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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

TRABAJO COLABORATIVO DE LA TAREA 3 SEÑALES Y SISTEMAS

Tutor:

Grupo:

Integrantes:

NOVIEMBRE 2020

INTRODUCCIÓN

En el siguiente trabajo se da a conocer el taller de la fase 3 del curso Señales y Sistemas, denominada: “Análisis en el dominio del tiempo”; a partir de los temas de esta unidad se colocarán en práctica los conocimientos adquiridos durante la revisión del material bibliográfico. Los temas para trabajar a continuación será la Transformada de Laplace, Transformada Inversa y Función de Transferencia; validando los resultados obtenidos en software académicos. A partir de estos temas, se encontrará en este documento de forma detallada una serie de ejercicios realizados de forma individual y colaborativa. En primera estancia se presenta la solución matemática de la Transformada de Laplace de unas funciones; así como su comprobación mediante el software Symbolab. En el segundo ejercicio se desarrolla la Función de Transferencia de una ecuación diferencial, encontrando los valores de Polos y Ceros, así como la comprobación de los resultados en Matlab. En el tercer ejercicio se determina la Transformada Inversa de Laplace de una función de transferencia, encontrando la respuesta del sistema en el dominio del tiempo.

OBJETIVOS

 Comprender la forma matemática de la Transformada de Laplace, así como sus propiedades y el uso de tablas predeterminadas para algunas funciones.  Obtener la función de transferencia a partir de ecuaciones diferenciales; analizando los polos y ceros de la misma.  Utilizar softwares académicos como apoyo para el desarrollo de ejercicios asociados a Transformadas de Laplace, Transformada Inversa y Función de Transferencia.

CUERPO

DEFINICIÓN DE CONCEPTOS: a) Si una función de transferencia tiene un polo en el eje real del semiplano derecho del plano s, ¿cómo será la respuesta en el tiempo asociada a este polo? RTA: La respuesta del sistema en el tiempo asociada a dicho polo es inestable, de tal forma que no tiende a un valor final en el estado estacionario, sino que tiende a un valor infinito. b) ¿Qué propiedad hace posible encontrar la transformada inversa de Laplace, como la suma de las transformadas de funciones más simples halladas al aplicar fracciones parciales? Explique

RTA: La propiedad de superposición nos permite encontrar la transformada inversa de Laplace de la suma de funciones, como la suma de transformadas más simples, como se indica en la siguiente ecuación:

L { f ( x )+g ( x ) } =L { f ( x )} + L { g ( x ) }=F ( s) +G(s )

c) De acuerdo a la Ecuación 11.1 (Pg. 330) del Libro de Ambardar, la Transformada de Laplace X (s) de una señal x (t) se define como una integral. Plantee la integral para la transformada �(�) de la señal x (t)=e−3 t cos ( 4 t ) u(t) . **Tenga en cuenta que sólo se le pide plantear la integral, NO resolverla.

RTA: De acuerdo a la definición de transformada de Laplace, se tiene que: L {e

−3 t

∞

cos (4 t ) u ( t )} =∫ e

−3 t

0

cos ( 4 t ) u ( t ) e− st dt

L {e

−3 t

∞

cos (4 t ) u ( t )} =∫ cos ( 4 t ) u ( t ) e−(s+3 )t dt 0

d) Descomponga en fracciones parciales la expresión (Ver sección 11.4.1, pg. 340): 5 x−4 x − x −2 2

RTA: Se aplica las fracciones parciales para factores lineales distintos: k k1 5 x−4 5 x−4 = + 2 = x − x −2 (x−2)( x+1) (x−2) (x +1) 2

k 1 ( x +1) +k 2 (x−2) 5 x −4 = (x−2)(x+ 1) (x−2)( x +1) 5 x−4=k 1( x +1) +k 2 (x−2) Se reemplazan los valores de k1 , k2

x=2

y

x=−1 para determinar las constantes

6 x=2 →10−4=k 1 (3 ) + k 2( 0 ) → k 1= =2 3 x=−1 →−5−4=k 1 (0 ) + k 2 (−3 ) → k 1=

−9 =3 −3

Las fracciones parciales de la expresión es:

5 x−4 2 3 = + (x +1) x − x −2 ( x−2 ) 2

e) Encuentre la función de transferencia �(�) para el diagrama de polos y ceros de la

figura 1. (Ver ejemplo 11.5, pag. 339) RTA: De la figura se lee que los polos y ceros son: Ceros : s=0 ;s =−2 Polos: s=3 ;s =−3 Los ceros hacen referencia a las raíces del numerador y los polos a las raíces del denominador, de la función de transferencia; por lo tanto:

H ( s )=

s(s+2) s(s+2) = 2 (s−3)( s +3) s −9

EJERCICIO 1. TRANSFORMADA DE LAPLACE

Desarrolle las siguientes transformadas de Laplace de manera análitica, utilizando la tabla de transformadas de la página 331 del libro guía y posteriormente verifique su respuesta con el uso de la herramienta online que se encuentra en la siguiente página https://es.symbolab.com/solver/inverse-laplacecalculator/laplace%20%5Cfrac web: %7B1%7D%7Bs%2B2%7D b a ¿ x ( t )= ∗t 4 . u ( t ) 2 b ¿ x ( t )=a∗sin 2 ( b . t ) . u (t ) a −at c ¿ x ( t )=t ