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_________________________________________

CAPITULO 1 Introducción

Li br o so l uci on ar io

F ÍSICA TOMO I

Autor

Paul A. Tipler Editorial Reverté S.A.

Antonio Lázaro Morales Diplomado en Ciencias Empresariales & Licenciado en Marketing

1

FÍSICA_________________________________________________________________

2

_________________________________________

I Introducción Ejercicios

1. Las expresiones son las siguientes: a) b) c) d)

1 MW 2 mg 3 µm 30 ks

2. Las expresiones son las siguientes: a) b) c) d)

0,000040 vatios 0,000000004 segundos 3.000.000 vatios 25.000 metros

3. Las expresiones son las siguientes: a) b) c) d) e) f) g)

1 picogrito. 1 gigabajo 1 miroteléfono 1 attoniño 1 megateléfono 1 nanocabra 1 teratoro

4. Las unidades son las siguientes: a) C1 = m ; C 2 =

m s

m s2 m c) C1 = 2 s

b) C1 =

d) C1 = m ; C2 = s −1

3

CAPITULO 1 Introducción

FÍSICA_________________________________________________________________ e) C1 =

m ; C 2 = s −1 s

5. Las dimensiones son las siguientes: a) [C1 ] = L ; [C2 ] = b) [C1 ] = c) [C1 ] =

L T2

L = LT −1 T

= LT −2

L = LT −2 2 T

d) [C1 ] = L ; [C 2 ] = T −1 e) [C1 ] =

L ; [C2 ] = T −1 T

6. Las dimensiones de las constantes siguen siendo las mismas, ya que lo único que cambia son las unidades de medida.

7. Si representamos la tierra como una circunferencia: A Distancia (A,B) = 107 metros

B

A = Polo norte B = Ecuador a) Una circunferencia está constituida por cuatro cuadrantes. Si un cuadrante de la tierra tiene una longitud de 107 metros, entonces la circunferencia del globo terrestre será igual a 4 ×10 7 m . b) Por álgebra sabemos que la longitud de una circunferencia obedece a la expresión l = 2πr , donde r representa el radio. Como la longitud l ya la hemos calculado en el

4

_________________________________________

CAPITULO 1 Introducción

apartado anterior, para obtener el radio sólo nos basta con despejar éste de la ecuación de l 4 ×10 7 m longitud r = = = 6,36619772 ×106 m 2π 2π c) Las respuestas en millas se calculan utilizando el factor de conversión 1 milla = 1.609 m. Así pues, tenemos: 1 milla = 24.860,16 millas l = 4 × 10 7 m× 1.609 m r = 6,36619772 × 10 6 m×

1 milla = 3.956,61millas 1.609 m

8. Utilizando los factores de conversión tenemos: a) 100

km km 1 milla millas = 100 × = 62,15 h h h 1,609 km

b) 60 cm = 60 cm ×

1 pulgada = 23,62 pulgadas 2,54 cm

c) 100 yd = 100 yd ×

1m = 91,44 m 1,0936 yd

9. Sustituyendo sus expresiones por las unidades que expresan tenemos: m2 2 v2 = s = 1 = adimensional a) xa m m s2 1

⎛ ⎞2 x ⎜⎜ m ⎟⎟ = s2 = m a ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎝s ⎠

c)

1

( )

b)

2

=s

1 2 m at = prescindimos de la constante = 2 s 2 = m 2 s

10. Este factor de conversión lo podemos deducir del apartado a) del ejercicio 9. Así pues, tenemos que este factor de conversión es: 100

km millas = 62,15 h h

→ 1

milla 100 km km = = 1,609 62,15 h h h

5

FÍSICA_________________________________________________________________

11. Las soluciones a los apartados son las siguientes: a) 1 año = 1 año ×

365 días 24 h 60 min 60 s × × × = 3,1536 ×10 7 s año día h min

b) Para contar 1.000.000.000 $ = 10 9 $ hacen falta 10 9 s , y como tenemos el factor de con1 año versión de años en segundos, la solución es 10 9 s × = 31,7097 años 3,1536 ×107 s c) Operando de forma similar al apartado anterior tenemos que la solución es 1 año = 1,9025 × 1016 años 6 × 10 23 s × 7 s × 3,1536 10

