1 - Analisi e algebra sistemi a blocchi (con esercizi) PDF

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Dispensa: Analisi e algebra sistemi a blocchi (con esercizi)...

Description

Capitolo

4 Semplificazioni di schemi a blocchi

4.1

Blocchi in cascata

4.2

Blocchi in parallelo

4.3

Blocchi in catena chiusa (reazione negativa)

4.4

Blocchi in catena chiusa (reazione positiva)

4.5

Spostamento di blocchi

4.6

Esercizi

Algebra degli schemi a blocchi

AL ALGEBRA GEBRA DEGLI SCHEMI A BL BLOCCHI OCCHI

L’algebra degli schemi a blocchi è un insieme di operazioni che permettono di semplificare schemi complessi

4.1

BLOCCHI IN CASCATA

Due blocchi sono connessi in cascata quando l’uscita del primo è il segnale d’ingresso del secondo.

La funzione di trasferimento di più blocchi in cascata è data dal prodotto delle funzioni di trasferimento dei singoli blocchi. Nel nostro caso G (s ) = G1(s ) ⋅ G 2(s ) Dimostrazione che G (s ) = G1(s ) ⋅ G 2(s )

U1(s ) f.d.t. del primo blocco E(s) U( s) G2(s) = f.d.t. del secondo blocco U1(s) U (s ) G (s ) = f.d.t. del sistema E(s) G1(s) =

G (s ) =

U (s ) U1(s ) U (s ) = ⋅ = G1(s )⋅ G 2 (s ) E(s) E (s ) U1(s )

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IV-2

Algebra degli schemi a blocchi

4.2

BLOCCHI IN PARALLELO

Due blocchi sono connessi in parallelo quando ricevono lo stesso segnale d’ingresso e le loro uscite sono sommate

nodo so m m a t o r e

La funzione di trasferimento di più blocchi in parallelo è data dalla somma delle funzioni di trasferimento dei singoli blocchi Nel nostro caso: G(s ) = G1(s ) + G 2(s)

Dimostrazione che

G1(s ) = G (s ) =

U1(s ) E(s)

G(s) = G1(s) + G 2(s)

; G2(s) =

U2(s) ; E(s)

G(s) =

U (s ) E(s)

U (s ) U1(s) + U 2(s) U1(s) U 2(s) = = + = G1(s) + G 2(s) E(s) E(s) E (s ) E(s)

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IV-3

Algebra degli schemi a blocchi

4.3

BLOCCHI IN CATENA CHIUSA (reazione negativa)

Lo schema di un sistema a catena chiusa in reazione negativa è il seguente:

In questo sistema il nodo sommatore effettua la differenza tra il segnale d’ingresso e quello di reazione.

W (s ) =

U (s ) E(s)

f.d.t. ad anello chiuso

L(s) = G(S)·H(S)

U(s) = G(s)·ε(s)

R( s ) U(s)

f.d.t. del blocco di reazione

f.d.t. ad anello aperto

Dimostrazione che W (s ) =

dove:

H(s) =

;

G (s) 1 + G (s )H (s )

[1]

ε(s) = E( s) − R(s) = E(s) − H (s)U(s)

[2]

U( s) = G(s )⋅ [E(s) − H(s)U(s )]

sostituendo la [2] nella [1] si ottiene risolvendo rispetto ad U(s) si ottiene:

U(s) = G(s)E(s) − G (s )H (s )U (s)

U (s ) =

⇒

U(s) ⋅ [1+ G(s)H(s)] = G (s) E(s)

G(s )E (s ) 1 + G(s)H(s)

dividendo entrambi i membri per E(s) si ricava la W (s ) :

W(s) =

U (s ) G (s ) = E (s ) 1 + G(s)H(s)

c.v.d.

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IV-4

Algebra degli schemi a blocchi

4.4

BLOCCHI IN CATENA CHIUSA (reazione positiva)

Lo schema di un sistema a catena chiusa in reazione positiva è il seguente:

In questo sistema il nodo sommatore effettua la somma tra il segnale d’ingresso e quello di reazione. Dimostrazione che W (s ) = U(s) = G(s)·ε(s)

G (s) 1 − G (s )H (s )

[1]

dove:

ε(s) = E(s )+ R (s ) = E(s ) + H (s)U(s )

[2]

U( s) = G (s )⋅ [E(s) + H(s)U(s )]

sostituendo la [2] nella [1] si ottiene risolvendo rispetto ad U(s) si ottiene:

U(s ) = G (s )E (s ) + G (s )H (s )U (s)

U (s ) =

⇒

U(s) ⋅ [1− G(s)H (s)] = G (s) E(s)

G(s )E (s ) 1 − G(s)H(s)

dividendo entrambi i membri per E(s) si ricava la W (s ) :

W(s) =

U (s ) G (s ) = E (s ) 1 − G(s)H(s)

c.v.d.

