁 > 𝐿 −
סיכום הרצאות אינפי 1מ'
אם 𝑛𝑎
היא מתכנסת לפי המשפט הקודם.
חסומה :
אם 𝑛𝑎 אינה חסומה : סיכום:
𝑛𝑎 עולה וחסומה מלמעלה
𝑛𝑎 עולה ולא חסומה מלמעלה
דוגמאות:
נניח בה"כ ש 𝑎𝑛 -מונוטונית עולה ולא חסומה מלמעלה .נראה ש : 𝑙𝑖𝑚 𝑎𝑛 = ∞ - ∞→𝑛 לכל 𝑀 קיים 𝑀 > 𝑁𝑎 .לכן לכל 𝑁 > 𝑛 מתקיים𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑁 > 𝑀 :
.1
⇐ מתכנסת לsup-
𝑛𝑎 יורדת וחסומה מלמטה
𝑛𝑎 יורדת ול...
Similar Free PDFs
Forensics Notes (1) (1) (1)
- 24 Pages
Module 1 Discussion 1-1
- 1 Pages
1
- 7 Pages
1 - .....
- 3 Pages
1
- 1 Pages
1 - ———
- 1 Pages
1
- 9 Pages
1
- 2 Pages
1
- 3 Pages
1-1 Evolucionismo social
- 7 Pages
Guia 1 - Guia 1
- 5 Pages
Assignment 1-1 20201
- 4 Pages
Essay 1 Exercise 1
- 2 Pages
Chapter 1 - capitulo 1
- 48 Pages
Attachment 1 - reflection 1
- 5 Pages
Popular Institutions
- Tinajero National High School - Annex
- Politeknik Caltex Riau
- Yokohama City University
- SGT University
- University of Al-Qadisiyah
- Divine Word College of Vigan
- Techniek College Rotterdam
- Universidade de Santiago
- Universiti Teknologi MARA Cawangan Johor Kampus Pasir Gudang
- Poltekkes Kemenkes Yogyakarta
- Baguio City National High School
- Colegio san marcos
- preparatoria uno
- Centro de Bachillerato Tecnológico Industrial y de Servicios No. 107
- Dalian Maritime University
- Quang Trung Secondary School
- Colegio Tecnológico en Informática
- Corporación Regional de Educación Superior
- Grupo CEDVA
- Dar Al Uloom University
- Centro de Estudios Preuniversitarios de la Universidad Nacional de Ingeniería
- 上智大学
- Aakash International School, Nuna Majara
- San Felipe Neri Catholic School
- Kang Chiao International School - New Taipei City
- Misamis Occidental National High School
- Institución Educativa Escuela Normal Juan Ladrilleros
- Kolehiyo ng Pantukan
- Batanes State College
- Instituto Continental
- Sekolah Menengah Kejuruan Kesehatan Kaltara (Tarakan)
- Colegio de La Inmaculada Concepcion - Cebu