100 Ejercicios DE Matematicas I PDF

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100 EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS I GALOIS 1 ¿Cuál de los siguientes subconjuntos de R2 es un subespacio vectorial? a) {(0,1,0)} b) {(0,0)} c) {(1,1), (2,2)} La opción a) no puede ser cierta ya que el conjunto {(0,1,0)} no es un subconjunto de R2 al estar formado por un vector de 3 coordenada...

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100 EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS I GALOIS

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¿Cuál de los siguientes subconjuntos de R2 es un subespacio vectorial? a) {(0,1,0)} b) {(0,0)} c) {(1,1), (2,2)} La opción a) no puede ser cierta ya que el conjunto {(0,1,0)} no es un subconjunto de R2 al estar formado por un vector de 3 coordenadas. La opción c) no es cierta ya que si el conjunto {(1,1), (2,2)} fuese un subespacio vectorial entonces la suma de dos vectores del conjunto debería ser otro vector del conjunto. Esto no se cumple, ya que (1,1) + (2,2) = (3,3). El conjunto formado únicamente por el vector nulo (el que tiene todas sus coordenadas iguales a cero) siempre es un subespacio vectorial. Por ello la solución es la opción b). ¿Cuál de los siguientes subconjuntos de R3 es un subespacio vectorial? a) {(0,1,0)} b) {(0,0)} c) R3 La opción a) no puede ser cierta pues el único subespacio vectorial formado por un solo vector es el {(0,0,0)}. La opción b) tampoco es cierta pues el vector (0,0) tiene sólo dos coordenadas. No pertenece a R3. La opción c) sí es cierta. R3 es el espacio vectorial de referencia de este ejercicio, pero todo espacio vectorial es a su vez un subespacio vectorial. Solución: la opción c). ¿Cuál de los siguientes subconjuntos de R2 no es un subespacio vectorial? a) {(0,1)} b) {(0,0)} c) R2 La opción a) es cierta, ya que el único subespacio vectorial formado por un solo vector es el {(0,0)}. Por lo tanto el conjunto {(0,1)} no es un subespacio vectorial. La opción b) no es cierta, ya que, según lo dicho antes, {(0,0)} sí es un subespacio. 3

La opción c) tampoco es cierta, R2 es el espacio vectorial de referencia de este ejercicio, y todo espacio vectorial es a su vez un subespacio vectorial.

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¿Cuál de los siguientes vectores de R3 no pertenece al subespacio vectorial R(1,0,2)? a) (0,0,0) b) (2,1,3) c) (1/2,0,1)

El subespacio vectorial R(1,0,2) está formado por todos los vectores de R 3 que puedan obtenerse multiplicando un número real cualquiera por el vector (1,0,2). El vector (0,0,0) sí pertenece a R(1,0,2) ya que se puede obtener multiplicando el vector (1,0,2) por el número 0. El vector nulo siempre pertenece a cualquier subespacio vectorial. El vector (1/2,0,1) se puede obtener multiplicando (1,0,2) por el número ½, luego sí pertenece al subespacio R(1,0,2). ¿Y el vector (2,1,3)? ¿Habrá algún número real que multiplicado por (1,0,2) de cómo resultado (2,1,3)? Sí existiese ese número x, debería cumplir que: 2 = 1x; 1 = 0x; 3 = 2x. De la primera ecuación se deduce que x = 2. De la tercera, en cambio, que x = 3/2. De la segunda, aún peor, que dicho número no puede existir. Por lo tanto (2,1,3) no pertenece al subespacio R(1,0,2). La solución es la b).

¿Cuál de los siguientes vectores de R2 no pertenece al subespacio vectorial R(1,0)? a) (0,0) b) (2,0) c) (0,1) El subespacio vectorial R(1,0) está formado por todos los vectores de R2 que puedan obtenerse multiplicando un número real cualquiera por el vector (1,0). El vector (0,0) sí pertenece a R(1,0). El vector nulo siempre pertenece a cualquier subespacio vectorial.

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El vector (2,0) sí pertenece a R(1,0) ya que se puede obtener multiplicando el vector (1,0) por el número 2. El vector nulo siempre pertenece a cualquier subespacio vectorial. El vector (0,1) no pertenece a R(1,0). Si perteneciese debería existir un número real x que cumpliese que (0,1) = x(1,0). Es decir, deberían cumplirse las ecuaciones: 0 = 1x, 1 = 0x. De la primera obtendríamos que x valdría 0, pero la segunda no tiene solución. Por ello x no existe y (0,1) no pertenece a R(1,0). La solución es la opción c).

