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Investigación de operaciones

Herramientas Matemáticas VI Modelos de Simulación

Investigación de operaciones Actualmente, las organizaciones se enfrentan constantemente a problemas, nuevos desafíos y situaciones por resolver. Con base en esto, tienen que tomar decisiones para definir acciones y actividades que permitan abordar dichas complicaciones. La investigación de operaciones (conocida por sus siglas IO) es una disciplina que tiene como base el método científico, y cuyo objetivo es ayudar a las organizaciones en la toma de decisiones. (Hillier F., Hillier M., 2008).

La Investigación de Operaciones se refiere a la toma de decisiones óptimas en, y modelización de, sistemas determinísticos y probabilísticos que se originan en la vida real. Estas aplicaciones, las cuales ocurren en el gobierno, en los negocios, en ingeniería, en economía y en ciencias sociales e naturales, son caracterizadas por la necesidad de asignar recursos limitados. En estas situaciones, puede ser obtenida una considerable comprensión a partir del análisis científico. La contribución del abordaje de la investigación de operaciones deriva principalmente de: 1) Estructuración de la situación de vida real en un modelo matemático, abstrayendo los elementos esenciales para que pueda ser buscada una solución relevante para los objetivos de los que toman las decisiones. Esto significa mirar el problema dentro del contexto del sistema entero. 2) Exploración de la estructura de tales soluciones y desarrollo de procedimientos sistemáticos para obtenerlos. Desarrollo de una solución, incluyendo la teoría matemática si fuera necesario, que permita un valor óptimo del sistema de medida que sea deseable. (Hiller, y Lieberaman, 1988, pp. 17-18).

Como la aplicación de un estudio de investigación de operaciones es muy amplia y abarca diferentes campos, rubros o departamentos de una organización, este estudio se lleva a cabo por un equipo de trabajo. Generalmente, este equipo es formado por administradores, matemáticos, personas del área del problema que se tiene, e inclusive, puede contar con psicólogos y especialistas en comportamientos. Esta diversidad permite

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considerar diferentes puntos de vista, obteniendo así una defición más clara de lo que se está analizando.

Fases de una investigación de operaciones Un estudio de investigación de operaciones es un proceso, por lo tanto sigue una serie de fases o etapas. 1) 2) 3) 4) 5)

Definición del problema. Contrucción del modelo. Solución del modelo. Validación del modelo. Implementación de la solución.

Definición del problema Es la fase en la que se determinan el problema y su alcance. Es una tarea que involucra todo el equipo de una IO. Como fin de esta etapa, debe quedar definido lo siguiente.  Descripción de las alternativas del problema (alternativas de decisión). Es decir, cuáles son las opciones que tenemos para tomar la decisión. Ejemplos de estas alternativas son: producir o no un determinado producto, cantidad a producir, brindar o no un servicio, como modificar un determinado proceso, etcétera. (Taha, 2004).  Objetivo del estudio. Es decir, cuál sería el criterio para la decisión. Por ejemplo, maximizar las utilidades, minimizar el tiempo de producción, minimizar el uso de recursos, etcétera.  Limitaciones o restricciones del problema. Se refiere a condiciones externas que lo limitan. Por ejemplo: o la cantidad de productos debe ser menor que la capacidad de producción; o el tiempo de producción no puede ser inferior o superior a una determinada cantidad de minutos u horas.

Construcción del modelo “Un modelo es una representación explícita y externa de parte de la realidad como la ven las personas que desean usar el modelo para entender, cambiar, gestionar y controlar dicha parte de la realidad” (Pidd, 1996, p. 12). O sea, un modelo permite representar de forma abstracta una situación real.

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En un estudio de investigación de operaciones, este modelo es, en la mayoría de los casos, matemático. Esta tarea es llevada a cabo, generalmente, por matemáticos o especialistas en campos afines. Es una etapa clave y difícil del proceso de IO. Implica creatividad y poder de abstracción para poder tranformar las informaciones del problema en variables y relaciones entre ellas. En muchos casos, se puede obtener una función o fórmula cerrada, lo que “facilita” la fase de solución del modelo. Alternativamente, pueden ocurrir relaciones matemáticas complejas entre las variables que impiden una fórmula cerrada y dan lugar al uso de simulaciones.

Solución del modelo Es la otra etapa “matemática” de una IO. Se buscan las soluciones analíticas del modelo matemático construido. Una solución se dice viable o factible si satisface todas las restricciones del problema y se dice óptima si es viable y además es la mejor (en términos del objetivo de estudio) (Taha, 2004).

