1 Conceptos basicos de control (Al) PDF

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I. Conceptos básicos de control

1.1. Definiciones

1.1.1. Entrada Estímulo aplicado a un sistema desde una fuente externa 1.1.2. Salida Respuesta del sistema, puede o no relacionarse con la respuesta implicada por la entrada 1.1.3. Variable controlada Es la cantidad o condición que se mide y se controla. Normalmente la variable controlada es la salida del sistema, (temperatura, velocidad flujo, nivel, presión, voltaje, corriente, etc.) 1.1.4. Variable manipulada Es la cantidad o condición modificada por el controlador, a fin de afectar la variable controlada, (corriente para controlar la velocidad de un motor, presión para abrir o cerrar una válvula). Normalmente la salida del controlador oscila entre los 4 y 20 mA. 1.1.5. Control Significa medir el valor de la variable controlada (salida) del sistema, y modificar en el sistema la variable manipulada para corregir o limitar la desviación del valor medido, respecto al valor deseado. 1.1.6. Planta Es cualquier objeto físico que ha de ser controlado (horno de calentamiento, reactor químico, vehículo espacial, etc.) 1.1.7. Sistema Es la combinación de componentes que actúan conjuntamente para cumplir determinado objetivo. El término sistema puede ser referido a sistemas físicos, biológicos, económicos, etc. 1.1.8. Sistemas de control Es aquel que tiende a mantener una relación preestablecida entre la salida y alguna entrada de referencia, comparándolas y utilizando la diferencia como medio de control Perturbación o ruido

Controlador variable

Entrada de referencia

Salida

manipulada

o set point +

Actuador

Control -

+

-

Planta o proceso

(variable controlada)

detector de error Elemento de medición (sensor o transductor) Sistema de control

1.1.9. Perturbación o ruido Es una señal que tiende a afectar adversamente el valor de la salida de un sistema. Las perturbaciones pueden ser internas o externas. 1.1.10. Sistemas de control de lazo cerrado 1

Se llama así a los sistemas de control retroalimentado. La señal de error actuante, que es la diferencia entre la señal de entrada y la de retroalimentación, entra al controlador para reducir el error y llevar la salida del sistema a un valor deseado. Perturbación o ruido

Controlador variable

Entrada de referencia

Salida

manipulada

o set point +

Actuador

Control -

+

-

Planta o proceso

(variable controlada)

detector de error Elemento de medición (sensor o transductor) Sistema de control

Una figura como ésta recibe el nombre de "diagrama de bloques". 1.1.11. Sistemas de control de lazo abierto Los sistemas de control en los que la salida no tiene efecto sobre la acción de control, se les denomina sistemas de control de lazo abierto. En otras palabras, en un sistema de control de lazo abierto la salida ni se mide ni se retroalimenta para compararla con la entrada. Un ejemplo práctico lo constituye una lavadora de ropa doméstica. El remojo, lavado y enjuage en la lavadora se cumplen por tiempos. La máquina no mide la señal de salida, es decir, la limpieza de la ropa. Entrada

Planta o proceso

Control

Salida

Sistema de control de lazo abierto

 Para cada entrada de referencia corresponde una condición de operación fija. Así, la precisión del sistema depende de la calibración.  En presencia de perturbaciones, un sistema de control de lazo abierto no cumple su función asignada.  En la práctica el control de lazo abierto sólo se puede utilizar si la relación entre la entrada y la salida es conocida, y si no se presentan perturbaciones tanto internas como externas.  Nótese que cualquier sistema de control que funciona sobre una base de tiempos, es un sistema de lazo abierto. Por ejemplo, el control del tráfico con señales accionadas en función de tiempos, es otro caso de control de lazo abierto. Ventajas y desventajas principales de los sistemas de control de lazo abierto. Ventajas:  Montaje simple y facilidad de mantenimiento  Más económico que un sistema de lazo cerrado equivalente  No hay problema de estabilidad  Es conveniente cuando es difícil o económicamente inconveniente medir la salida. Desventajas:  Las perturbaciones y las modificaciones en la calibración introducen errores, y la salida puede diferir de la deseada. 2



Para mantener la calidad necesaria de la salida, periódicamente hay que efectuar una recalibración.

1.1.12. Sistemas lineales versus no lineales La mayoría de los sistemas físicos son “no lineales”. Sin embargo, si la extensión de variaciones de las variables del sistema no es amplia, el sistema puede linealizarse dentro de un rango relativamente estrecho de valores de las variables. Salida

Punto de operación

0 entrada

En ingeniería de control, la operación normal del sistema puede darse alrededor de un punto de equilibrio. Si las señales incluidas son pequeñas, es posible aproximar el sistema no lineal por un sistema lineal. Tal sistema lineal es equivalente al sistema no lineal, considerado dentro de un rango de operación limitado. Un sistema en el que se aplica el principio de superposición se denomina lineal. El principio de superposición establece que la respuesta producida por la aplicación simultánea de dos funciones excitadoras distintas, es la suma de las dos respuestas individuales. A

Sistema “A”

x

B

Sistema “A”

y

Sistema “A”

x+y

A B

Por tanto, para sistemas lineales la respuesta a diversas entradas se puede calcular tratando una entrada a la vez, y añadiendo o sumando los resultados. Un sistema es “no lineal” si no se le aplica el principio de superposición. Así, para un sistema no lineal, no se puede calcular la respuesta a dos entradas determinando una a la vez y sumando los resultados. Los siguientes son ejemplos de ecuaciones lineales y ecuaciones diferenciales lineales:

3

i

v R

3

dx  2 x 0 dt

d 2x

y = mx + b

dt2

3

dx  5 x 6 dt

y = 3x + 8 Los siguientes son ejemplos de ecuaciones no lineales y ecuaciones diferenciales no lineales: d 2x

y = sen x

dt

2

d 2x

y = x2

dt

2

d 2x

z = x2 + y 2

dt

2

2

 dx     x  Asen t  dt 



 x2  1 

 dx  x 0 dt

dx  x  x 2 0 dt

p=vi Pueden existir ecuaciones lineales y no lineales al mismo tiempo, todo depende de que variable se considere como entrada y que variable se considere como salida. Un ejemplo de esto es la Ley de Coulomb. qq F K 1 2 2 r Donde si consideramos como variable de entrada, la distancia entre las cargas ‘’r’’ y como variable de salida la fuerza ‘’F’’’, se obtendría una gráfica semejante a la siguiente: f

r

Si Ahora, si consideramos como variable de entrada, la variación en una las cargas ‘’q1’’ y como variable de salida la fuerza ‘’F’’’, se obtendría una gráfica semejante a la siguiente: f

q1

En la práctica, muchos sistemas electromecánicos, hidráulicos, neumáticos, etc., establecen relaciones no lineales entre las variables. 

Alinealidad por saturación: la salida de un componente puede saturarse para niveles elevados de señal de entrada (transistor, amplificador operacional).

4





Alinealidad por franja o zona muerta: Puede haber una franja o zona muerta que afecte las señales de pequeña magnitud. (La franja muerta de un componente, es el pequeño rango de variaciones de entrada a las que el componente es insensible) (diodo). Alinealidad cuadrática: se puede producir alinealidad cuadrática en algunos componentes. Por ejemplo, los amortiguadores utilizados en sistemas físicos, que pueden ser lineales para f a b

operación a bajas velocidades

dx . Pero pueden volverse no lineales a altas dt

velocidades, donde la fuerza de amortiguación es proporcional al cuadrado de la velocidad de la operación.

 dx  f a b    dt 

2

En la figura se pueden ver ejemplos de curvas características de estas alinealidades.

salida

salida

salida

entrada

No linealidad por saturación

entrada

No linealidad por zona muerta

entrada

No linealidad por ley cuadrática

Nótese que algunos sistemas de control importantes no son lineales ante señales de cualquier magnitud. Por ejemplo, en los sistemas de control denominado intermitente o de encendido-apagado, la acción de control está, ya sea conectada o desconectada, y por tanto no hay relación lineal entre la entrada y la salida del controlador. salida

entrada

En general los procedimientos para hallar soluciones a problemas de sistemas no lineales, son en extremo complicados. Debido a esta dificultad matemática inherente a los sistemas no lineales, a menudo se encuentra necesario introducir sistemas lineales “equivalentes“, para reemplazar los no lineales. Estos sistemas lineales equivalentes son válidos solamente en un rango restringido de operación. Una vez conseguida la aproximación de un sistema no lineal por medio de un modelo matemático lineal, se pueden aplicar herramientas lineales para su análisis y diseño. 1.1.13. Función de transferencia La función de transferencia de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales invariante en el tiempo, se define como la relación entre la transformada de Laplace de la salida (respuesta) y la transformada de Laplace de la entrada (excitación), bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero. 5