¿Cuál de los siguientes vectores de R3 R(1,0,1)?

pertenece al subespacio vectorial

a) (0,0,1) b) (2,0,-2) c) (-1,0,-1) El subespacio vectorial R(1,0,1) está formado por todos los vectores de R3 que puedan obtenerse multiplicando un número real cualquiera por el vector (1,0,1). El vector (0,0,1) no pertenece a R(1,0,1). Si perteneciese debería existir un número real x que cumpliese que: 0 = 1x; 0 = 0x; 1 = 1x. De la última ecuación se deduce que x = 1. De la primera, en cambio, que x = 0. Por ello x no existe. El vector (2,0,-2) no pertenece a R(1,0,1). Si perteneciese debería existir un número real x que cumpliese que: 2 = 1x; 0 = 0x; -2 = 1x. De la primera ecuación se deduce que x = 2. De la última, en cambio, que x = -2. Por ello x no existe. El vector (-1,0,-1) se puede obtener multiplicando (1,0,1) por el número -1, luego sí pertenece al subespacio R(1,0,2). La solución es la opción c).

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Considérese los subespacios vectoriales de R2 siguientes: F1 = {(x,y) de R2 / y = 0}, F2 = R(1,1). Se verifica: a) F1  F2, b) Son subespacios vectoriales independientes. c) F2  F1 E         

El subespacio vectorial F1 está formado por todos los vectores de R2 con la segunda coordenada igual a cero. El subespacio vectorial F2 está formado por todos los vectores de R2 con las dos coordenadas iguales. Por ejemplo, el vector (5,5) está en F2 ya que se obtiene de multiplicar el vector (1,1) por el número 5. La opción a) no es cierta ya que el vector (1,0) pertenece a F1 pero no a F2. Así que F1 no está incluido en F2. La opción c) no es cierta ya que el vector (1,1) pertenece a F 2 pero no a F1. Así que F2 no está incluido en F1. Dos subespacios son independientes si el único vector que tienen en común es el vector nulo. Para que un vector pertenezca a la vez a F1 y a F2 deberá tener la segunda coordenada igual a cero (por ser de F1) y las dos coordenadas iguales (por ser de F2). El único vector que cumple estas dos condiciones es el (0,0). Por lo tanto F 1 y F2 son independientes. La solución es la opción b).

F1 = {(x,y,z) de R3 / y = 0}, F2 = R(1,0,2). Se verifica: a) F1  F2, b) Son subespacios vectoriales independientes. c) F2  F1 El subespacio vectorial F1 está formado por todos los vectores de R3 con la segunda coordenada igual a cero. El subespacio vectorial F2 está formado por todos los vectores de R3 que pueden obtener multiplicando el vector (1,0,2) por un número real cualquiera. 7

Un vector de F2 será de la forma x(1,0,2), donde x es un número real. Multiplicando x por cada coordenada del vector resulta que un vector de F 2 será de la forma (x,0,2x). Tendrá la segunda coordenada igual a cero y, por lo tanto, pertenecerá a F1. Es decir, cada vector de F2 pertenece a F1, luego F2  F1. En cambio hay vectores de F1 que no pertenecen a F2. Por ejemplo, el vector (1,0,1) pertenece a F1 por tener la segunda coordenada igual a cero, pero no pertenece a F2 ya que no existe ningún número real x que cumpla que (1,0,1) = x(1,0,2). Los subespacios F1 y F2 no son independientes pues hay vectores, distintos del vector nulo, que pertenecen a la vez a ambos subespacios. Por ejemplo (1,0,2) pertenece a ambos. Solución: la opción c).

F1 = {(x,y) de R2 / x + y = 0}, F2 = R(1,1). Se verifica: a) F1  F2, b) Son subespacios vectoriales independientes. c) F2  F1 El subespacio vectorial F1 está formado por todos los vectores de R2 cuyas coordenadas suman cero. El subespacio vectorial F2 está formado por todos los vectores de R2 que pueden obtener multiplicando el vector (1,1) por un número real cualquiera. El vector (-1,1) pertenece a F1 porque sus dos coordenadas suman cero. No pertenece a F2 ya que no existe ningún número real x que cumpla que (-1,1) = x(1,1). Luego no es cierto que se cumpla F1  F2. El vector (1,1) pertenece a F2, pero no pertenece a F1 ya que 1+1=2. Por ello no se cumple que F2  F1. Un vector que pertenezca a la vez a ambos subespacios será de la forma (x,y), con x + y = 0 por pertenecer a F1, y además (x,y) = a(1,1), donde a es un número real, por pertenecer a F2. Es decir: x = a, y = a, luego x debe ser igual a y, por ser ambos iguales al número a. Eso significa que un vector que pertenezca a la vez a ambos subespacios debe tener las dos coordenadas iguales y, a la vez deben sumar cero. El único vector que cumple esto es el vector nulo.

