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Propiedades de las operaciones

Matemática

Propiedades de las operaciones Propiedades de la suma y el producto Tabla 1: Propiedades de la suma y el producto Conmutativa a+b=b+a

Conmutativa a.b=b.a

Asociativa a+(b+c)=(a+b)+c

Asociativa a.(b.c)= (a.b).c

El 0 es el elemento neutro de la suma

El 1 es el elemento neutro del producto a.1= a

a+0 = a Cada real tiene su opuesto a+(-a)=0

Cada real no nulo tiene su inverso 1 1 𝑎. = 1 𝑎 −1 = 𝑎 𝑎

Texto tabla distributiva de la suma con respecto al producto a.(b+c)= ab+ac Fuente: Elaboración propia.

Propiedades de la potenciación y de la radicación Tabla 2: Propiedades de la potenciación y de la radicación

Distributiva respecto a la multiplicación (𝑎. 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 . 𝑏𝑛 Distributiva respecto a la división 𝑎 𝑛 𝑎𝑛 ( ) = 𝑛 𝑏 𝑏 Potencia de otra potencia (𝑎𝑛 )𝑛 = 𝑎 𝑛.𝑚

Distributiva respecto a la multiplicación 𝑛 𝑛 √𝑎. 𝑏 = √ 𝑎 . √𝑛

𝑛

Distributiva respecto a la división 𝑎 √𝑎 √ = 𝑛 𝑏 √𝑏

𝑛

𝑛

Raíz de otra raíz 𝒏 𝒏

√ √𝒂 =

√𝒂

𝒏.𝒎

Fuente: Elaboración propia.

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Ejemplos Veamos ahora algunos ejemplos de todas estas operaciones.

Para suprimir un paréntesis, llave o corchete, debemos tener en cuenta el signo que lo precede. Si el signo es “+”, puedo suprimir el paréntesis (llave o corchete) sin que se modifiquen los signos de los números encerrados en ellos. Si el signo es “–“, puedo suprimir el paréntesis (llave o corchete) escribiendo el opuesto de los números encerrados en ellos.

 Uso de paréntesis, corchetes y llaves. 1) Ejercicio: Halla el valor de -3-{2+[5-(3-1)]-1}+4= Resolución: Primero se resuelve el paréntesis: -3-{2+[5-(2)]-1}+4 Luego se resuelve el corchete: -3-{2+[3]-1}+4 Ahora se resuelven las llaves: -3-{4}+4 -4 y +4 se cancelan por ser opuestos. El resultado es -3.

2) Ejercicio: Simplifica a la mínima expresión: -3-{a+[5-(3-a)]-2a}+4 Resolución: Primeros suprimimos el paréntesis: -3-{a+[5-3+a]-2a}+4 Luego suprimimos el corchete: -3-{a+5-3+a-2a}+4 Por último, suprimimos las llaves: -3-a-5+3-a+2a + 4 Ahora sumamos términos “semejantes” (los números con los números y las “a” con las “a”):

3

-3-5+3+4-a-a+2a=-8+7-2a+2a El resultado es -1 Nota: soluciona el primer ejemplo suprimiendo paréntesis en vez de resolverlos, y revisa si obtuviste el mismo resultado.

 Suma de fracciones o Igual denominador Para sumar fracciones con igual denominador, sólo se suman los numeradores y se conserva el mismo denominador.

o Distintos denominadores

Para sumar fracciones con distintos denominadores debemos transformar dichas fracciones en fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador común. Por ejemplo, si tenemos:

3

1

debemos buscar fracciones equivalentes a y a 2 que tengan igual 5 denominador. En este caso, si buscamos el mínimo común múltiplo entre 5 y 2, podemos transformar ambas fracciones en fracciones equivalentes con denominador 10.

 Producto y división Para el producto y cociente tendremos en cuenta la siguiente regla de los signos: o El producto o cociente entre dos números positivos o dos

negativos es un número positivo. Ejemplos: 3.2= 6 y (-2).(-4)= 8.

4

o El producto o cociente entre un número positivo y uno negativo es

un número negativo. Ejemplo: (-2). 4= -8. El producto entre fracciones es una fracción que se obtiene multiplicando sus numeradores y denominadores. Ejemplo:

Al cociente entre fracciones podemos expresarlo como un producto donde se invierte la segunda fracción. Ejemplo:

Producto de los extremos por el producto de los medios.

 Exponentes negativos y racionales Recordemos algunas reglas de la potenciación con exponentes negativos o racionales.

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Fuente: elaboración propia.

Ejemplos

Problema:

Tenemos muchas maneras de resolver esto; una que nos simplifica las cuentas (y evitamos el uso de calculadoras) es utilizar propiedades de la potencia. o Reescribamos de manera distinta: (1/2)= 2-1 y 16=24

6

o Usando la propiedad (an)m= an.m y que a-1= 1/a

o Usando nuevamente la propiedad (an)m= an.m

o Seguimos aplicando propiedades:

¡Realmente son útiles las propiedades!

o Utilizamos la potencia fraccionaria:

a1/2= √𝑎

El resultado nos da 8, por ende no es irracional.

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Referencias Cugno, H. (2009). Curso de nivelación de Matemática . Universidad Empresarial Siglo 21.

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