Para determinar la función de transferencia, se procede de acuerdo a los siguientes pasos: 1.- Se escribe la ecuación diferencial del sistema (modelo matemático). 2.- Se toma la transformada de Laplace de la ecuación diferencial, suponiendo que todas las condiciones iniciales son cero. 3.- Se toma la relación entre la salida Y(s) y la entrada X(s). Esta relación es la función de transferencia. Sea el sistema lineal invariante en el tiempo definido por las siguientes ecuaciones diferenciales: a oy(n) + a1y(n-1) + ...... + an-1y' + any = box(m) + b1x(m-1) + ...... + bm-1x' + bm 7

Ejemplo:

d 4y dt 4

2

d3 y dt 3



d 2y dt

2

4

x

(n  m)

(1)

dy d 3x d 2x dx 6  3 y 9  3  2x 2 dt dt dt 3 dt

Donde "y" es la salida del sistema y "x" es la entrada. La función de transferencia de este sistema se obtiene, tomando las transformadas de Laplace de ambos miembros de la ecuación (1), bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero, o sea: n n 1Y s m m 1 X s ( )  .....  an 1sY (s )  a n Y ( s )  bos X (s )  b1s ( )  .....  bm 1sX ( s )  bm X ( s) ao s Y (s )  a1s

Ejemplo:

7s

4

3 2 3 2 Y ( s )  2 s Y ( s)  s Y ( s )  4 sY ( s)  3 Y( s) 9 s X ( s)  6 s X ( s)  3 sX ( s)  2 X ( s)

Factorizando la variable de entrada X(s) y la variable de salida Y(s):

Ejemplo:





7s 4  2s 3  s 2  4s  3 Y





(s )  9s 3  6s 2  3s  2 X ( s)

Función de transferencia = G(s) = £[salida]/£[entrada]condiciones iniciales cero

G ( s) 

Ejemplo:

G( s) 

Y (s ) bo s m  b1s m  1  ... bm 1s  b m  X (s ) ao s n  a1 s n 1  ...  a n  1s  a n

Y ( s) 9 s3  6 s2  3 s  2  4 X ( s ) 7 s  2 s3  s2  4 s  3

Si la potencia más alta de "s" en el denominador de la función de transferencia es igual a "n", se dice que el sistema es de orden "n". 1.1.14. Diagrama de bloques

6

Un sistema de control puede contar de cierta cantidad de componentes. Para mostrar las funciones que realiza cada componente, en ingeniería de control se acostumbra usar diagramas denominados "diagrama de bloques". Un diagrama de bloques es una representación gráfica de las funciones realizadas por cada componente y del flujo de las señales. Tal diagrama indica las interrelaciones que existen entre los diversos componentes. A diferencia de una representación matemáticamente puramente abstracta, un diagrama de bloques tiene la ventaja de indicar en forma más realista el flujo de señales del sistema real. R + v i -

+

VR i

C

I(s)

Vi(s)

+ vo

+

1/R

-

Vo(s) 1/Cs

Vo(s)

-

1.1.14.1. Bloque funcional En un diagrama de bloques, todas las variables del sistema se enlazan entre sí a través de bloques funcionales. El "bloque funcional", o simplemente "bloque", es un símbolo de la operación matemática que el bloque produce sobre la señal que tiene a la entrada. Sobre los bloques correspondientes, se colocan generalmente las funciones de transferencia de los componentes; los bloques están conectados por las flechas para indicar la dirección del flujo de señales. La figura muestra un elemento del diagrama de bloques. La flecha que apunta hacia el bloque indica la entrada y la flecha que se aleja del bloque representa la salida. Tales flechas normalmente reciben la designación de "señales". Señal de entrada X(s)

Señal de salida Y(s)

Función de Transferencia G(s) Y(s) = X(s)G(s)

i

Ejemplo: el modelo matemático de un resistor es:

v R

Si obtenemos la transformada de la Laplace de este modelo matemático considerando condiciones iniciales iguales a cero, se obtiene: V ( s) I (s )  R

Si ahora se obtiene la función de transferencia de este componente, donde la variable de salida es la corriente y la variable de entrada es el voltaje: I (s ) 1  G (s )  V (s ) R

Por lo que el bloque funcional de este elemento será: 7

V(s)

I(s)

1 R  1 I ( s ) V ( s )   R

Donde:

1.1.14.2. Punto de suma o detector de error En relación a la siguiente figura, un circulo con una cruz constituye el símbolo que indica la operación de suma. El signo (+) o (-) indica si la señal ha de sumarse o restarse. Es importante que las cantidades a sumar o restar tengan las mismas dimensiones y las mismas unidades. a