Validación del modelo Se comprueba si las soluciones obtenidas del modelo se corresponden con la realidad. Se pretenden responder las siguientes preguntas.  ¿Tiene sentido la solución?  ¿Los resultados son razonablemente aceptables?  ¿Predice adecuadamente el comportamiento del sistema que se estudia? Un método que se utiliza para responder estas preguntas y comprobar la validez de un modelo es compar arlo con resultados históricos (caso de que los haya). Si los resultados son comparables, esto puede indicar que el modelo está bien. Si, por el contrario, las soluciones obtenidas no son razonables o no son las que se esperan, hay que, primero, revisar si el problema está bien definido, y luego, verificar que el modelo construido es el adecuado para el problema que tenemos. Generalmente, la etapa de solución del modelo no contiene errores, ya que son utilizados métodos computacionales.

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Implementación de la solución Una vez validada la solución del modelo, estas deben transformarse en sugerencias o instrucciones de operación. La decisión de la implementación o no de las recomendaciones está a cargo de la gerencia o de los responsables del área del problema inicial.

Clasificación de los modelos Los distintos modelos que podemos construir para la representación de una situación real, pueden clasificarse de varias maneras, de acuerdo con alguna característica particular. Para el desarrollo de este curso, una clasificación que nos interesa es la siguiente:  Normativos. Se denominan así aquellos modelos en los que es posible una formulación matemática concreta del problema, que, en su mayoría, se realiza a través de una función o fórmula con sus restricciones. Dentro de este grupo, están los modelos de optimización, como los de programación matemática, donde es posible encontrar una solución concreta del modelo. La dificultad en los modelos de optimización está en la construcción del modelo. Cuando la estructura del problema no se adecúa a un modelo de optimización, se utilizan métodos heurísticos para determinar las soluciones. (Marti, 2003).  Descriptivos. Los modelos descriptivos incluyen las técnicas de modelado que no poseen la definición de estructuras matemáticas que definen una solución como la deseable para ser implementada. Ejemplos de estos modelos son los de cola (línea de espera) y los modelos simulación. Dentro de los modelos normativos, tenemos también una división: determinista o estocástico.  Los modelos deterministas son aquellos en los que cada grupo de variables está determinado por los parámetros del modelo y por los estados anteriores. Para un conjunto de parámetros de entrada, un modelo determinista se comporta siempre igual.  Los modelos estocásticos son aquellos en los que las variables de estado se muestran por distribuciones de probabilidad, y ante esto, el modelo incluye aleatoriedad o incertidumbre.

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No siempre es necesario un modelo matemático Existen algunas situaciones o problemas que se presentan en una organización en la que no es necesario la contrucción de un modelo matemático para poder resolverlo. Después de la correcta definición del problema, no se debe pasar inmediatamente a la construcción del modelo matemático del mismo. Primero, se debe analizar detalladamente e intentar algunos métodos más sencillos para la resolución, como promedios, histogramas, etcétera. En algunos casos, podrá encontrarse una solución de sentido común a la que llegaremos a través del análisis detallado de la situación. Como el factor humano tiene mucho peso, tanto en el problema como en su solución, algunos estudios psicológicos (como el comportamiento) pueden resolver la situación. Veamos ejemplos donde no es necesario un modelo matemático.

1) Al atender quejas sobre un servicio lento de elevadores en un edificio de oficinas grandes, se percibió en un principio que la situación era un problema de línea de espera que podría requerir el uso de análisis matemáticos de colas o de simulación. Sin embargo, después de estudiar el comportamiento de las personas que se quejaban, el psicólogo del equipo de investigación de operaciones sugirió instalar espejos de cuerpo entero en la entrada de los elevadores. Casi por milagro desaparecieron las quejas, porque se mantuvo ocupada a la gente examinándose a sí misma y a los demás mientras esperaban al elevador.