12. En primer lugar despejamos la constante G, esto es

G=

Fr 2 . Las unidades SI son: m1 m2

kg ⋅ m 2 m 2 Fr m3 G= = 2 = s m 1m 2 kg ⋅ kg s kg 2

y sus dimensiones

[G ] =

L3 T 2M

13. Los factores de conversión buscados son: mi m 1 km 5 km = 3 × 108 × 3 = 3 × 10 . Como sabemos que las velocidades son s s 10 m s equivalentes y que en el mismo tiempo recorren la misma distancia 186.000 mi =3 ×10 5 km , el fac3 × 105 tor de conversión entre la milla y el kilómetro es 1mi = km =1,6129 km 186 × 10 3 b) Los datos que nos dan son 1 pie 3 = 62,4 libras y 1 cm 3 = 1 g . Nos piden el peso en libras de 1 kg de masa., esto es: a) 186.000

3

1cm 3 62,4libras ⎛ 1 pie ⎞ − = 1.000 cm 3 × ⎜ = 2,2036 libras 1 kg = 1.000 g × ⎟ = 35,3146 ×10 3 pie 3 × g pie 3 ⎝30,48 cm ⎠

14. Los números son: a) b) c) d)

30.000 0,0062 0,000004 217.000 6

_________________________________________

CAPITULO 1 Introducción

15. Los números son: a) 105 − b) 3,03 × 10 8 c) 6,02 × 1023 − d) 1,4 × 10 3

16. Los números son: a) 12,2 × 10 2 b) 1,2566368 × 10 6 ≅ 12,57 × 10 5 c) 2 × 10 −5 d) 51,4 × 10 2 + 2,78 × 10 2 = 54,18 × 10 2

( ) ( ) e) (19.900.000 × 10 ) + (9,99 × 10 ) = 19.900.009,99 × 10 −5

−5

−5

≅ 1,99 × 10 2

17. Los números son: a) 1,13886 × 10 5 ≅ 1,14 × 10 5 −9 −9 −9 b) 27,8 × 10 − 5,31× 10 = 22,49 × 10 c) 8,2673 × 10 3 ≅ 8,27 × 10 3 d) 0,276 × 10 2 + 5,99 × 10 2 = 6,266 × 10 2 ≅ 6,27 × 10 2

(

) (

)

(

) (

)

18. Los números son: a) 1,1437 × 10 5 ≅ 1,14 × 10 5 −7 7 2 2 b) 5,13 × 10 62,3 × 10 = 3,19599 × 10 ≅ 3,2 × 10 c) 0,0028401× 10 4 + 5,78 × 10 4 = 5,7828401× 10 4 ≅ 5,78 × 10 4

( (

)(

) (

)

3

)

d) 15,1678 × 10 ≅ 1,52 × 10

4

19. Los valores de x son: a) 3 x = 45 − 15

b)

2 1 = −9 → x 5

c)

1 2 = 15 − x 3x

→

x=

45 − 15 = 10 3

2 1 − 45 → = x 5 →

1 45 x − 2 = x 3x

x=

2× 5 10 5 =− =− 1− 45 44 22

→

3 = 45x − 2 →

7

x=

3+ 2 1 = 45 9

FÍSICA_________________________________________________________________

20. Los dos valores que puede tomar x son: a) x 2 − 7 x +12 = 0

b) 4 x 2 = 1 →

c) x( 6x + 12) = 0

7 ± 7 2 − 48 7 ± 1 ⎧ x1 = 4 = ⎨ 2 2 ⎩x 2 = 3 1 ⎧ x = 1 ⎪⎪ 1 2 x= ⎨ 1 4 ⎪ x ⎪⎩ 2 = − 2 →

→

x=

x1 = 0

6 x2 + 12 = 0

x2 = −

12 = −2 6

⎧ −3+ 7 x1 = ⎪ − 6 ± 6 − 8 − 6 ± 28 − 6 ± 2 7 ⎪ 2 x= = = ⎨ 4 4 4 ⎪x = − 3 − 7 ⎪⎩ 2 2 2

d) 2x 2 + 6x + 1 = 0 →

21. Como la intensidad del sonido I es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia d a la fuente, la fórmula genérica de la intensidad será: I=

C d2

Como el ejercicio nos da un dato de la intensidad para una cierta distancia, podemos calcular el valor de la constante C

4

mW C = 2 (3 m ) 2 m

→

C = 36 mW

Ahora ya estamos en condiciones de poder usar la fórmula y dar respuesta a las preguntas del ejercicio. a) I =

