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Capítulo 4 Maximización de la utilidad y elección

Minimización del gasto En el capítulo 2 señalábamos que muchos problemas de maximización con restricciones conllevan a un problema “dual” de minimización con restricciones. En el caso de la maximización de la utilidad, el problema dual de la minimización trata de asignar los ingresos de tal modo que podamos alcanzar un determinado nivel de utilidad con el gasto mínimo. Este problema es, evidentemente, análogo al problema primario de maximización de la utilidad, pero los objetivos y las restricciones se revierten. La figura 4.6 ilustra este problema dual de la minimización del gasto. En el mismo, el individuo debe alcanzar el nivel de utilidad U2, que ahora constituye la restricción del problema. La figura muestra tres cantidades posibles de gasto (E1, E2 y E3) como tres rectas de “restricción presupuestaria”. El nivel de gasto E1 es, evidentemente, demasiado bajo para alcanzar U2, y, por tanto, no puede resolver el problema dual. Con el nivel de gasto dado por E3, el individuo puede alcanzar U2 (en el punto B o en el C), pero este nivel de gasto mínimo no es el nivel buscado. Por el contrario, E2 ofrece claramente el gasto total justo suficiente para alcanzar U2 (en el punto A), y, de hecho, ésta es la solución al problema dual. Si se comparan las figuras 4.2 y 4.6 es evidente que tanto el planteamiento inicial de maximización de la utilidad como el planteamiento dual de minimización del gasto ofrecen la misma solución (x*, y*); es decir, simplemente son formas alternativas de ver el mismo proceso. No obstante, el planteamiento de la minimización del gasto muchas veces es más útil porque podemos observar los gastos directamente, mientras que no podemos hacer lo mismo con la utilidad.

FIGURA 4.6

El problema dual de la minimización del gasto

El problema dual de la maximización de la utilidad consiste en alcanzar un determinado nivel de utilidad (U2) con gastos mínimos. Un nivel de gasto de E 1 no permite que un individuo alcance U2 mientras que E 3 requiere un poder adquisitivo superior al estrictamente necesario. Con el gasto E 2 este individuo puede alcanzar exactamente U2 consumiendo x* y y*.

Cantidad de y

B E3

E2 y*

E1

A

C U2

x*

Cantidad de x

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110 Parte 2 Elección y demanda

Una formulación matemática En términos más formales, el problema dual de la minimización del gasto del individuo consiste en elegir x1, x 2, . . . , x n de modo que pueda minimizar gastos totales = E = p1x1 + p2x2 + . . . + pnxn,

(4.48)

– utilidad = U = U(x1, x2, . . . , x n).

(4.49)

sujeto a la restricción

La cantidad óptima de x1, x2, . . . , xn que se elija en este problema dependerá de los pre– cios de los diversos bienes (p1, p2, . . . , pn) y del nivel de utilidad requeridoU2. Si alguno de los precios cambiara o si el individuo tuviera otro “objetivo” de utilidad, entonces otro paquete de bienes sería el óptimo. Una función gasto resumiría esta relación.

DEFINICIÓN Función gasto. La función gasto del individuo muestra el gasto mínimo necesario para alcanzar un determinado nivel de utilidad dado un conjunto de precios determinado. Es decir, gasto mínimo = E(p1, p2, . . . , pn, U).

(4.50)

Esta definición muestra que la función gasto y la función de la utilidad indirecta son funciones inversas (compare las ecuaciones 4.49 y 4.50). Ambas funciones dependen de los precios de mercado, pero incluyen distintas restricciones (ingreso o utilidad). En el siguiente capítulo se verá que esta relación resulta muy útil porque permite analizar la teoría de cómo reaccionan los individuos ante variaciones de los precios. Sin embargo, primero veamos dos funciones gasto.

EJEMPLO 4.4

Dos funciones gasto Podemos calcular la función gasto de dos maneras. El primer método, y el más sencillo, es expresar el problema de minimización del gasto de manera directa y aplicar la técnica lagrangiana. Algunos de los problemas al final de este capítulo le piden que haga eso precisamente. Sin embargo, aquí adoptaremos un procedimiento más ágil, aprovechando la relación entre las funciones gasto y las funciones de utilidad indirecta. Dado que estas dos funciones son inversas, el cálculo de una de ellas facilita enormemente el cálculo de la otra. No obstante, en el ejemplo 4.3, ya hemos calculado las funciones de utilidad indirecta para dos casos importantes. Recuperar las funciones gasto asociadas es simple cuestión de álgebra. Caso 1. Función de utilidad Cobb-Douglas. La ecuación 4.45 muestra que la función de utilidad indirecta Cobb-Douglas en el caso de dos bienes es V (p x , p y , I ) =

I 2 px0. 5 p0y. 5

(4.51)

Si se intercambia el papel de la utilidad (que ahora trataremos como una constante denotada por U) y los ingresos (que ahora llamaremos “gastos”, E, y que trataremos como una función de los parámetros de este problema), se obtendrá la función gasto: 0.5 E(px , py , U ) = 2p 0.5 x p y U.

(4.52)...