1-MA 250 preliminares y Axioma extremo superior PDF

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Capítulo 1 El campo ordenado de los números reales 1 Axiomas de campo En el curso anterior se consolidó el conocimiento previo de los números reales como un campo totalmente ordenado. Es decir, disponemos de un conjunto R dotado de dos operaciones internas, llamadas suma y producto, que cumplen una ...

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Capítulo 1

El campo ordenado de los números reales

1.1

Axiomas de campo

En el curso anterior se consolidó el conocimiento previo de los números reales como un campo totalmente ordenado. Es decir, disponemos de un conjunto

R dotado de dos operaciones in-

ternas, llamadas suma y producto, que cumplen una serie de propiedades básicas llamadas axiomas de campo, a saber: La cerradura, la conmutatividad, la asociatividad, la existencia de neutros para ambas operaciones, y la existencia de inversos. Las operaciones interactúan mediante la propiedad de distributividad del producto con respecto a la suma. La relación de orden también está relacionada con estas operaciones mediante las propiedades de compatibilidad, es decir, una desigualdad lados (

a

+c



b

a



b

se mantiene al sumar una misma cantidad a ambos

+ c ) y al multiplicar a ambos lados por un número real positivo.

Lo interesante de un sistema axiomático es el poder demostrar, a partir de ese pequeño grupo de propiedades elementales, todas las propiedades que el lector conocía previamente de su manejo intuitivo de este cuerpo algebraico. Un primer paso en esta dirección es la demostración del hecho, no asumido en forma explícita, que los elementos neutros de las operaciones son únicos. Por ejemplo, asumiendo que se dispone de dos neutros para la suma, digamos 0 y 00 , se tendrá 00

=

0 + 00

=

0

(por ser 0 un neutro) (por ser 00 un neutro).

Otra propiedad interesante que no es asumida como axioma, pero que se deduce casi de manera inmediata, es la ley de cancelación de la suma. En efecto, si se tiene

a

+c =

b

+ c se

sigue que

 ) = ( + ) + ( ) = De manera similar se demuestra que si = 6 0, de la igualdad a

= (a + c ) + (

c

b

c

c

c

b

+0=

ac

=

bc

b:

se deduce

a

=

b:

Esto se

deja como un ejercicio de calentamiento. El paso siguiente que se sugiere de manera natural, 1

2

S. Cambronero

es la base de la resolución de ecuaciones lineales. En efecto, si se tiene =

x

x

+a+(



a)

Dicho de otra forma, la solución de la ecuación que usualmente se denota

=

x

b



a:

=

+(

b

x+a



+a =

x

se sigue que

b

a) :

= b, con

y

a

b

conocidos, es

x

=

b+(



a) ;

Un corolario casi inmediato, que dejaremos como ejercicio,

es la unicidd del inverso aditivo de un número real. De manera similar se procede con la ecuación 1.1.1

ax

=

b;

de acuerdo con el primer ejercicio de la lista siguiente.

Ejercicios

1. Sean

2R

a; b

, con

a

6

= 0: Entonces existe un único número real

particular, el recíproco de

a

2. Demuestre que para cada

a

3. Demuestre que para cada

a

es único.

2R  6

 

se tiene

(

(a + b ) = (



= 0 se tiene (ab)

1

a)

a)

=

+(

5. Sean

a

y

b

 1 1 = 1 1

=

a

b

a; b

2R

y

b

el cociente de

a

a



b



b)

=



(ab);

por

6 6

=0=

a

d

a

b

a; b



a)b

b

=

6



=

a

y

Además, si

a:

2R

a

2R

con

b



c d

=

ac bd

_

b

(ab);

6

= 0; demuestre que a b

=0

a b

,

b:

En

entonces

a

6 6

=0=

b

entonces

= 0:

(

= 1 para

;

2R

=

se tiene

  a)(

= 0: El número

a

a; b

ay

= 0:

=0

a

a

tal que

b) :

ab

b)

1

a

6

+

a

c d

=

= 0:

= 0:

ad

+ cb

bd

=

ab:

se denota

demuestre que a

(c) Para



:

Además, si

b:

1 b

(

,

son números reales con

(a) Demuestre que

(b) Si

=0

. Demuestre que a(

7. Considere

0=0

dos números reales. Demuestre que a

6. Sean





a

4. (El cero es absorvente) Demuestre que para cada a

a:

y

:

a b

y se llamará

3

S. Cambronero

1.2

El orden

Los axiomas de orden consisten en asumir la existencia de un conjunto

P

se llaman positivos, de manera que:

R

, cuyos elementos

1. La suma de dos números positivos en un número positivo 2. El producto de dos números positivos es positivo 3. Si un número Al conjunto

P

a

[f g 0

6

= 0 no es positivo, entonces

lo denotaremos por

es negativo. Luego se escribe

a



b

R+



a

Si un número no es positivo ni cero, se dice que

 2R   2

cuando

:

lo es. Además, 0 no es positivo

b

a

+

y

a < b

cuando

b

 2 a

P:

A partir de aquí, se demuestran todas las leyes que rigen el comportamiento de las desigualdades. Por ejemplo, si

a

2R

, entonces

ambos fueran positivos, se tendría 0 = segundo hecho relevante es que 1 a



b

1.2.1

también se escribe



b

a:

>

a

y

a

no pueden ser ambos positivos. En efecto, si

a+a

P;

lo cual contradice uno de los axiomas. Un

0; lo cual se deja como ejercicio. Finalmente, la relación

Similarmente,

a < b

se escribe también

b > a:

Ejercicios

1. Demuestre que (a 2. Demuetre que la relación



 ^  ) 0

0)

b

a

+b

a

 , b

a

+c

a; b; c



b

4. (Compatibilidad del orden con el producto) Para





(a) Si

a

b

y

c >

0; entonces

ac

(b) Si

a < b

y

c >

0; entonces

ac < bc:

5. (Ley de signos) Sean

a; b; c

2R

bc

. Demuestre que:

(a) Si

a >

0 y

b <

0; se tiene

ab <

0:

(b) Si

a <

0 y

b <

0, se tiene

ab >

0

6. Demuestre que si 7. Sean (a)

a; b; c

a >

0

2R )



b

y

c <

0; entonces

. Demuestre que:

1

a

a

>

0

bc



0:

en

R.

Entonces

en

R demuestre que:

R.

es de orden total en

3. (Compatibilidad del orden con la suma) Sean



ac

+ c: a; b; c

4

S. Cambronero

(b)

a > b >

(c)

a

(d)

a >

2

(e) 0 8. Si

1.3 Sean

0

 )

+ b2 1

y

1

1 b

>

1 a

2ab 2

a

< a <

a < b

)

> a

)

c > d;

2

a > a :

demuestre que



a



c < b

d:

Intervalos y valor absoluto a

y

b

números reales tales que

números reales comprendidos entre

Denotamos por ]a; b[ al conjunto de todos los

a < b:

a

y

Es decir

b:

f 2R

]a; b[ =

x

:

a < x < b

Dicho conjunto se llama intervalo abierto con extremos :

x

se llama intervalo cerrado de extremos

a

]a; b] =

y

a

x

:

a < x

[a; +

[=

con

I;

Simbólicamente: (

; a]

; a[

Ejemplo 1.3.1 El conjunto A

[2; 5]

no es subconjunto de A:

Ejemplo 1.3.2

x



8 2 x; y

x

:

b

x < b

b

=

=

f 2R g f 2R  g f 2R  g f 2R g R x

:

x > a

x

:

x

a

x

:

x

a

:

x

De manera uni…cada, decimos que un conjunto

2

a

x

[=

]

x; y

Análogamente,

Finalmente, se tienen los intervalos no acotados de la

1 1 1 1

para cada

b:

mientras

b;

]a; +

]

y

f 2R  g f 2R g

[a; b[ =

forma:

a

:

f 2R   g

[a; b] =

se llaman intervalos semiabiertos.

g

y;

:

es un intervalo si cumple:

I

el intervalo [x; y ] está contenido en

 ) [f g

I ) (x

= [2; 3[

x < a

5

y

[x; y]



I) :

no es un intervalo, ya que

R no es un intervalo, pues [1

I:

2

; 1] no es subconjunto de

2 R

A;

:

5

2

A; pero

S. Cambronero

5

=

Ejemplo 1.3.3 El conjunto A sigue que a >

0

2

y a

>

2:



2R

x

+ :

2

 

2

[a; b]

A: Esto demuestra que

i

intervalo como

pero no queremos hablar de



2

Luego, para cada x x

así que x

x

p

A

2

=

2

2

a

jj x

Equivalentemente,

jj x

jj x

[a; b] >

sí es intervalo. En efecto, si a; b

2

A se

se tiene

2

p 1h 2;

por ahora.

x: Es decir

Geométricamente,



A: El lector posiblemente ha identi…cado este

El valor absoluto de un número real x se denota x y

2

>

j j

x ; y se de…ne como el mayor de los números

= max (x;

 =

jj 



x

x) :

si x

x



0 0:

si x <

es la distancia del origen al punto representado por x en la recta

numérica. Similarmente,

x

y

es la distancia entre los puntos representados por x e y; en

la recta numérica. Observe que una consecuencia inmediata de la de…nición es el hecho que

j j j j, x

=

y

(x =

y

ó

x

 j j j j

=

De la de…nición se desprende de manera inmediata que x

x

j j  j j x ;

x

y)

=

x : Además, es claro que

x :

En efecto, recuerde que el valor absoluto es el mayor de las dos números x y

1.3.1

Ejercicios

1. Para todo número real x demuestre que

j j   j j x

2. Si a



0

y x

2R

2R

x :

demuestre que

j j ,   x

3. Para a; b

x

a

a

x

a

demuestre que

2

a

< b

2

,j j j j

a < b ;

2

a

 ,j jj j b

2

a

b :

4. Demuestre que para cualesquiera números reales x e y se tiene



x.

6

S. Cambronero

(a) (b)

jj , j j j jj j =0

x

xy

x

=

x

=0

y

5. Demuestre que para

a; b

2R

j

se tiene

+b

a

el nombre de desigualdad triangular.

jj j j j +

a

Este resultado se conoce con

b :

Se puede demostrar por casos, o siguiendo el

siguiente argumento: (a + b )

2

=



3+x x

7

<



2 + 4x + 3

1 x x x

+



1

1 1

+1

 >

x

>

3 0

0

a

(



x

2

x

2



<

4

(x + 1)

0

+2

2

a

a

+b

b

+2

a

+

)

b

+

b

2

2

b

2

:

que satisfacen cada una de las siguientes inecuaciones:

x



2

2

j jj j j j j jj j j j jj jj

=

2

+ 2ab + b

a

=

6. Halle todos los números reales

2

a

(x



3

 

x

x

2

 

2

9

4

0

>

<

0

1) (x + 3) (2x + 3)

>

0:

7. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones e inecuaciones:

jj j j j j jj j  jj j x

j j j j j

2 =5

x

x

+1

x

+1 +

x

2

>

1

x

1

x

+1

<

1

<

3

2

x

x

x

1

>

3

2

+ 3x + 2

2

+ 3x + 2

2

+ 3x + 2

j j j

>

0

>

1 1 : 4

8. Se de…ne max (a; b) como el mayor de los números

 max (a; b) =

a

y



b:

a

si

a

b

si

a < b:

En otras palabras,

b;

Similarmente se de…ne min (a; b) : Demuestre que max (a; b) =

1.4

Una copia de

Hasta el momento

a

+b+ 2

jj a

b

;

min (a; b) =

a

+b

j  j a

2

b

:

Q

R es simplemente un campo ordenado, es decir que en principio no hay

diferencia con el campo de los racionales que conocemos. De hecho, se puede demostrar que

R contiene una copia de Q, como procedemos a explicar.

7

S. Cambronero

Primero se puede de…nir una copia del conjunto subconjunto inductivo de

(a)

02

(b)

x

R. Un conjunto

A

R

N de los números naturales como el menor

se llama inductivo si satisface las propiedades

A

2 ) A

x

Así por ejemplo

+12

A:

R mismo es inductivo, y R+ también es inductivo.

El intervalo

inductivo al no satisfacer la propiedad (a). Por otro lado, el conjunto pues no satisface la propiedad (b). Podemos ahora considerar la familia

I

;

N= Como que

x

0 pertenece a cada

2

\

A2I

A

2I

A

=f

x

es cierto para cada

...