36 mW mW = 2,25 2 2 (4 m) m

b) I =

mW 36 mW =1 2 2 (6 m) m

c) I =

36 mW mW = 0,36 2 m2 (10 m)

d) I =

36 mW mW =9 2 (2 m) m2

8

_________________________________________

CAPITULO 1 Introducción

22. Sabemos que la superficie y el volumen de un globo varían de forma directamente proporcional al radio de la esfera, es decir, a mayor radio mayor será la superficie y el volumen de la esfera. Llamamos r1 a la longitud del radio inicial y r2 a la longitud del radio cuando se hincha la esfera, sabiendo que r2 = 2r1 . Las fórmulas del volumen y superficie de una esfera obedecen a las siguientes expresiones: V = Cr 3 2 S = Kr donde C y K son constantes. Pues bien, las relaciones que existen entre los volúmenes de la esfera antes y después de que ésta se hinche son: 1 V1 Cr1 3 r1 3 = = = 3 3 (2r1 ) 8 V2 Cr2 Sabiendo que antes de hinchar la esfera ésta tenía un volumen de V1 = 0,113 m3 , el nuevo volumen si se duplica su radio será: V 2 = 8V1 = 0,904 m3 De igual forma precedemos con las superficies: S1 Kr1 2 r1 2 1 = = = 2 2 (2r1 ) 4 S2 Kr2 Sabiendo que antes de hinchar la esfera ésta tenía una superficie de S1 = 1,13 m2 , la nueva superficie si se duplica su radio será: S 2 = 4S1 = 4,52 m 2

23. Conociendo las siguientes conversiones: π 2

= 90º

π 4

= 45º

π = 180º

3π = 135º 4

las respuestas son: ⎛π ⎞ a) sen⎜ ⎟ = 1 ⎝ 2⎠ ⎛π ⎞ b) cos⎜ ⎟ = 0 ⎝2⎠ c) tg π = 0 9

FÍSICA_________________________________________________________________ ⎛π ⎞ sen⎜ ⎟ ⎛π ⎞ ⎝ 4⎠ 1 d) tg ⎜ ⎟ = = ⎝ 4 ⎠ cos⎛ π ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠

2 ⎛π ⎞ e) sen⎜ ⎟ = 2 ⎝4⎠ 2 ⎛ 3π ⎞ f) cos⎜ ⎟ = − 2 ⎝ 4⎠

24. Las conversiones son las siguientes: a) b) c) d) e)

π 180º × = 45º 4 π 3π 180º × = 270º π 2 π 180º × = 90º 2 π π 180º × = 30º 6 π 5π 180º × = 150º π 6

25. Las conversiones son las siguientes: a) 60º× b) 90º× c) 30º× d) 45º×

π 180º

π

180º

π

180º

π

180º

e) 180º× f) 37º×

π

180º

= = = =

π 3

π

2

π

6

π 4

rad rad rad rad

= π rad

π

= 0,64577 rad 180º 1 vuelta 2 π rad g) 720º× = 2 vueltas × = 4π rad 360º vuelta

26. Los factores de conversión son: 1

rev rev 2π rad 1 min π rad =1 × × = min min rev 60 s 30 s

10

_________________________________________

1

CAPITULO 1 Introducción

rev π rad 180º 6º = × = π rad s min 30 s

27. Vamos a calcular, en primer lugar, las vueltas que da el disco en un segundo: 33,3 rpm ×

1 min = 0,555 rps 60 s

Sabiendo este dato, los ángulos son: 0,555 vuelta ×

2πrad = 3, 4871 rad vuelta

0,555 vuelta ×

360º = 199,80º vuelta

28. Sabemos que la longitud de una circunferencia es

l = 2π r = 2π

D = πD = 30π cm . 2

a) Pues bien, un punto A situado en el borde del disco, al cabo de una vuelta habrá completado una distancia equivalente a la longitud del disco, ya que el punto volverá a estar en la misma posición que con respecto al principio. y

A

A x

l=30 π cm

b) La velocidad en cm/s es de 33,3

vueltas 30 π cm 1 min cm × × = 52,3075 min vuelta 60 s s

11

FÍSICA_________________________________________________________________

29. Gráficamente el problema es el siguiente:

θ1 5

4

θ2 3

cosθ 1 =

4 = 0,8 5

sen θ1 =

3 = 0,6 5

tgθ 1 =

3 = 0,75 4

cosθ 2 =

3 = 0,6 5

senθ 2 =

4 = 0,5 5

tg θ2 =

) 4 = 1,3 3

Para el cálculo de los grados de estos dos ángulos, lo haremos buscando para cualquiera de los datos calculados anteriormente, aquellos grados que “rodean” el valor calculado. Por ejemplo, para el dato cos θ1 = 0,8 vamos a comprobar en las tablas qué dos ángulos contienen este valor:

cos 36º = 0,8090 y cos 37º = 0,7986 θ

37º

θ1 α 36º

cos θ 0,7986

0,8

0,8090

El valor de la tangente del ángulo α es: tg α =

θ 1 − 36º 37º −36º = 0,8090 − 0,7986 0,8090 − 0,8

→ θ 1 = 36,8653º

Como sabemos, los ángulos interiores de un triángulo han de sumar 180º, el valor de θ2 es inmediato, esto es θ 1 + θ 2 + 90 = 180 , de donde: θ 2 = 180 − 90 − 36,8653 = 53,1347 º . 12

