Factorización - ejercicios de parciales de matematicas PDF

Preview

Summary

ejercicios de parciales de matematicas...

Description

Factorización de trinomios de la forma. (𝑥 2𝑛 + 𝑏𝑥 𝑛 + 𝑐 ).

Caso 1 1. Observar si 𝑥 2𝑛 + 𝑏𝑥 𝑛 + 𝑐 , se puede escribir como 𝑥 2𝑛 + 2𝑑𝑥 𝑛 + 𝑑2 . 𝑐 = 𝑑2 , 𝑏 = 2𝑑, entonces 𝑥 2𝑛 + 2𝑑𝑥 𝑛 + 𝑑2 = (𝑥 + 𝑑)2 𝑥 2𝑛 − 2𝑑𝑥 𝑛 + 𝑑2 = (𝑥 − 𝑑)2 . Ejemplo 1. Factorizar 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥 2 + 2(3)𝑥 + 32 = (𝑥 + 3)2 . Caso 2 2. 𝑥 2𝑛 + 𝑏𝑥 𝑛 + 𝑐 = (𝑥 𝑛 + 𝑑)(𝑥 𝑛 + 𝑒 ), 𝑐 = 𝑑 ∗ 𝑒. 𝑏 = 𝑑 + 𝑒 . buscamos dos números que multiplicados den a c, y sumados o restados den b. Ejemplo 1. Factorizar 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = (𝑥 + 3 )(𝑥 + 3) = (𝑥 + 3)2 Ejemplo 2. Factorizar 𝑥 2 − 9𝑥 + 18 = (𝑥 − 6)(𝑥 − 3 ) = 0. 𝑥1 = 6, 𝑥2 = 3. Caso 3 (Empleo de la función o ecuación cuadrática) 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. 𝑎𝑠𝑢𝑚𝑖𝑟 𝑎 = 1. 𝑎 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎ñ𝑎 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑡𝑒 𝑎𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑏 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎ñ𝑎 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑡𝑒 1 𝑐 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑖𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑥=

−𝑏± √𝑏 2 −4𝑎𝑐 . 2𝑎

𝐸𝐿 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑒 (𝐷). Si 𝐷 < 0, entonces las raíces del polinomio son imaginarias por lo tanto decimos que no es posible factorizar en los reales, si 𝐷 = 0, entonces decimos que la ecuación tiene dos raíces repetidas.

Ejemplo. 4𝑥 2 + 9. 𝑎 = 4, 𝑏 = 0. 𝑐 = 9 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 02 − 4(4)(9) = −144 Ejemplo 1. Factorizar 𝑥 2 + 6𝑥 + 9. 𝑎 = 1. 𝑏 = 6. 𝑐 = 9 𝐷 = 62 − 4(1)(9) = 0. −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 −(6) ± √62 − 4(1)(9) −6 ± 0 = = 𝑥= 2 2𝑎 2(1) −6 + 0 = −3 2 −6 − 0 = −3 𝑥2 = 2

𝑥1 =

Entonces 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = (𝑥 + 3)(𝑥 + 3) = (𝑥 + 3)2 . Ejemplo 2. Factorizar 𝑥 2 − 9𝑥 + 18 𝑎 = 1. 𝑏 = −9. 𝑐 = 18. 𝐷 = (−9)2 − 4(1)(18) = 9

𝑥=

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 −(−9) ± √(−9)2 − 4(1)(18) 9 ± √9 9 ± 3 = = = 2𝑎 2 2(1) 2 9+3 = 6. 2 9−3 𝑥2 = =3 2

𝑥1 =

𝑥 2 − 9𝑥 + 18 = (𝑥 − 6)(𝑥 − 3). Factorización de trinomios de la forma. (𝑎𝑥 2𝑛 + 𝑏𝑥 𝑛 + 𝑐 ). Caso 1.

Ejemplo Factorizar 2𝑥 2 − 9𝑥 − 5. Paso 1. Multiplicar todo por el coeficiente de la variable al cuadrado, es decir multiplicar todo por 𝑎, como no se puede alterar la expresión debemos dividir entre dicho coeficiente. 2(2𝑥 2 − 9𝑥 − 5) 4𝑥 2 + 2(−9𝑥) − 10 2𝑥 − 9𝑥 − 5 = = 2 2 2

Paso 2. Encontrar dos valores que cumplan que multiplicados den el ultimo termino o el termino constante y que sumados o restados den el termino del medio o el que esta con exponente 1 4𝑥 2 + 2(−9𝑥 ) − 10 (2𝑥 + 1)(2𝑥 − 10) (2𝑥 + 1)2(𝑥 − 5) = = 2 2 2 = (2𝑥 + 1)(𝑥 − 5 ) 2𝑥 2 − 9𝑥 − 5 = (2𝑥 + 1)(𝑥 − 5) Caso 2 (Empleo de la función o ecuación cuadrática). Ejemplo Factorizar 2𝑥 2 − 9𝑥 − 5 𝑎 = 2, 𝑏 = −9. 𝑐 = −5. 𝐷 = (−9)2 − 4(2)(−5) = 121 −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 −(−9) ± √(−9)2 − 4(2)(5) 9 ± √121 = 𝑥= = 2(2) 4 2𝑎 9 ± 11 = 4 9 + 11 𝑥1 = =5 4 9 − 11 𝑥2 = = −0.5 4 2𝑥 2 − 9𝑥 − 5 = (𝑥 − 5)(𝑥 + 0.5) = 0.

Factorización Empleando los productos notables 1. Diferencia de cuadrados 𝑥 2 − 𝑎2 = (𝑥 − 𝑎)(𝑥 + 𝑎).

2. Diferencia de dos cubos 𝑥 3 − 𝑎3 = (𝑥 − 𝑎3 )(𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 𝑎 2 ) 3. Suma de dos cubos 𝑥 3 + 𝑎3 = (𝑥 + 𝑎)(𝑥 2 − 𝑎𝑥 + 𝑎 2 ) Ejemplos Factorizar • • • •

36𝑥 2 − 25 = (6𝑥 − 5)(6𝑥 + 5) 𝑎2 − 4𝑏 2 = (𝑎 − 2𝑏 )(𝑎 + 2𝑏 ) 4𝑥 2 𝑦 2 − 1 = (2𝑥𝑦 − 1)(2𝑥𝑦 + 1) 𝑥 6 + 𝑦6 = (𝑥 2 + 𝑦 2 )((𝑥 2 )2 − 𝑥 2 𝑦 2 + (𝑦 2 )2 ) = (𝑥 2 + 𝑦 2 )(𝑥 4 − 3

6

𝑥 2 𝑦 2 + 𝑦4 ) √𝑥 6 = 𝑥 3 = 𝑥 2 . • 𝑎3 − 64𝑏 3 = (𝑎 − 4𝑏)(𝑎2 + 4𝑎𝑏 + (4𝑏)2 ) • 49𝑥 2 − 64𝑦 2 = (7𝑥 − 8𝑦)(7𝑥 + 8𝑦). • 𝑥 6 − 𝑦6 = (𝑥 2 − 𝑦 2 )(𝑥 4 + 𝑥 2 𝑦 2 + 𝑦 4 ) = (𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦)(𝑥 4 + 𝑥 2 𝑦 2 + 𝑦4 ). • 𝑧 10 − 5𝑧 5 − 6 = (𝑧 5 − 6)(𝑧 5 + 1) • 𝑥 2 − 2√2𝑥𝑦 + 2𝑦2 = (𝑥 − √2𝑦)

2

√𝑧 10 = 𝑧

10 2

= 𝑧5...