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Por lo anterior es cierto que son subespacios independientes. La solución es la opción b).

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¿Cuál de las siguientes es una base de R2? a) {(1,3), (-2, -6)} b) {(1,0,1), (2,1,3)} c) {(2,2), (4,6)} Una base de R2 está constituida por dos vectores independientes. Dos vectores son independientes si no son uno múltiplo del otro. La opción b) está descartada pues los dos vectores pertenecen a R3, no a R2. Los vectores de la opción a) no son independientes pues (-2, -6) es igual al vector (1,3) multiplicado por el número -3. Los vectores de la opción c) sí son independientes ya que no existe un número x que cumpla que (4,6) = x(2,2). Solución: La opción c).

¿Cuál de las siguientes es una base de R3? a) {(1,3,0), (-2, -6,1)} b) {(1,0,1), (2,1,3),(-1,2,2)} c) {(-1,1,2), (4,-4,0),(3,-3,2)} Una base de R3 está constituida por tres vectores independientes. Por ello el conjunto del apartado a) no puede ser base de R 3 al tener sólo dos vectores. Para comprobar si tres vectores de R3 son independientes o no se calcula el determinante formado por ellos. Si ese determinante vale cero es que no son independientes. Si el determinante no vale cero sí son independientes. En el caso del apartado b): 1

0 1

2 1 3 = 2 + 4 + 1- 6 = 1. Como el determinante no vale cero los tres vectores 1 2 2

son independientes y forman una base de R3. En el caso del apartado c): 10

1 1 2 4  4 0 = 8 - 24 + 24- 8 = 0. Como el determinante vale cero los tres 3 3 2

vectores no son independientes y no forman una base de R3. Solución: el apartado b).

¿Cuál de las siguientes es una base de R3? a) {(1,3,0), (0,0,0),(1,2,2)} b) {(2,3,-1), (2,1,3),(4,4,2)} c) {(-1,0,2), (1,-4,0),(1,1,1)} Comprobamos en cada caso si los tres vectores son independientes hallando los respectivos determinantes: 1 3 0 0 0 0 = 0. El vector nulo nunca puede formar parte de una base. No son 1 2 2

independientes. 2 3 1 2 1 3 = 4  8 + 36 + 4  12  24 = 0. No son independientes. No son una 4 4 2

base. 1 0 2 1  4 0 = 4 + 2 + 8 = 14. Son tres vectores independientes luego forman una 1 1 1

base de R3. Solución: la opción c).

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¿Cuál de los siguientes conjuntos de vectores no genera R2? a) {(1,2)} b) {(1,0), (2,1)} c) {(2,2), (4,6), (1,1)} Un conjunto de generadores de R2 está constituido por al menos dos vectores. Además, de entre los vectores del conjunto deberá haber dos que sean independientes. Eso nos da como solución el conjunto de la opción a). Comprobemos las otras dos opciones. Los vectores de la opción b) son independientes pues el determinante formado con ellos no vale cero: 1 0 2 1

= 1. Por lo tanto el conjunto de la opción b) sí genera R2.

El conjunto de la opción c) generará R2 si de entre los tres vectores hay dos que son independientes. Probamos con los dos primeros vectores: 2 2 = 12  8 = 4. Por lo tanto el conjunto de la opción c) también genera R2. 4 6

Solución: la opción a).

¿Cuál de los siguientes conjuntos de vectores no genera R3? a) {(1,2,-1), (2,0,1), (1,1,1), (2,5,2)} b) {(1,0,3), (2,1,1), (-1,-1,-4)} c) {(2,2,0), (4,6,1), (-2,-4,-1)} Un conjunto de generadores de R3 está constituido por al menos tres vectores. Además, de entre los vectores del conjunto deberá haber tres que sean independientes. En el conjunto de la opción a), busquemos tres vectores independientes (para saber si lo son o no hallamos el valor del determinante):

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1 2 1 2 0 1 = 2  2  4 - 1 = - 5. Luego los tres primeros vectores del conjunto son 1 1 1

independientes. Por ellos el conjunto de la opción a) sí genera R3. Comprobamos ahora si los tres vectores del conjunto de la opción b) son independientes o no: 1 2

0 1

3 1 = -4  6 + 3 + 1 = - 6. Son independientes. El conjunto de la opción 1 1  4

b) sí genera R3. Veamos el conjunto de la opción c): 2 4

2 6

0 1 = - 12  4 + 8 + 8 = 0. No son independientes, no generan R 3. La  2  4 1

solución es la opción c).

