1 - Formulario Geometria Scuola Media PDF

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FORMULARIO DI GEOMETRIA PER LA SCUOLA MEDIA

1

REGOLE PRELIMINARI 1. Attenzione ad avere le stesse unità di misura 2. Rappresentare il problema graficamente (se ci sono frazioni disegnare i segmentini) 3. Risolvere il problema:si può partire dalla formula finale e man mano ricercare gli elementi mancanti

PROBLEMI CON I SEGMENTINI (due informazioni su due segmenti AB e CD) -

-

DIRETTO Noto uno dei due e l’altro è una frazione del primosostituzione ฀฀฀฀ = 5 7 7 ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ → ฀฀฀฀ = 5 = 7 5 5

INVERSO

Noto uno dei due e lo stesso che è frazione del secondo  sostituzione con inversione frazione ฀฀฀฀ = 8 2 5 ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ → ฀฀฀฀ = 8 = 20 2 5

-

SOMMA Nota la somma dei due e una proporzione tra gli stessi (uno esprimibile come frazione dell’altro) ฀฀฀฀ + ฀฀฀฀ = 33 7 ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ → ฀฀฀฀ è ฀฀฀฀ 7 ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀, ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ 4. ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀: 7 + 4 = 11 4 |−| = 33: 11 = 3 → ฀฀฀฀ = |−| ฀฀ 4 = 3฀฀4 = 12 → ฀฀฀฀ = |−| ฀฀ 7 = 3฀฀7 = 21

-

DIFFERENZA Nota la differenza dei due e una proporzione tra gli stessi (uno esprimibile come frazione dell’altro) ฀฀฀฀ − ฀฀฀฀ = 15 7 ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ → ฀฀฀฀ è ฀฀฀฀ 7 ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀, ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ 2. ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀: 7 − 2 = 5 2 |−| = 15: 5 = 3 → ฀฀฀฀ = |−| ฀฀ 2 = 3฀฀2 = 6 → ฀฀฀฀ = |−| ฀฀ 7 = 3฀฀7 = 21

-

SOMMA E DIFFERENZA Nota la somma e la differenza tra i due (il più grande sarà il primo nella differenza) ฀฀฀฀ + ฀฀฀฀ = 33 ฀฀฀฀ − ฀฀฀฀ = 7 → ฀฀฀฀ è ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ù ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ù ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀: ฀฀฀฀ = (33 + 7): 2 = 40: 2 = 20 ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ù ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀: ฀฀฀฀ = (33 − 7): 2 = 26: 2 = 13

SCRITTURE PER I DATI -

Uno è il doppio dell’altro: ฀฀฀฀ = 2฀฀฀฀ (vale con triplo, quadruplo, quintuplo)  frazione con den 1 1

Uno è la metà dell’altro: ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ (vale con terza parte, quarta parte,….) 2 I due segmenti sono proporzionali a 4 e 5: ฀฀฀฀ = 5 ฀฀฀฀ Il primo supera il secondo di 7: ฀฀฀฀ − ฀฀฀฀ = 7

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FIGURE PIANE (il perimetro verrà indicato con P, area con A) TRIANGOLO EQUILATERO

Perimetro Area TRIANGOLO SCALENO

Perimetro Area TRIANGOLO ISOSCELE

Perimetro Area TRIANGOLO RETTANGOLO

Perimetro Area QUADRATO

Perimetro Area Diagonale

Tutti i lati sono uguali.

฀ ฀ = 3฀฀

฀฀ ℎ 2 Lati tutti diversi ฀฀=

l : lato uguale alla base b: base h: altezza

฀฀ ฀฀= 3 2 ฀฀ ฀฀= ℎ l 1, l 2 , l3 : lati b= l3 : base h= altezza

฀ ฀ = ฀฀1 + ฀฀2 + ฀฀ ฀฀1 = ฀฀ − ฀฀2 − ฀฀3 ฀฀ ℎ 2 ฀฀ ฀฀= ฀฀= 2 ℎ Due lati uguali e l: lato obliquo uno diverso b: base h: altezza

฀ ฀ = 2 ฀ ฀ + ฀฀

฀฀ ℎ 2 Due lati formano un angolo retto ฀฀=

฀ ฀ = ฀฀ − 2฀฀

2 ฀฀ ℎ C: cateto maggiore (b) c: cateto minore (h) i: ipotenusa ฀฀=

฀ ฀ = ฀ ฀ + ฀ ฀ + ฀฀ ฀ ฀ = ฀฀ − ฀฀ − ฀฀ ฀฀ ฀฀ 2 ฀฀ ฀฀= ฀฀= 2 ฀฀ Quattro lati uguali l: lato d: diagonale

฀ ฀ = 4 ฀฀ ฀ ฀ = ฀฀2

฀ ฀ = ฀฀ √2

฀ ฀ = ฀฀: 4 ฀ ฀ = √฀฀ ฀ ฀ = ฀฀: √2

Pitagora applicabile tra altezza, lato obliquo e metà base(metà lato)

ℎ=

2 ฀฀ ฀฀

Analogo per altri due 2 ฀฀ ℎ= ฀฀ Pitagora applicabile tra altezza, lato obliquo e metà base(metà lato) ฀฀2 2 � ฀ ฀ = ℎ + �� 2

฀฀ − ฀฀ 2 2 ฀฀ ℎ= ฀฀ Vale il teorema di Pitagora ฀฀=

2 ฀฀ ฀฀ Pitagora applicabile per determinare la diagonale ฀฀=

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ROMBO

via Cappellini 85, Molfetta (BA) Lati uguali, diagonali diverse e angoli diversi ma uguali a coppia

Perimetro Area RETTANGOLO

Perimetro Area TRAPEZIO

฀ ฀ = 4 ฀฀ ฀฀ ฀฀ ฀฀= 2 Lati uguali a coppia, angoli uguali e retti

฀ ฀ = 2(฀ ฀ + ℎ) ฀ ฀ = ฀฀ ℎ

ISOSCELE: lati obliqui uguali SCALENO: lati obliqui diversi RETTANGOLO: un lato forma angoli retti con le due basi, diventando l’altezza Perimetro Area

FIGURE REGOLARI

Perimetro Apotema Area

Sommare tutti i lati (฀ ฀ + ฀฀)ℎ ฀฀= 2 Lati e angoli tutti uguali, soprattutto da 5 lati (pentagono) in su

฀ ฀ = ฀฀ ฀฀

฀ ฀ = ฀฀ ฀฀ ฀฀=

฀฀ ฀฀ 2

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l: lato d: diagonale minore D: diagonale maggiore

฀ ฀ = ฀฀: 4 2 ฀฀ ฀฀= ฀฀

b: base h: altezza d: diagonale

฀฀ ฀ ฀ = −ℎ 2 ฀฀ ฀฀= ℎ B: base maggiore b: base minore h: altezza (corrispondente a l1 nel trapezio rettangolo) l1 ed l2: lati obliqui

Lato=P- altri lati sommati 2฀฀ ฀ ฀ = − ฀฀ ℎ Analogo per B l: lato a: apotema f: numero fisso(tabella) n: numero lati

฀฀ ฀฀= ฀฀ ฀฀ ฀฀= ฀฀ 2 ฀฀ ฀฀= ฀฀

Pitagora applicabile tra le semi diagonali e il lato ฀฀2 ฀฀ 2 ฀ ฀ = �� � + � � 2 2

2 ฀฀ ฀฀ Pitagora applicabile per determinare la diagonale ฀฀=

฀ ฀ = �฀฀2 + ℎ2 ℎ=

฀฀

− ฀฀

฀฀ ฀฀ Pitagora applicabile inserendo l’altezza (spesso sulla parte destra della figura) con il lato obliquo e la sua proiezione sulla base maggiore 2

ℎ=

ℎ=

2฀฀ ฀ ฀ + ฀฀

n f 3 0.289 4 0.5 5 0.688 6 0.866 7 1.038 8 1.207 Altro consulta rete ฀฀ ฀฀ ฀฀ ฀฀= ฀฀ 2 ฀฀ ฀฀= ฀฀ ฀฀=

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PARALLELOGRAMMA

Perimetro Area CERCHIO

via Cappellini 85, Molfetta (BA) Lati e angoli uguali a coppie.

฀ ฀ = 2(฀ ฀ + ฀฀) ฀ ฀ = ฀฀ ℎ

Circonferenza è il perimetro, cerchio è l’area Diametro=2 r

Circonferenza = Perimetro Area

฀ ฀ = 2 ฀฀ ฀฀

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b: base h: altezza l: lato obliquo d: diagonale

Pitagora applicabile per determinare la diagonale

฀฀ ฀ ฀ = − ฀฀ 2 ฀฀ ฀฀= ℎ r: raggio π : pi greco = 3.14 C: circonferenza L: arco α: angolo al centro AB=corda

฀฀ ฀ ฀ = − ฀฀ 2 ฀฀ ℎ= ฀฀ ARCO – CORDA ฀฀ ฀฀ ฀฀ ฀฀= 180° ฀฀ ฀฀ 2 ฀฀ ฀฀= 360° Ang alla circ β = α : 2

฀ ฀ = �฀฀2 + ℎ2

฀฀ ฀฀= 2 ฀฀

฀ ฀ = ฀฀ ฀฀ 2

฀฀ ฀฀=� ฀฀

SOLIDI (Pb: perimetro di base, Al: area laterale, At: area totale, Ab: area di base) PESO SPECIFICO (V in cm3  P in g) (V in dm3  P in Kg)

฀฀ ฀฀฀฀ = ฀฀

฀฀ ฀฀= ฀฀฀฀

฀ ฀ = ฀฀ ฀฀฀฀

CUBO Lati e facce tutte uguali

Perimetro Di Base

฀฀฀฀ = 4 ฀฀

Area Di Base Area Laterale

฀฀฀฀ = ฀฀2 ฀฀฀฀ = 4 ฀฀2

Area Totale

฀฀฀฀ = 6 ฀฀2

Volume

฀ ฀ = ฀฀3

l: lato

Diagonale ฀ ฀ = ฀฀ √3

฀฀฀฀ ฀฀= 4 ฀ ฀ = √฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀=� 4 ฀฀฀฀ ฀฀=� 6 ฀ ฀ = √฀฀ 3

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PRISMA RETTO

Perimetro Di Base Area Di Base Area Laterale Area Totale Volume PARALLELEPIPEDO

Perimetro Di Base

via Cappellini 85, Molfetta (BA) La base può variare ma se c’è la dicitura regolare vuole dire che il poligono di base ha lati e angoli uguali Dipende dalla figura di base Dipende dalla figura di base ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ ℎ

Area Totale Volume PIRAMIDE RETTA

PERIMETRO DI BASE AREA DI BASE APOTEMA RAGGIO DI BASE AREA LATERALE AREA TOTALE VOLUME SOLIDI DI ROTAZIONE

h: altezza, corrispondente ad uno spigolo

Usare le formule delle figure piane Usare le formule delle figure piane ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = ℎ ฀฀฀฀ − ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = 2 ฀฀฀฀ + ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = 2 ฀฀ ฀ ฀ = ฀฀฀฀ ℎ ฀฀฀฀ = ℎ Tutte le facce sono h: altezza, a volte c rettangoli a: lunghezza b: larghezza d: diagonale ฀ ฀ = 2(฀ ฀ + ฀฀) ฀ ฀ = ฀฀ ฀฀