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IV-5

Algebra degli schemi a blocchi

1

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IV-6

Algebra degli schemi a blocchi

1

1

VI-16 Manuale di Elettronica e Telecomunicazioni - Hoepli

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IV-7

Algebra degli schemi a blocchi

4.6

ESERCIZI

Esercizio 1 Determinare la f.d.t. ad anello chiuso

Il circuito retroazionato è equivalente al circuito in figura

G (s ) =

5 s +2

e

H(s)=1

sostituendo:

5 W (s ) = s + 2 = 5 1+ s +2

5 5 s+2 = s +2 +5 s+ 7 s+ 2

Esercizio 2

Determinare la f.d.t. ad anello chiuso

Il circuito equivalente e:

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IV-8

Algebra degli schemi a blocchi

L(s) = G(s)·H(s )=

10 5 50 · = (s + 2)(s + 3) s s(s + 2)(s + 3)

(f.d.t. ad anello aperto)

sostituendo:

10 10s (s + 2)(s + 3) 10s = = W (s )= 3 50 s(s + 2)(s + 3) + 50 s + 5s 2 + 6s + 50 1+ s(s + 2)(s + 3)

Esercizio 3

Uno stabilimento utilizza, per la cottura di merendine, un sistema di controllo di temperatura a catena chiusa. Sapendo che le funzioni di trasferimento del regolatore, del circuito di comando, del forno e del circuito di reazione(termocoppia e circuito di condizionamento) sono rispettivamente:

G K (s) = 0,1

G A (s ) = 3

G F (s ) =

0,2 1 + 500s

G R (s ) =

0,125 1 + 50s

Determinare la f.d.t. complessiva del sistema Soluzione

Il circuito equivalente e:

G(s) = 0,1 ⋅ 3 ⋅

0,2 0,06 = 1 + 500s 1 + 500s

L(s) = G(s) ⋅H(s) =

; H(s) =

0,125 1 + 50s

0,06 0,125 0,0075 = ⋅ (1 + 50s) ⋅ (1 + 500s) 1 + 500s 1 + 50s

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IV-9

Algebra degli schemi a blocchi

sostituendo:

0,06 0,06 1 1 500 s + + 500s = = W(s ) = (1+ 50s)⋅ (1+ 500s) + 0,0075 0,0075 1+ (1 + 50s) ⋅ (1 + 500s) (1 + 50s) ⋅ (1 + 500s)

=

0,06 ⋅ (1 + 50s) 0,06 ⋅ (1 + 50s) ≅ (1 + 50s ) ⋅ (1 + 500s) + 0,0075 25000s 2 + 550s + 1

Esercizio 4

Ricavare la f.d.t. del sistema

1° Metodo

Nel nodo d’ingresso A=E-B-C

⇒ E=A+B+C

[1]

Calcolo di C in funzione di U C = s⋅U Calcolo di B in funzione di U

U = 5⋅B ⇒ B =

1 U 5

Calcolo di A in funzione di U

B=

2 s +1 A ⇒ A= B 2 s +1

⇒ A=

s +1 s +1 1 ⋅ U ⇒ A= U 2 5 10

Sostituendo nella [1] si ha:

1 s +1 s + 1 1  ⇒ E=  U + U + s⋅U + + s ⋅U ⇒ 10 5  10 5  10 11s + 3 E= E U ⇒ U= 10 11s + 3

E=

Dalla quale si ottiene: W(s) =

U( s ) 10 = E(s ) 11s + 3

2° Metodo

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IV-10

Algebra degli schemi a blocchi

2 2 F(s) = s + 1 = 2 s +3 1+ s +1

G(s) = 5⋅F(s) =

10 s+ 3

G(s) ⋅H(s) =

e

G (s ) W(s) = = 1 + G (s ) ⋅ H(s)

10s 10 ⋅s = s +3 s+3

10 s + 3 = 10 10s 11s + 3 1+ s+3

Esercizio 5

Ricavare la f.d.t. del sistema.