¿Cuál de los siguientes conjuntos de vectores genera R2? a) {(1,-1), (-2,2)} b) {(1,0), (2,1)} c) {(4,2), (0,0)} Comprobamos si los vectores de cada opción son independientes o no: 1 1 = 2  2 = 0. No son independientes. No generan R2. 2 2 1 0 2 1 4 2 0 0

= 1  0 = 1. Son independientes. Sí generan R2.

= 0  0 = 0. No son independientes. No generan R2.

Solución: la opción b).

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Dado a de R, los vectores (1,a) y (-3,2) no forman un sistema de generadores de R2 si y sólo si: a) a = -2/3 b)   -2/3 c) a = -3/2

Para responder a esta pregunta hay que recordar que un sistema de generadores de R2 estará formado al menos por 2 vectores independientes. Los vectores (1,a) y (-3,2) cumplen la primera condición (son al menos dos), pero hay que ver si son independientes. Para que lo sean su determinante no debe valer cero:

1 a = 2 + 3a. 3 2

Por lo tanto, si 2 + 3a = 0, los vectores no serán independientes y no formarán un sistema de generadores. Despejando: 2 + 3a = 0  a = -2/3. Solución: la opción a).

¿Dado a de R, los vectores (2,1) y (a,2) forman un sistema de generadores de R 2 si y sólo si: a) a = 4 b)    c) Nunca forman un sistema de generadores. Para responder a la pregunta calculamos el valor del determinante formado con los dos vectores: 2 1 a 2

=4a

Por lo tanto, si 4 -           sistema de generadores. D       Solución: la opción b.

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Dado a de R, los vectores (0,a,2), (2,0,2) y (-1,-2,1) no forman una base de R3 si y sólo si: a) a = 2 b)    c) a = -2 Los tres vectores no formarán una base si y sólo si no son independientes, lo cual es cierto si su determinante vale cero. 0

a

2

2 0 2 = -2a  8  2a = - 4a  8. 1  2 1

Por lo tanto, si -4a - 8 = 0, los vectores no serán independientes y no formarán una base. Despejando queda: -4a  8 = 0  a = - 2. Solución: la opción c).

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Considérese los subespacios vectoriales de R3 siguientes: F1 = {(x,y,z) de R3 / y + z = 0}, F2 = R(0,1,-1). Se verifica: d) F1  F2, y así F1 + F2 = F2. e) Son subespacios vectoriales independientes. f) F2  F1, y así F1 + F2 = F1. E         

Si se suman dos subespacios, y uno está incluido en el otro, entonces la suma es igual al mayor de los dos subespacios. ¿Está F1 incluido en F2 o viceversa (o ninguna de las dos cosas)? Un vector de F1 cumple que la suma de su segunda y tercera coordenadas es cero. ¿Pertenece a F2? Por ejemplo, (3,2,-2) está en F1, ¿está también en F2? Para estar en F2 debería ser múltiplo del vector (0,1,-1), es decir, debería ser (3,2,-2) = a(0,1,-1) para algún número a. Pero este número a no existe, luego F1 no está incluido en F2. Al revés, un vector de F2 es un múltiplo de (0,1,-1). ¿Cumple la condición para estar en F1? Sí, ya que todos los múltiplos de (0,1,-1) tienen la suma de su segunda y tercera coordenadas cero. Así pues F2 está incluido en F1. Eso quiere decir que la suma de ambos subespacios es igual al mayor de los dos, es decir, a F1: F1 + F2 = F1. La respuesta correcta es pues la d). Los subespacios no son independientes pues el vector (0,1,-1) pertenece a ambos. Esto descartaría la opción b).

F1 = {(x,y) de R2 / x - y = 0}, F2 = R(1,-1). Se verifica: a) F1  F2, y así F1 + F2 = F2. b) Son subespacios vectoriales independientes. c) F2  F1, y así F1 + F2 = F1.

Un vector de F1 cumple que la resta de sus coordenadas es cero. ¿Pertenece a F2? Por ejemplo, (2,2) está en F1, ¿está también en F2? Para estar en F2 debería 16

ser múltiplo del vector (1,-1), es decir, debería ser (2,2) = a(1,-1) para algún número a. Pero este número a no existe, luego F1 no está incluido en F2.

