1 Binomialverteilung 16 3 2020 PDF

Preview

Summary

Aus dem Schulunterricht...

Description

Stochastik

BG Studienstufe

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mathematik

Datum:

Die Binomialverteilung Bernoulli-Experiment

I. BERNOULLI-Experimente

II. Nicht-BERNOULLI-Experimente

Beispiel: Zielscheibe

Beispiel: Glücksrad

Treffer mit

T 

p  0,10

gelb 0,30 blau 0,50

Kein Treffer

0,20 rot

T  = Niete

q  1  p  0,90 Georg dreht ein Glücksrad. 3 Ergebnisse sind Hansi wirft einen Pfeil auf eine Zielscheibe und

möglich. Rot, Gelb, Blau. Die zugehörigen

trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % Wahrscheinlichkeiten sind ins Schwarze und mit 90 % daneben.

Merke: Ein Zufallsexperiment, bei dem man genau 2 Ergebnisse unterscheidet, heißt BernoulliExperiment mit der p und der Trefferwahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit einer Niete

q 1  p .

PGelb  0,30 Dieses

und

Experiment

P Rot   0,20 ,

P Blau  0,50

ist

kein

.

Bernoulli-

Experiment, da mehr als 2 Ergebnisse möglich sind. Es lässt sich aber ein Bernoulli-Experiment daraus machen, wenn wir nur 2 Ergebnisse Unterscheiden, z.B.: Rot

R 

Nicht-Rot

mit

p

 R  mit q 

1

Stochastik Mathematik

BG Studienstufe

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Datum:

3. Überlegung: Bernoulli-Ketten a) Hansi wirft 3 mal nacheinander auf die Zielscheibe. Er wiederholt Experiment. Die Trefferwahrscheinlichkeit von

p  0,10

n  3 -mal das Bernoulli-

bleibt für jeden einzelnen Wurf

erhalten.

Merke: Ein Bernoulliexperiment, das

n  mal wiederholt wird, heißt n  stufige BERNOULLI-

KETTE.

2

Stochastik

BG Studienstufe

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mathematik

Datum:

Ein Zufallsversuch, das n-mal in exakt gleicher Weise durchgeführt wird, wird als Bernoulli-Experiment bezeichnet, wenn es nur zwei unterschiedliche Ausgänge gibt, bei denen sich die Wahrscheinlichkeiten nicht verändern. Es handelt sich dabei um eine Bernoulli-Kette der Länge n. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ereignis in einer Bernoulli-Kette der Länge n genau k mal eintritt, lässt sich mit Hilfe der Formel von Bernoulli berechnen: 𝑛 für k = 0, 1, 2, …, n. 𝑃(𝑋 = 𝑘) = 𝐵(𝑛; 𝑝; 𝑘) = ( ) ∙ 𝑝 𝑘 ∙ (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 𝑘 Die Zufallsgröße X, die die Anzahl der „Treffer“ angibt, heißt binomialverteilt mit den Parametern n und p, ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man Binomialverteilung. Der Wert der Binomialverteilung an der Stelle k wird mit B(n; p; k) bezeichnet. In der Realität gibt es für zahlreiche Experimente nur zwei Ergebnisse; so fällt bei einer Münze entweder „Kopf“ oder „Zahl“, ein Los ist ein „Treffer“ oder eine „Niete“, ein Bauteil ist „defekt“ oder „einwandfrei“, beim Werfen eines Würfels fällt die „Sechs“ oder „keine Sechs“, beim Ziehen aus einer Urne erhält man eine „rote Kugel“ oder „keine rote Kugel“ usw. Werden beispielsweise aus der laufenden Produktion eines Produzenten für Energiesparlampen drei Leuchtmittel entnommen und nacheinander auf ihre Funktionsfähigkeit überprüft, ist dies eine Bernoulli Kette der Länge n = 3.

 Erläuterungen am Beispiel: Bernoulli-Kette der Länge n = 4 In einem Industriebetrieb wird eine neue Art Energiesparlampen produziert. Wegen des nicht ausgereiften Fertigungsprozesses sind 40% der produzierten Leuchtmittel defekt (D). Im Rahmen der Qualitätssicherung werden der laufenden Produktion 4 Leuchtmittel entnommen und auf ihre Funktionsfähigkeit überprüft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 3 der kontrollierten Lampen einwandfrei (E) sind? Mit einem Baumdiagramm lässt sich die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl „Treffer“ bei einer Bernoulli-Kette der Länge n (hier n = 4) bestimmen: E E D E E

0,6 D

D

E E

0,4

D D E D D

E D E D E

Pfad 2:

P(EEED) = 0,6 ∙ 0,6 ∙ 0,6 ∙ 0,4 = 0,0864

Pfad 3:

P(EEDE) = 0,6 ∙ 0,6 ∙ 0,4 ∙ 0,6 = 0,0864

Pfad 5:

P(EDEE) = 0,6 ∙ 0,4 ∙ 0,6 ∙ 0,6 = 0,0864

Pfad 9:

P(DEEE) = 0,4 ∙ 0,6 ∙ 0,6 ∙ 0,6 = 0,0864

D E D E D E D E D E D

Das Baumdiagramm zeigt 16 unterschiedliche Möglichkeiten für den Ausgang des Experiments, von denen jedoch nur 4 die Bedingung erfüllen, dass drei der vier kontrollierten Leuchtmittel einwandfrei sind (Pfad 2, Pfad 3, Pfad 5 und Pfad 9). Die Wahrscheinlichkeit für jeden der vier Pfade lässt sich mit Hilfe der 1. Pfadregel berechnen.

3

Stochastik Mathematik

BG Studienstufe

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Datum:

Offensichtlich ist die Wahrscheinlichkeit für jeden Pfad gleich groß. Dies liegt daran, dass in jedem Fall dreimal die Wahrscheinlichkeit für ein einwandfreies und einmal die Wahrscheinlichkeit für ein defektes Leuchtmittel miteinander multipliziert werden. Daher lässt sich die Wahrscheinlichkeit für jeden Pfad auch berechnen durch: 0,63 ∙ 0,41 = 0,0864. Die Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt sich nun mit Hilfe der 2. Pfadregel: P("3 einwandfreie") = P(X = 3) = P(EEED) + P(EEDE) + P(EDEE) + P(DEEE) = 0,0864 ∙ 4 = 0,3456 Da ein Leuchtmittel nicht mehrfach kontrolliert werden soll und die Reihenfolge egal ist, in der defekte und/oder einwandfreie Leuchtmittel auftreten, handelt es sich bei der Kontrolle um eine Stichprobe ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Daher lässt sich die Anzahl der Pfade auch mit dem Binomialkoeffizienten berechnen: n n! ( ) = (k!∙(n − k)!) k

4 →( )= 3

4!

3! ∙ (4 − 3)!

=𝟒

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit lässt sich wiederum direkt mit Hilfe der Formel von Bernoulli berechnen: n P(X = k) = B(n; p; k) = ( ) ∙ pk ∙ (1 − p)n−k k 4 P(X = 3) = B(4; 0,6; 3) = ( ) ∙ 0,63 ∙ (1 − 0,6)4−3 = 4 ∙ 0,63 ∙ 0,41 = 0,3456 3 Allgemein gilt der folgende Zusammenhang: Die Anzahl der „Treffer“, in diesem Fall die Anzahl einwandfreier Leuchtmittel, wird in der Regel mit k abgekürzt. Deshalb gibt es in jedem der vier Pfade mit der Länge n = 4 k = 3 „Treffer“ (E) und n – k = 1 „Niete“ (D). Beispiel: Ein Würfel wird viermal geworfen. X sei die Anzahl der dabei geworfenen Sechsen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis X = 2, d.h. für genau zwei Sechsen. Lösung:

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 4 1

mit der Trefferwahrscheinlichkeit p = . 6 Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades mit genau zwei „Treffern“ und zwei „Nieten“ beträgt nach der Produktregel: 2 1 2 5 ( ) ∙ ( ) = 0,0192901 6 6 𝟒! 4 Es gibt ( ) = ( 𝟐!∙(𝟒−𝟐)!) = 𝟔 solcher Pfade. 2

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit lässt sich dann direkt mit Hilfe der Formel von Bernoulli berechnen: 1 4−2 1 2 5 2 1 2 1 4 = 6 ∙ ( ) ∙ ( ) = 0,11574 ≈ 11,57% P(X = 2) = B (4; ; 2) = ( ) ∙ ( ) ∙ (1 − ) 6 6 6 6 6 2

4

Stochastik Mathematik

Wahrscheinlichkeitsrechnung

BG Studienstufe Datum:

5

Stochastik Mathematik

Wahrscheinlichkeitsrechnung

BG Studienstufe Datum:

Aufgaben zum Üben und Verstehen Aufgabe 1.1: Ein Multiple-Choice-Test enthält vier Fragen mit jeweils drei Antwortmöglichkeiten, von denen jeweils nur eine richtig ist. Der Test gilt als bestanden, wenn mindestens zwei Fragen (P(X ≥ 2), richtig beantwortet werden. Ein ganz und gar ahnungsloser Schüler versucht den Test durch zufälliges Ankreuzen zu bestehen. Wir groß sind seine Chancen? Hinweis:

Für die Ermittlung von P(X ≥ 2) sind zunächst die Einzelwahrscheinlichkeiten für P(X = 2), P(X = 3) und P(X = 4) zu berechnen und anschließend zu addieren.

Aufgabe 1.2: Bestimmung einer Punktwahrscheinlichkeit (P(X = k)) 51,4% aller Neugeborenen sind männlich. Eine Familie hat sechs Kinder. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie genau drei Jungen haben? Aufgabe 1.3: Bestimmung einer linksseitigen Intervallwahrscheinlichkeit (P(X ≤ k)) Ein Tetraeder-Würfel trägt die Zahlen 1 bis 4. Wird er geworfen, so zählt die untenliegende Zahl. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim fünffachen Werfen des Würfels höchstens zweimal die Zahl 2 zu werfen?

3

Aufgabe 1.4: Bestimmung einer rechtsseitigen Intervallwahrscheinlichkeit (P(X ≥ k)) Ein Biathlet trifft die Scheibe mit einer Wahrscheinlichkeit von 80%. Er gibt insgesamt zehn Schüsse ab. Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er mindestens achtmal? Aufgabe 1.5: Bestimmung einer Intervallwahrscheinlichkeit (P(k ≤ X ≤ m)) Aus einer Urne mit zehn roten und fünf weißen Kugeln werden acht Kugeln mit Zurücklegen entnommen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man vier bis sechs rote Kugeln? Aufgabe 1.6: Anwendung der Formel für das Gegenereignis (P(X > k) = 1 – P(X ≤ k)) Wirft man einen Reißnagel, so kommt er in 60% der Fälle in Kopflage und in 40% der Fälle in Seitenlage zur Ruhe. Jemand wirft zehn dieser Reißnägel. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt er mehr als dreimal die Seitenlage?

Zusammenfassung Ist X eine binomialverteilte Zufallsgröße mit den Parametern n und p, so gilt für die zugehörige Verteilungsfunktion F: 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1)+ . . . +𝑃(𝑋 = 𝑘), wobei k die größte ganze Zahl ist, die kleiner oder gleich x ist. Man bezeichnet die rechts stehende Summe mit F(n; p; k). Mit der Formel von Bernoulli ergibt sich:

6

Stochastik Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mathematik

BG Studienstufe Datum:

𝑘

𝑛 𝐹(𝑥) = 𝐹(𝑛; 𝑝; 𝑘) = ∑ ( ) ∙ 𝑝 𝑖 ∙ (1 − 𝑝)𝑛−𝑖 𝑖 𝑖=0

Die dazugehörige Verteilung wird kumulierte Binomialverteilung genannt.