+

a-b -

b

1.1.14.3. Punto de bifurcación Un punto de bifurcación es un punto desde el cual la señal de un bloque va concurrentemente a otros bloques o puntos de suma. Punto de suma

Punto de bifurcación

R(s)

+

E(s)

G(s)

-

C(s)

1.1.14.4. Procedimiento para la construcción del diagrama de bloques Las ventajas de la representación del diagrama de bloques de un sistema, consiste en que es fácil formar el diagrama de bloques global de todo el sistema, colocando simplemente los bloques de sus componentes de acuerdo con el flujo de señales, y en que es posible evaluar la contribución de cada componente al comportamiento general de todo el sistema. El funcionamiento de un sistema puede verse más fácilmente examinando el diagrama de bloques, que analizando el sistema físico en sí. Un diagrama de bloques contiene información respecto al comportamiento dinámico, pero no contiene información alguna acerca de la constitución física del sistema. En consecuencia, muchos sistemas diferentes, sin relación alguna entre sí, pueden estar representados por el mismo diagrama de bloques.

8

R(s)

+

E(s)

C(s)

G(s)

-

B(s) H(s)

Es decir, este diagrama de bloques puede representar un sistema eléctrico, o un sistema mecánico, o un sistema biológico, etc. (recordar la analogía de sistemas físicos visto en secciones anteriores). Un diagrama de bloques de un sistema no es único. Se pueden dibujar diferentes diagramas de bloques de un sistema, según el punto de vista del análisis. Los pasos para trazar un diagrama de bloques de un sistema son los siguientes: 1. Se escriben las ecuaciones (modelos matemáticos) que describen el comportamiento dinámico de cada componente. 2. Se obtiene las transformadas de Laplace de estas ecuaciones, suponiendo condiciones iniciales cero. 3. Cada ecuación transformada de Laplace se representa individualmente en forma de bloque. 4. Se integran los bloques de cada elemento en un diagrama de bloques completo. Ejemplo 1: sea el circuito RC de la figura, obtenga el diagrama de bloques de este sistema, si considera como variable de entrada vi y como variable de salida vo. R +

+

v i

V R

-

i

+

C

vo

-

-

Solución: Las ecuaciones de cada componente de este circuito son: 1 C

idt

Empezando por la variable de salida:

vo 

Pero:

i

Utilizando la LVK:

vR = vi - v o

vR R

(1)

(2) (3)

Las transformadas de Laplace de las ecuaciones anteriores, con condición inicial cero, son: V o ( s) 

1  I (s )    C S 

9

(1’)

I (s ) 

V R ( s) R

(2’) VR(s) = Vi(s) – Vo(s)

(3’)

La ecuación (1’) representa el bloque como puede verse en la siguiente figura: I(s)

Vo(s)

1 CS

La ecuación (2’) representa el bloque como puede verse en la siguiente figura: VR(s)

I(s)

1 R

La ecuación (3’) representa una operación de suma, y el diagrama correspondiente es el de la siguiente figura. VR(s) Vi(s) + Vo(s) Integrando estos tres elementos se obtiene el diagrama de bloque global para el sistema, que se ve en la siguiente figura: VR(s)

Vi(s) +

-

Vo(s)

I(s)

1/R

1/Cs

Vo(s)

1.1.14.5. Reducción del diagrama de bloques Es posible simplificar un diagrama de bloques muy complejo, con muchos lazos de retroalimentación, modificándolos paso a paso, utilizando las reglas del álgebra de diagramas de bloques. A continuación se dan algunas reglas importantes. Estas se obtienen escribiendo la misma ecuación en forma diferente. Simplificando el diagrama de bloques, se reduce considerablemente la tarea a efectuar en el análisis matemático subsiguiente. Hay que notar, sin embargo, que al simplificar el diagrama de bloques, los nuevos bloques se vuelven más complejos. Diagramas de bloque originales

Diagramas de bloque equivalentes

1 C A

A- B + B

-

A- B + C + C

+

A =

A- B + C

A+ C +

+

C

10

+ B

-

A =

+ B

+ -

A- B + C

2 A

G1

AG1

AG 1G 2 G 2

A

AG 2

G2

=

G1

AG 1G 2

A

AG 1G 2

G1G 2

=

3 AG1 + AG 2

AG 1

A

G1

G2

+
...