Al revés, un vector de F2 es un múltiplo de (1,-1). ¿Cumple la condición para estar en F1? No, ya que la resta de las coordenadas de cualquier múltiplo de (1,1) no es cero. Entonces F2 no está incluido en F1. ¿Son independientes? Sí. Un vector de F1 deberá cumplir que x  y = 0, es decir, que x = y, sus dos coordenadas han de ser iguales. Un vector de F2, en cambio, debe ser múltiplo de (1,-1), y ninguno de los múltiplos excepto el vector nulo tiene sus dos coordenadas iguales. Solución: la opción b).

F1 = {(x,y,z) de R3 / y - z = 0}, F2 = R(1,1,1). Se verifica: a) F1  F2, y así F1 + F2 = F2. b) Son subespacios vectoriales independientes. c) F2  F1, y así F1 + F2 = F1.

Un vector de F1 cumple que la resta de su segunda y tercera coordenadas es cero. ¿Pertenece a F2? Por ejemplo, (5,2,2) está en F1, ¿está también en F2? Para estar en F2 debería ser múltiplo del vector (1,1,1), es decir, debería ser (5,2,2) = a(1,1,1) para algún número a. Pero este número a no existe, luego F 1 no está incluido en F2. Al revés, un vector de F2 es un múltiplo de (1,1,1). ¿Cumple la condición para estar en F1? Sí, ya que todos los múltiplos de (1,1,1) tienen la resta de su segunda y tercera coordenadas cero. Así pues F2 está incluido en F1. Esto quiere decir que la suma de ambos subespacios es igual al mayor de los dos, es decir, a F 1: F1 + F2 = F1. La respuesta correcta es pues la c). Los subespacios no son independientes pues el vector (1,1,1) pertenece a ambos. Esto descartaría la opción b).

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Considérese los subespacios vectoriales de R2 siguientes: F1 = R(1,0), F2 = R(0,1). Se verifica: g) F1  F2, y así F1 + F2 = F2. h) Son suplementarios. i) F2  F1, y así F1 + F2 = F1. E         

¿Está F1 incluido en F2 o viceversa (o ninguna de las dos cosas)? Un vector de F1 cumple que su segunda coordenada es cero. ¿Pertenece a F 2? Por ejemplo, (3,0) está en F1, ¿está también en F2? Para estar en F2 debería ser cero su primera coordenada. No lo es, luego F1 no está incluido en F2. Al revés el razonamiento es el mismo, así que F2 no está incluido en F1. Por lo tanto las opciones a) y c) no son válidas. Los subespacios son independientes pues un vector que pertenezca a ambos debería tener la segunda coordenada nula (por ser de F1) y la primera también (por ser de F2). El único vector que cumple esto es el vector nulo. Dos subespacios son suplementarios si son independientes y su suma coincide con todo el espacio vectorial (en este caso R2). Para comprobar esta última condición hay que ver si cualquier vector del espacio se puede escribir como suma de un vector del primer subespacio y otro del segundo. Un vector cualquiera de R2 es (a,b), donde a, b, son números reales cualesquiera. Este vector lo podemos escribir así: (a,b) = a(1,0) + b(0,1). Es decir, hemos escrito un vector cualquiera del espacio como suma de un vector de F1 y otro de F2. Por todo ello F1 y F2 cumplen las dos condiciones para ser suplementarios. La solución es la opción b).

F1 = R(1,1), F2 = R(2,2). Se verifica: a) F1  F2, y así F1 + F2 = F2. b) Son suplementarios. 18

c) F1 + F2 = R2 Cualquier vector de F1 está incluido en F2. Por ejemplo, (3,3) es vector de F1 ya que se puede obtener multiplicando el vector (1,1) por el número 3. Pero (3,3) también es vector de F2 ya que se puede obtener multiplicando el vector (2,2) por el número 3/2. De la misma forma cualquier vector de F2 está incluido en F1. Por ejemplo, (4,4) es vector de F2 ya que se puede obtener multiplicando el vector (2,2) por el número 2. Pero (4,4) también es vector de F1 ya que se puede obtener multiplicando el vector (1,1) por el número 4. Por lo tanto F1 está incluido en F2 y viceversa. Ello significa que F1 = F2. En particular se cumple que F1  F2, y así F1 + F2 = F2. La solución es la opción a). También se cumpliría que F2  F1, y así F1 + F2 = F1. No son subespacios suplementarios pues no son independientes. El vector (2,2), ...