A=

1 [E − B] [1] s +2

B = 4⋅A + U

[2]

sostituendo la [2] nella [1]

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IV-11

Algebra degli schemi a blocchi

1 [E − 4A − U] s +2

A= ricavo A U=

[3]

in Funzione di U

1 A s +3

⇒ A = (s + 3) ⋅ U

[4]

sostituendo la [4] nella [3]

(s + 3) ⋅ U =

1 [E − 4(s + 3) ⋅ U − U ] s +2

(s + 3) ⋅ U =

4(s + 3) 1 1 U− U E − s+2 s+2 s+2

(s + 3) ⋅ U(s) +

4(s + 3) 1 1 U+ U= E s +2 s+ 2 s+ 2

[ (s + 3)(s + 2) + 4(s + 3) + 1] ⋅ U =E

(s 2 + 9s + 19)⋅ U = E dalla quale si ottiene: W(s) =

1 U( s ) = E(s ) s 2 + 9s + 19

Esercizio 6

Ricondurre ad uno schema a reazione unitaria

Il circuito equivalente e:

sostituendo:

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IV-12

Algebra degli schemi a blocchi

10 10s 10s (s + 2)(s + 3) = W (s )= = 3 50 s(s + 2)(s + 3) + 50 s + 5s 2 + 6s + 50 1+ s(s + 2)(s + 3)

Lo schema a reazione unitario è:

W(s) =

F(s) 1 + F(s )

uguagliando si ricava F(s)

F(s) 10s = 3 2 1+ F(s ) s + 5s + 6s + 50 F(s) ⋅ (s 3 + 5s 2 + 6s + 50) = 10s ⋅ (1 + F(s )) F(s) ⋅ (s 3 + 5s 2 + 6s + 50) − 10s ⋅ F(s) = 10s F(s) ⋅ (s 3 + 5s 2 + 6s + 50 − 10s) = 10s 10s

F(s) =

s3 + 5s2 − 4s + 50

Esercizio 7.

Determinare la f.d.t. del blocco di reazione

W (s ) =

U( s ) 10 = 2 E(s ) s + 2s + 10

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IV-13

Algebra degli schemi a blocchi

Il circuito equivalente è:

uguagliando si ricava H(s)

G (s ) 10 = 2 1+ G (s)H (s) s + 2s + 10 10 10 s(s + 2) = ⇒ 2 10 s 2 s 10 + + 1+ H (s) s(s + 2)

10 s2

+ 2s + 10 ⋅ H(s )

=

10 10 = 2 s(s + 2) +10 ⋅H (s) s + 2s + 10

10 s2

+ 2s + 10

consegue H(s)=1

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IV-14

Algebra degli schemi a blocchi

Ese r c iz io 8

Determinare l’uscita del sistema ad anello chiuso in presenza del disturbo ∆1(s)

Soluzione Per determinare l’uscita applichiamo il principio di sovrapposizione degli effetti. •

Consideriamo agente solo il segnale R(s) indi poniamo ∆1(s) =0

Riducendo i due blocchi in cascata ad un solo blocco si ha:

W1 =

U1 G1 ⋅ G 2 = R 1 + G1 ⋅ G 2 ⋅ H

8 8 (s + 1)(s + 2)(s + 3) W1(s) = = = 32 (s + 1)(s + 2)(s + 3) + 32 1+ (s + 1)(s + 2)(s + 3) 8 8 =

(s 2 + 3s + 2)(s + 3) + 8

(s 2 + 3s + 2)(s + 3) + 32

da lla qua le si ottie ne : W1(s) =

8 3

2

s + 6s + 11s + 38

U1 (s) = R (s)⋅

( f .d.t. de l siste ma in a sse nz a de l distur bo)

8 3

2

s + 6s + 11s + 38

(uscita complessa in assenza del disturbo)

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IV-15

Algebra degli schemi a blocchi

•

Consideriamo ora, agente solo il disturbo ∆1(s), indi poniamo R(s) = 0

Nota: il blocco –1 è dovuto al nodo sommatore che ora svolge la funzione invertente

Lo schema è equivalente è:

Riducendo i due blocchi in cascata ad un solo blocco si ha

W2 =

U2 G2 = ∆1 1+ G 2⋅ G1 ⋅ H

8 8 (s + 1)(s + 2) 8(s + 3) (s + 1)(s + 2) W2 = = = (s + 1)(+2)(s + 3) + 32 (s + 1)(s + 2)(s + 3) 32 1+ (s + 1)(s + 2)(s + 3) (s + 1)(s + 2)(s + 3) dalla quale si ottiene W 2 ( s) =

U 2 (s ) ∆ 1(s)

=

8(s + 3) s 3 + +6s 2 + 11s + 38

8(s + 3) U 2 (s) = ∆1(s) ⋅ 3 s + 6s 2 + 11s + 38 U(s) = U1 (s) + U 2 (s)

( f .d.t. de l distur bo)

(uscita complessa dovuta al solo disturbo)

( risposta complessa del sistema)

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