_________________________________________

CAPITULO 1 Introducción

30. El ejercicio es similar al anterior, siendo su gráfica la siguiente:

θ1 c

b=8

θ2 a=2

a) El valor de la hipotenusa nos lo da el teorema de Pitágoras, esto es:

a 2 + b 2 = c 2 → c = 2 2 + 8 2 = 68 = 2 17 b) Los valores pedidos son: cosθ 1 =

cosθ 2 =

8 = 0,9701 2 17 2 2 17

= 0, 2425

senθ1 =

2 = 0, 2425 2 17

senθ 2 =

8 2 17

= 0,9701

tg θ1 =

2 = 0,25 8

tgθ 2 =

8 =4 2

c) Por ejemplo, para el dato tg θ1 = 0,25 vamos a comprobar en las tablas qué dos ángulos contienen este valor:

tg 14º = 0, 2493 y tg 15º = 0, 2679 θ

15º

θ1 α 14º

tg θ 0,2493

0,25

0,2679

13

FÍSICA_________________________________________________________________ El valor de la tangente del ángulo α es:

θ 1 −14º 15º −14º = 0, 2679 − 0, 2493 0,25 − 0, 2493

tg α =

→ θ 1 = 14,0376 º

Como sabemos, los ángulos interiores de un triángulo han de sumar 180º, el valor de θ2 es inmediato, esto es θ 1 + θ 2 + 90 = 180 , de donde: θ 2 = 180 − 90 − 14,0376 = 75,9624º .

31. Las soluciones son: π rad ⎞ ⎛ 2π ⎞ 2π = ⎛ a) sen 8º = sen ⎜8º× 0,1396 rad ⎟ ≅ ⎟ = sen ⎜ 180º ⎠ ⎝ 45 ⎠ 45 ⎝ ⎛ π rad ⎞ ⎛ π rad b) tg 5º = tg ⎜5º× ⎟ = tg ⎜ 180º ⎠ ⎝ ⎝ 36

⎞ π = 0,0872 ⎟≅ ⎠ 36

32. Desarrollando el binomio tenemos: (1 + x ) 3 = 1 + 3x +

3(3 −1) 2 3(3 − 1)(3 − 2) 3 x + x = 1+ 3 x + 3 x 2 + x 3 2 3⋅ 2

Haciendo la multiplicación de forma directa obtenemos: (1+ x ) 2 = (1 + x )(1 + x ) = 1 + 2 x + x 2 (1+ x ) 2 (1+ x ) = (1+ 2x + x 2 )(1+ x ) = 1+ 2x + x 2 + x + 2 x 2 + x 3 = 1+ 3 x + 3x 2 + x 3 Como es lógico, los resultados coinciden.

33. Las soluciones son: 1 2

1

100 ⎞ 2 ⎛ a) 99 = (100 − 1) = ⎜ 100 − ⎟ = 100 ⎠ ⎝ y utilizando la aproximación (1 + x) n ≅ 1 + nx

1

1 1 ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ 2 2 2 100 1 100 ( 1 0 , 01 ) 10 ( 1 0 , 01 ) − = − = − ⎟ ⎜ ⎥ ⎢ ⎣ ⎝ 100 ⎠⎦ x 0 v1 > v2 v2 < 0

Comparación de las celeridades | v1 |>| v2 |

v1 > 0 v2 > 0

v1 = v2

| v1 |=| v2 |

v1 < 0 v2 > 0

v1 < v 2

| v1 |>| v2 |

v1 > 0 v2 < 0

v1 > v2

| v1 | 0 m/s2 ). c) Este es el caso contrario al punto anterior, es decir, el valor de la velocidad, medida por la pendiente en cada punto de la gráfica, varía de positiva a negativa, haciéndose nula en un instante del tiempo (pendiente cero). Por tanto, la variación de la velocidad en dos instantes cualesquiera es siempre negativa y, por consiguiente, la aceleración es negativa en todo momento ( a < 0 m/s2 ). d) Estamos ante el mismo caso que en el apartado a), solo que ahora la velocidad instantánea resulta ser negativa, pero en todo caso constante, por lo que la aceleración es nula ( a = 0 m/s2 ).