1) Antes de embarcarse en un modelado matemático complicado, el equipo de investigación de operaciones debe aplazar la posibilidad de usar ideas “agresivas” para revolver la situación. La solución del problema del elevador con la instalación de espejos tiene más base en el estudio del comportamiento humano que en el modelado matemático. También es más sencillo y menos costoso que cualquier otra recomendación que se pudiera haber obtenido con un modelo matemático. En un estudio del registro en las instalaciones en un gran aeropuerto inglés, un equipo de consultores de Estados Unidos y Canadá aplicó la teoría de colas para investigar y analizar la situación de check-in de pasajeros próximos a la salida de sus vuelos. Parte de la solución fue usar letreros bien ubicados,

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anunciando que si la salida de los pasajeros fuera en los próximos 20 minutos, pasaran a la cabeza de la fila y pidieran servicio de inmediato. La solución no tuvo éxito porque los pasajeros, al ser ingleses en su mayoría, estaban “condicionados a un comportamiento muy estricto en las filas” y en consecuencia se rehusaban a pasar frente a otros que esperaban en la fila. Las soluciones tienen su base en las personas y no en la tecnología. Toda solución que no tenga en cuenta al comportamiento humano probablemente fallará. Aun cuando la solución matemática del problema del aeropuerto británico pudiera haber sido razonable, el hecho de que el equipo de consultores no percibió las diferencias culturales entre Estados Unidos e Inglaterra (los estadounidenses y canadienses tienden a ser menos formales) produjo una recomendación ineficaz. (Taha, 2004, pp. 7-8)

Programación matemática En un estudio de investigación de operaciones, luego de definir el problema, entramos en la etapa de construcción del modelo, es decir, una representación abstracta de una situación real. Muchos de estos modelos son normativos, o sea, es posible definir relaciones matemáticas concretas entre las variables y las restricciones del problema. Los modelos de programación matemática representan estas relaciones mediante funciones. El término programación se refiere al planeamiento de actividades para obtener la solución óptima del modelo matemático entre todas las alternativas posibles (Arsham, 2011). Dentro de los modelos de programación matemática podemos clasificar estos en lineales y no lineales. Los modelos de programación lineal son aquellos en los cuales las relaciones matemáticas entres las variables y las restricciones del problema pueden expresarse linealmente (Arsham, 2011).

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Programación lineal El desarrollo de la teoría y de las técnicas de programación lineal fue uno de los grandes avances científicos de mediados del siglo pasado. Los modelos lineales son unos de los más utilizados a la hora de modelar una situación real, por lo que se han convertido en el estándar para muchos de los problemas que enfrentan las organizaciones. El motivo principal para la elección de este modelo es su simplicidad a la hora de encontrar soluciones al problema. Un modelo lineal “compatible” (que las restricciones no generen un conjunto vacío) siempre tiene solución, por lo que es posible hallar la solución óptima del problema. Otro motivo por el cual el modelo lineal es muy utilizado es que muchos modelos no lineales pueden “linealizarse”, es decir, aproximar las relaciones entre las variables y las restricciones del problema por funciones lineales.

Forma estándar de un modelo de programación lineal Como las relaciones entre las variables son lineales, la función objetivo queda determinada por: 𝑍 = 𝑐1 𝑥1 + 𝑐2 𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑥𝑛 , donde los 𝑥𝑖′ 𝑠 son las variables, y los 𝑐𝑖′ 𝑠 son los coeficientes del modelo. Como las restricciones también se relacionan de forma lineal, son expresadas como: 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏1 ; 𝑎21𝑥1 + 𝑎 22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 ≤ 𝑏2 ; ⋮ 𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 ≤ 𝑏𝑚 ; y, además, tenemos la condición de no negativad de las variables 𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0, … , 𝑥𝑛 ≥ 0. Observación: si bien, en la expresión general de un modelo lineal las restricciones están expresadas con la desigualdad “≤”, puede suceder también la condición de mayor o igual (≥) o de igualdad (=). El motivo de usar el signo “≤” es por consistencia y simplificación de la notación.

Método gráfico de resolución de un modelo lineal El modelo lineal más sencillo es el que tiene una variable, 𝑍 = 𝑐𝑥 , cuya solución es facilmente encontrada.

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Cuando el modelo lineal que representa la situación real tiene dos variables, el método gráfico es una de las técnicas más usadas para resolverlo. Mediante un ejemplo (este problema es adaptado de Hillier F., Hillier M., 2008, p.18.) veremos cómo se aplica este herramienta. La empresa MS se dedica a la producción de muebles en general. Debido a la baja en las ventas de algunos de sus productos, la gerencia decide modificar la línea de productos. Se dejarán de producir aquellos que no son rentables, lo que permitirá liberar capacidad de producción para 2 muebles que continúan con demanda alta: mesas de madera y mesas de vidrio con pies de alumnio. La empresa tiene 3 plantas, en las cuales se realizan diferentes etapas del proceso de producción:  La planta 1 produce los pies y la base de las mesas de madera.  La planta 2 produce el vidrio.  La planta 3 produce los pies de aluminio para las mesas de vidrio y realiza el montaje de las mesas. La gerencia debe decidir ahora cuál sería la mezcla de los productos, o sea, cuántas mesas de cada tipo debería producir de modo de maximizar las ganancias. El primer paso del equipo de investigación de operaciones es juntar todas las informaciones necesarias, como capacidad de producción de cada planta, cuánta capacidad se necesita para cada mesa y cuál es la rentabildad de cada producto. Lo obtenido por el equipo fue lo siguiente. Tabla 1: Datos para el problema de mezcla de productos de MS Tiempo de producción Plantas

