1 Proposiciones - Resumen Lógica Matemática PDF

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Clase de Proposiciones de Logica Matematica o Matematica 2....

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Matemática II Prof. MSc. Viviana Díaz Escobar

Lic. en Ciencias Informáticas FP - UNA

Simbolización de proposiciones Para elaborar el concepto de proposición, haremos algunas consideraciones, haciendo referencia a la “clasificación de las oraciones según la actitud del hablante”. a) Oración Enunciativa Afirmativa: es la que expresa una afirmación. La actitud del hablante es afirmativa. Ejemplo: La Tierra tiene dos movimientos. b) Oración Enunciativa Negativa: la actitud del hablante es negativa, expresa negación. Ejemplo: Un triángulo no es un polígono. c) Oración Interrogativa: expresan interrogación. Ejemplo: ¿Dónde vives?

pregunta,

la

actitud

del

hablante

es

de

d) Oración Exclamativa o Admirativa: expresan admiración. Ejemplo: ¡Qué hermoso collage! e) Oración Exhortativa o Imperativa: son las que expresan ruego, orden o mandato. Ejemplo: Pásame el disco. f) Oración Dubitativa: expresan duda, hesitación. Ejemplo: Quizás sea perenne el helecho. g) Oración Desiderativa: son las que expresan deseo. Ejemplo: Ojalá puedas viajar a los EE.UU. Si consideramos las oraciones enunciativas afirmativas y negativas, notamos que de ellas podemos emitir un juicio que puede ser falso o verdadero. La oración “La Tierra tiene dos movimientos” es una proposición, y esa proposición además es verdadera. El ejemplo “Un triángulo no es un polígono” también es una proposición, y en este caso, la proposición es falsa. Los demás ejemplos no expresan ningún juicio del que podamos decir si es falso o verdadero; en consecuencia, no son proposiciones.

Proposiciones Una proposición se define como todo enunciado que expresa un juicio que puede ser verdadero o falso. En general, no son proposiciones, los enunciados que expresan ruego, orden, mandato, duda, deseo, exclamación, las preguntas y frases que no expresen algo sobre lo que se pueda decir si es cierto o falso. Cada proposición tiene una forma lógica a la que se le dará un nombre. En Lógica, se consideran dos clases de proposiciones, las proposiciones atómicas y las proposiciones moleculares.

Matemática II Prof. MSc. Viviana Díaz Escobar

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Proposiciones atómicas Son las proposiciones de forma más simple, o más básicas. Son las proposiciones que no pueden ser reducidas a otras más sencillas. Una proposición atómica es una proposición completa sin términos de enlace. Ejemplos Los delincuentes cometen malas acciones. Italia está situada en el continente americano. El río Paraná es muy caudaloso. Los números enteros positivos son menores que el cero. Las proposiciones atómicas pueden ser: - Proposiciones verdaderas: enuncian hechos indiscutibles. Ejemplos: a) Don Carlos Antonio López fue el primer presidente constitucional del Paraguay b) 8 es menor que 10 - Proposiciones falsas: están en contradicción con hechos indiscutibles. Ejemplos: a) Viena es la capital de Suiza b) 7 es mayor que 15 - Proposiciones abiertas: contienen un pronombre o una variable y depende de qué es lo que sustituye al pronombre o variable para su verdad o falsedad. Ejemplos: a) Él es ingeniero b) x es menor que 8 Una de las exigencias será que todas las proposiciones atómicas usadas pueden clasificarse como falsas o verdaderas para todo reemplazo de variables o pronombres, si es que los hay, o sea, se debe especificar qué nombres pueden usarse para sustituir estos pronombres o variables. No debe contener términos no apropiados. Por ejemplo “El Presidente Kennedy” no puede ser reemplazado en la proposición “x>9”. El conjunto de nombres se llama conjunto de reemplazamientos. El subconjunto del conjunto, que hace cierta una proposición se llama conjunto de verdad de la proposición. En el siguiente ejemplo: “x>8”, el conjunto de reemplazamiento podría ser el conjunto de números enteros, y en tal caso, el conjunto de verdad sería {9, 10, 11, 12,...}.

Proposiciones moleculares Son las proposiciones que contienen términos de enlace o conectivos lógicos, y pueden ser reducidas a proposiciones más sencillas. Las proposiciones moleculares se forman a partir de proposiciones atómicas, utilizando términos de enlace. Ejemplo: La Tierra gira alrededor del Sol y tiene dos movimientos Esta proposición molecular se ha construido con dos proposiciones atómicas y el término de enlace “y”. El término de enlace “y” no forma parte de ninguna de las proposiciones atómicas, se ha añadido a las proposiciones atómicas para construir una proposición molecular.