7

Stochastik Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mathematik

BG Studienstufe Datum:

Lösungen Aufgabe 1.1: Ein Multiple-Choice-Test enthält vier Fragen mit jeweils drei Antwortmöglichkeiten, von denen jeweils nur eine richtig ist. Der Test gilt als bestanden, wenn mindestens zwei Fragen (P(X ≥ 2), richtig beantwortet werden. Ein ganz und gar ahnungsloser Schüler versucht den Test durch zufälliges Ankreuzen zu bestehen. Wir groß sind seine Chancen? Hinweis:

Für die Ermittlung von P(X ≥ 2) sind zunächst die Einzelwahrscheinlichkeiten für P(X = 2), P(X = 3) und P(X = 4) zu berechnen und anschließend zu addieren.

P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) 1 4−2 1 2 2 2 24 1 2 1 4 = 6∙( ) ∙( ) = ∙ 100 ≈ 29,63% P(X = 2) = B (4; ; 2) = ( ) ∙ ( ) ∙ (1 − ) 3 3 3 3 2 81 3 1 4−3 1 3 2 1 8 1 3 1 4 = 4∙( ) ∙( ) = ∙ 100 ≈ 9,88% P(X = 3) = B (4; ; 3) = ( ) ∙ ( ) ∙ (1 − ) 3 3 3 3 3 3 81 1 1 4−4 1 4 2 0 1 1 4 4 P(X = 4) = B (4; ; 4) = ( ) ∙ ( ) ∙ (1 − ) = 1∙( ) ∙( ) = ∙ 100 ≈ 1,23% 3 3 3 3 3 4 81 P(X ≥ 2) = 29,63% + 9,88% + 1,23% =

33

81

∙ 100 ≈ 40,74%

Die Ratewahrscheinlichkeit für das Bestehen des Tests beträgt rund 41 Prozent. Aufgabe 1.2: Bestimmung einer Punktwahrscheinlichkeit (P(X = k)) 51,4% aller Neugeborenen sind männlich. Eine Familie hat sechs Kinder. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie genau drei Jungen haben? 6 P(X = 3) = B(6; 0,514; 3) = ( ) ∙ (0,514)3 ∙ (1 − 0,514)6−3 = 20 ∙ (0,514)3 ∙ (0,486)3 = 0,31176 ∙ 100 3 ≈ 31,18%

Aufgabe 1.3: Bestimmung einer linksseitigen Intervallwahrscheinlichkeit (P(X ≤ k)) Ein Tetraeder-Würfel trägt die Zahlen 1 bis 4. Wird er geworfen, so zählt die untenliegende Zahl. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim fünffachen Werfen des Würfels höchstens zweimal die Zahl 2 zu werfen? P(X ≤ 2) = P(X = 2) + P(X = 1) + P(X = 0) 1 2 1 5−2 1 2 3 3 270 1 5 = 10 ∙ ( ) ∙ ( ) = P(X = 2) = B (5; ; 2) = ( ) ∙ ( ) ∙ (1 − ) 2 4 4 4 4 4 1024 1 1 1 5−1 1 1 3 4 405 1 5 ∙ (1 − ) = 5 ∙ ( ) ∙( ) = P(X = 1) = B (5; ; 1) = ( ) ∙ ( ) 1 4 4 4 4 4 1024

1 1 0 1 5−0 1 0 3 5 243 P(X = 0) = B (5; ; 0) = (5) ∙ ( ) ∙ (1 − ) = 1∙( ) ∙( ) = 0 1024 4 4 4 4 4 P(X ≤ 2) =

270

1024

+

243 405 + 1024 1024

=

918 ∙ 1024

100 ≈ 89,65%

8

3

Stochastik Mathematik

Wahrscheinlichkeitsrechnung

BG Studienstufe Datum:

Aufgabe 1.4: Bestimmung einer rechtsseitigen Intervallwahrscheinlichkeit (P(X ≥ k)) Ein Biathlet trifft die Scheibe mit einer Wahrscheinlichkeit von 80%. Er gibt insgesamt zehn Schüsse ab. Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er mindestens achtmal? P(X ≥ 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) 10 P(X = 8) = B(10; 0,8; 8) = ( ) ∙ (0,8)8 ∙ (1 − 0,8)10−8 = 45 ∙ (0,8)8 ∙ (0,2)2 = 0,3019899 8 10 P(X = 9) = B(10; 0,8; 9) = ( ) ∙ (0,8)9 ∙ (1 − 0,8)10−9 = 10 ∙ (0,8)9 ∙ (0,2)1 = 0,2684355 9

10 P(X = 10) = B(10; 0,8; 10) = ( ) ∙ (0,8)10 ∙ (1 − 0,8)10−10 = 1 ∙ (0,8)10 ∙ (0,2)0 = 0,1073742 10 P(X ≥ 8) = 0,3019899 + 0,2684355 + 0,1073742 = 0,6777996 ∙ 100 ≈ 67,78% Aufgabe 1.5: Bestimmung einer Intervallwahrscheinlichkeit (P(k ≤ X ≤ m)) Aus einer Urne mit zehn roten und fünf weißen Kugeln werden acht Kugeln mit Zurücklegen entnommen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man vier bis sechs rote Kugeln? P(4 ≤ X ≤ 6) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) 10 2 8−4 2 4 1 4 1120 2 4 8 P(X = 4) = B (8; ; 4) = ( ) ∙ ( ) ∙ (1 − ) = 70 ∙ ( ) ∙ ( ) = 6561 15 3 3 3 3 4 2 8−5 2 5 1 3 1792 2 5 10 8 ) ∙ (1 − ) = 56 ∙ ( ) ∙( ) = P(X = 5) = B (8; ; 5) = ( ) ∙ ( 3 3 3 3 5 6561 15 2 8−6 2 6 1 2 1792 2 6 10 8 = 28 ∙ ( ) ∙ ( ) = ; 6) = ( ) ∙ ( ) ∙ (1 − ) 3 3 3 3 6 6561 15 1120 1792 1792 4704 + + = ∙ 100 ≈ 71,70% P(4 ≤ X ≤ 6) = 6561 6561 6561 6561 P(X = 6) = B (8;

Aufgabe 1.6: Anwendung der Formel für das Gegenereignis (P(X > k) = 1 – P(X ≤ k)) Wirft man einen Reißnagel, so kommt er in 60% der Fälle in Kopflage und in 40% der Fälle in Seitenlage zur Ruhe. Jemand wirft zehn dieser Reißnägel. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt er mehr als dreimal die Seitenlage? P(X > 3) = 1 − P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) 10 P(X = 0) = B(10; 0,4; 0) = ( ) ∙ (0,4)0 ∙ (1 − 0,4)10−0 = 1 ∙ (0,4)0 ∙ (0,6)10 = 0,0060466 0 10 P(X = 1) = B(10; 0,4; 1) = ( ) ∙ (0,4)1 ∙ (1 − 0,4)10−1 = 10 ∙ (0,4)1 ∙ (0,6)9 = 0,0403108 1

10 P(X = 2) = B(10; 0,4; 2) = ( ) ∙ (0,4)2 ∙ (1 − 0,4)10−2 = 45 ∙ (0,4)2 ∙ (0,6)8 = 0,1209324 2

10 P(X = 3) = B(10; 0,4; 3) = ( ) ∙ (0,4)3 ∙ (1 − 0,4)10−3 = 120 ∙ (0,4)3 ∙ (0,6)7 = 0,2149909 3 P(X > 3) = 1 − P(X ≤ 3) = 1 − (0,0060466 + 0,0403108 + 01209324 + 0,2149909) = 1 − 0,3822807 = 0,6177194 ∙ 100 = 61,77%

9...