Area Di Base

Area Laterale

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฀฀ ฀ ฀ = − ฀฀ 2 ฀฀ ฀฀= ฀฀

฀฀฀฀ ℎ ฀฀฀฀ − ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = 2 ฀฀฀฀ + ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = 2 ฀฀ ฀ ฀ = ฀฀฀฀ ℎ ฀฀฀฀ = ℎ La base può h: altezza variare ma se c’è la a: apotema dicitura regolare r: raggio della vuole dire che il circonferenza inscritta poligono di base ha nel poligono di base lati e angoli uguali ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ ℎ

Dipende dalla figura di base Dipende dalla figura di base

฀ ฀ = �ℎ2 + ฀฀ 2 2฀฀ ฀฀= ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀ = 2 ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ + ฀฀฀฀

฀฀=

฀฀฀฀ ℎ 3

฀฀฀฀ =

Usare le formule delle figure piane Usare le formule delle figure piane

ℎ = �฀฀2 − ฀฀2 ฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀= 2 2 ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = ฀฀ ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ − ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ =

3 ฀฀ ℎ

฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ − 2 ฀฀฀฀ ℎ=

฀฀ ฀฀฀฀ Pitagora applicabile per determinare la diagonale ℎ=

฀ ฀ = �฀฀2 + ฀฀2 + ℎ2 ฀฀ ฀ ฀ = − ฀฀ 2 ฀฀ ฀฀= ฀฀

฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ − 2 ฀฀฀฀ ℎ=

฀฀ ฀฀฀฀ Pitagora applicabile tra raggio e altezza (cateti) e l’apotema (ipotenusa) Nel caso di quadrato in base (regolare a base quadrangolare): r=l:2 ℎ=

฀ ฀ = �฀฀2 − ℎ2 2฀฀ ฀฀฀฀ = ฀฀ 2 ฀฀฀฀ ฀฀= ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ − ฀฀฀฀ ℎ=

3 ฀฀ ฀฀฀฀

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CILINDRO

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h: altezza, r: raggio di base

Perimetro Di Base Area Di Base

Area Laterale Area Totale Volume CONO RETTO

Perimetro Di Base Area Di Base

Area Laterale Area Totale Volume SFERA

AREA TOTALE

VOLUME

฀฀฀฀ = ฀ ฀ = 2 ฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀ = ฀฀ ฀฀ 2

฀฀ ฀฀= 2 ฀฀฀฀ ฀฀ ฀฀=� ฀฀

฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = ฀ ฀ = ℎ ฀฀฀฀ − ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = 2 ฀฀฀฀ + ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = 2 ฀฀ ฀ ฀ = ฀฀฀฀ ℎ ฀฀฀฀ = ℎ h: altezza, a: apotema r: raggio di base ฀฀฀฀ = ฀฀ ℎ

฀฀฀฀ = ฀ ฀ = 2 ฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀ = ฀฀ ฀฀ 2

฀฀฀฀ ฀฀ 2 ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ + ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = ฀฀=

฀฀฀฀ ℎ 3

฀฀฀฀ = 4 ฀฀ ฀฀ 2 4 ฀ ฀ = ฀฀฀฀ 3 3

฀฀฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ − ฀฀฀฀ ℎ=

฀฀ ฀฀฀฀ Pitagora applicabile tra raggio e altezza (cateti) e l’apotema (ipotenusa) ℎ=

฀฀ ฀฀= 2 ฀฀฀฀

฀฀ ฀฀=� ฀฀ 2 ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = ฀฀ ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ − ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ =

r: raggio

3 ฀฀ ℎ

฀฀฀฀ ฀฀=� ฀฀

3 3฀฀ ฀฀=� 4฀฀

n.b. ogni riga del formulario in un problema può essere usata una sola volta

2 ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ − ฀฀฀฀ ฀฀=

3 ฀฀ ฀฀฀฀ Per le radici cubiche in caso di assenza di calcolatrice scientifica usare le tabelle ℎ=...