Mesa de madera

Mesa de vidrio

Horas disponibles

1

1 hora

0 horas

4

2

0 horas

2 horas

12

3

3 horas

2 horas

18

Ganancia

US$ 3

US$ 5

Fuente: elaboración propia.

En este caso, la decisión se toma sobre la tasa de producción semanal para cada tipo de mesa. Denotamos con 𝑥1 la tasa por hora de producción de mesas de madera y con 𝑥2 la tasa por hora de producción de mesas de vidrio, las ganancias por hora están determinadas por 𝑍 = 3𝑥1 + 5𝑥2 .

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El objetivo es maximizar esta función, o sea, encontrar los valores de 𝑥1 y de 𝑥2 que produzcan la mayor rentabilidad posible. De acuerdo con los datos recolectados, tenemos algunas limitaciones: 𝑥1 ≤ 4; 2𝑥2 ≤ 12; 3𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 18; y 𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0. (condición de no negatividad de las variables). El método gráfico consiste de dos pasos: 2) determinar el espacio de soluciones definido por las restricciones del problema; espacio factible de soluciones. 3) determinar la solución óptima dentro de este espacio factible. Gráficamente, las limitaciones determinan la siguiente región del plano (𝑥1 , 𝑥2 ). Figura 1: Espacio de soluciones1

Fuente: Elaboración propia.

Una vez encontrado el espacio de soluciones, pasamos a buscar la solución óptima del modelo. Para ello vamos a utilizar la función que queremos maximar: 𝑍 = 3𝑥1 + 5𝑥2 . Debemos determinar la dirección en la que crece esta función, y para ello damos valores arbitrarios y crecientes a 𝑍. Por ejemplo, si 𝑍 = 10 o 𝑍 = 20 , las ecuaciones correspondientes son, 1

El área sombreada representa el espacio de soluciones.

10

respectivamente, 10 = 3𝑥1 + 5𝑥2 y 20 = 3𝑥1 + 5𝑥2 representaciones gráfica se muestran en la Figura 2.

,

cuyas

Figura 2: Gráfico de rectas para algunos valores de 𝒁2

El punto (2,6) corresponde con la solución óptima del problema. Fuente: Elaboración propia

Notemos que, para estos valores de 𝑍, hay infinitas alternativas posibles de solución: son todos los puntos de las rectas que están dentro del espacio de soluciones. Entonces, ¿cómo determinamos la solución óptima? Consideramos los puntos críticos del modelo, que son vértices del espacio de soluciones, que en este caso son: (0, 0), (4, 0), (2, 6) y (0, 6). Luego reemplazamos estos pares en la función 𝑍 = 3𝑥1 + 5𝑥2 . La solución óptima será aquel par que proporciona el mayor valor de 𝑍. Reemplazando los valores, tenemos: 𝑍 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑟 (0, 0); 𝑍 = 12 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑟 (4, 0); 𝑍 = 36 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑟 (2, 6); 𝑍 = 30 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑟 (0, 6). Por lo tanto, la solución óptima de este modelo de programación lineal es (2, 6), lo que significa que se debe producir la mesa de madera a una tasa de dos por hora, mientras que la tasa de producción de la mesa de vidrio tiene que ser de 6 por hora.

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El punto (2, 6) corresponde con la solución óptima del problema.

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Referencias Hillier, F., y Hillier, M. (2008) Métodos Cuantitativos para administración. México: McGraw-Hill. Hillier, F., y Lieberman, G. (1998). Introdução à pesquisa operacional. Brasil: Campus. Marti, R. (2003). Procedimientos metaheurísticos en optimización combinatorial. Metaheuristics. Universitat de València. Pidd, M. (1996). Tools for thinking: Modelling in Management Science. Inglaterra: John Wiley & Sons. Taha, H. (2004). Investigación de operaciones. México: Pearson Educación.

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