18. La representación gráfica de la posición de la partícula es la siguiente: x, m 80 60 40 20 0 -20

x, m 1

3

5

7

9

11

-40 -60 -80

a) La velocidad es máxima en aquel instante en el que el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva x(t) es máximo y positivo. Esto ocurre cuando t = 3 s . b) La velocidad es mínima en aquel instante en el que el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva x(t) es máximo y negativo. Esto ocurre cuando t =6,5 s . c) La velocidad es cero para el instante t = 5 s , y para los intervalos de tiempo ∆t = 9 s −8 s y ∆t = 11 s − 10 s , ya que el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva x(t) es cero.

9

FÍSICA (Paul Allen Tipler – 2ª Edición) _______________________________________ d) Para que la velocidad sea constante, el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva x(t) no ha de variar. Esto ocurre para el intervalo de tiempo ∆ t = 7 s −6 s , ya que el tramo de la curva se hace casi rectilíneo. e) Para que la aceleración sea positiva, la variación de velocidad ha de ser positiva. Esto ocurre para los intervalos de tiempo ∆t = 3 s − 0 s , ∆t = 9 s − 7 s y ∆t = 11 s − 10 s f) Al contrario, para que la aceleración sea negativa, la variación de velocidad ha de ser negativa. Esto ocurre para los intervalos de tiempo ∆t = 7 s −3 s y ∆ t = 10 s − 9 s . Analíticamente también se pueden verificar estas afirmaciones, según los datos que se desprenden de la siguiente tabla: Intervalos de Tiempo (s) 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 8-9 9-10 10-11

Desplazamiento (m) 5 10 30 20 5 -10 -90 -20 0 -5 0

Velocidad Media (m/s) 5 10 30 20 5 -10 -90 -20 0 -5 0

Aceleración Media (m/s2) 5 5 20 -10 -15 -15 -80 70 20 -5 5

19. La velocidad instantánea es igual a: v=

dx d ( At 2 − Bt + C) = = 2At − B dt dt

→

v = (16 t − 6) m/s

La aceleración instantánea es: a=

dv d (2 At − B ) = 2A = dt dt

→

v = 16 m/s 2

20. Las soluciones son: a) El argumento de una función exponencial debe ser adimensional, por tanto b = s −1 , es decir, [b] = T −1 . El significado físico de A es el de la velocidad inicial de la partícula. b) Para calcular la aceleración, hallamos la derivada de la velocidad respecto del tiempo, esto es: a=

dv d ( Ae −bt ) − bt Ae = = −b1 = −bv 2 3 dt dt v 10

___________________________

CAPITULO 2 Movimiento en una dimensión

Efectivamente, la aceleración es proporcional a la velocidad, precisamente en el parámetro b, y además es de signo negativo, indicando la desaceleración debida a la influencia de fuerzas viscosas, tales como la resistencia del aire.

21. Como el coche parte del reposo tenemos que

v 0 = 0 m/s

a) La velocidad del coche a los 10 segundos será de v = v0 + 8 t = v0 + 8 m/s 2 ×10 s = 80 m/s b) La distancia recorrida será de x = x0 + v0 t +

1 2 8 m/s 2 × (10 s)2 = 400 m at = 2 2

c) La velocidad media vale vm =

x 2 − x1 400 m − 0 m = 40 m/s = 10 s − 0 s t2 − t1

22. Como no nos interesa saber el tiempo que invierte en alcanzar la velocidad de15 m/s : 2

2

v = v0 + 2 a∆x

→ ∆x =

(15 m/s) 2 − (5 m/s) 2 = 50 m 2 × 2 m/s2

23. Usamos la misma fórmula que en el caso anterior, esto es: a=

v 2 − v20 2∆ x

→ a=

(15 m/s) 2 − (10 m/s) 2 2 = 15,625 m/s 2 × (10 m − 6 m)

24. Los datos de partida son v 2 = v02 + 2 a∆x

v 0 = 1 m/s , x 0 = 7 m

→ v 2 = (1 m/s) 2 + 2 × 4 m/s 2 (8 m − 7 m) = 9 m 2 / s 2

Así pues, la velocidad que adquiere el objeto es de v = adquirida en el momento v = v0 + at

→

t=

3 m/s − 1 m/s = 0,5 s 4 m/s 2

11

9

m2 = 3 m/s . Esta velocidad será s2

FÍSICA (Paul Allen Tipler – 2ª Edición) _______________________________________

25. Si empieza desde el reposo, entonces: x = x0 + v0 t +

1 2 at 2

→

t=

2x = a

2 ×100 m =2 5s 10 m/s 2

Si este es el tiempo que tarda en recorrer los 100 m...