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Términos de enlace Los términos de enlace son palabras que enlazan proposiciones; forman proposiciones moleculares a partir de proposiciones atómicas. Los términos de enlace también son llamados conectivos lógicos, los más conocidos son: “y”, “o”, “no”, “si… entonces” y “si y solo si”. Cabe destacar que los términos de enlace: “y”, “o”, “si… entonces”, “si y sólo si” se usan para enlazar dos proposiciones atómicas, sin embargo el “no” se agrega a una sola proposición atómica para formar una molecular. Se puede decir que el término de enlace “no” cada vez actúa sobre una sola proposición atómica y que los otros términos de enlace actúan sobre dos proposiciones atómicas a la vez.  Negación Una negación se forma agregando el término de enlace “no” a una proposición. La negación de una proposición cierta es falsa y la negación de una proposición falsa es verdadera. La negación de una negación es una afirmación. Otras palabras que desempeñan el mismo papel que el “NO” son: “no ocurre que”, “es falso que”, “no es cierto que”, “no se da el caso que”, etc. Ejemplos: La península no es una extensión de tierra que penetra en el mar Es falso que los metales son aisladores de la electricidad No es cierto que, los hombres llegan al éxito o son famosos por casualidad  Conjunción Una conjunción se forma enlazando dos proposiciones P y Q mediante el término de enlace “y”. Otras palabras que desempeñan el mismo papel que “y” son: pero, aunque, sino, mas, sin embargo, no obstante, mientras, etc. Ejemplos: Una hora tiene sesenta minutos y un minuto equivale a sesenta segundos Muchos progresan solo con el trabajo, pero es importante también estudiar Siguen fabricando armas nucleares aunque sepan sus poderes destructivos Estudió bastante, sin embargo reprobó el examen

 Disyunción Una disyunción se forma uniendo dos proposiciones P y Q por medio del conectivo lógico “o”. Ejemplos: Juan nació en Asunción o nació en 1962 La proposición dada es atómica o es molecular María estudia las partes de una planta o las partes de una hoja Iré en ómnibus o en taxi

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 Condicional Una condicional es una proposición molecular formada utilizando el término de enlace “si… entonces…”, es decir, son proposiciones moleculares de la forma “Si P, entonces Q”. La proposición P es llamada antecedente, y Q es el consecuente de la condicional. También se pueden emplear otras palabras que expresan la misma idea o que desempeñan el mismo papel que el “si…entonces…”, como son: siempre que, en el caso que, toda vez que, puesto que, dado que, como que, mientras que, en tanto que, en consecuencia, por lo tanto, etc. Ejemplos: Si 7 es un número entero, entonces 7 es un número racional Se combatirá la corrupción, en el caso que no haya impunidad Mejorará el nivel de vida de la población, en el caso que los gobernantes sean honestos El tratamiento no será adecuado, siempre que no sea asistido por un especialista Toda vez que tengan éxito en los trabajos emprendidos o los realiza con voluntad de triunfo, las personas pueden autocalificarse de luchadoras

 Bicondicional Una bicondicional es una proposición molecular que se obtiene uniendo dos proposiciones mediante el término de enlace “si y sólo si”; y se presenta de la forma “P si y solo si Q”. La bicondicional de las proposiciones “P” y “Q” es equivalente a la proposición compuesta por estas dos condicionales: “Si P entonces Q”, y “Si Q entonces P”. Otras expresiones que desempeñan el mismo papel que el “si y solo si” son: “en el único caso que”, “si y solamente si”, “únicamente si”, “siempre que y solo si”, “siempre y cuando”, “…equivale a…”, etc. Ejemplos: El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos si y sólo si el triángulo es rectángulo Los jueces imparten justicia siempre y cuando cumplen la ley Tiene los cuatro lados iguales y los ángulos contiguos desiguales únicamente si es un rombo Es una persona de palabra si y sólo si cumple su promesa

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Ejercicios  De los enunciados siguientes, señalar cuáles son proposiciones y cuáles no. a. Los flamencos son aves b. ¡Hermosa juventud! c. El monto es igual al capital más el interés d. ¿Eran tres los mosqueteros? e. No ensucies la alfombra f. La circunferencia trigonométrica es la que tiene radio igual a la unidad g. Bucarest es la capital de Rumania h. Tal vez exponga mi tesis con soltura i. El cielo es rojo j. Profundas reflexiones de una mujer con experiencia k. Arriba y abajo, rico y pobre, negro y blanco l. La gimnasia matutina fortalece la salud m. Un personaje de la literatura universal  Señalar cada proposición atómica con P.A. y cada proposición molecular con P.M. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j.

Desapareció mi perro o lo escondieron ustedes Christian Barnard fue el primero que realizó un transplante de corazón humano Si , entonces El amigo de Juan no tiene razón Si la superficie de Paraguay es de 406.752 km 2 y la de Cuba 114.524 km 2, entonces el Paraguay es más extenso El continente americano fue descubierto en el siglo XV Un triángulo es escaleno si y sólo si sus tres lados son desiguales La comida será hoy a las 12 en punto y No me agradan los alumnos irresponsables

 Indicar los términos de enlace utilizados en cada una de las proposiciones moleculares siguientes y escribir sus nombres. a. 15 es múltiplo de 3 y 12 es múltiplo de 4 b. si y sólo si c. La música está suave o la puerta está cerrada d. Si Carlos tiene aptitud para las matemáticas, entonces podrá participar en las Olimpiadas e. No ocurre que 

Construir proposiciones moleculares a partir de los siguientes conjuntos de proposiciones atómicas, utilizando los términos de enlace adecuados.

a. Los termómetros son instrumentos que sirven para medir la temperatura Los pluviómetros miden la cantidad de lluvia caída b. Debemos tener un botiquín de primeros auxilios Nos veremos en apuros c. El Paraguay fue descubierto en 1525 d. El agua produce energía Esa energía se llama hidráulica e. ABC es un triángulo equiángulo ABC es un triángulo equilátero...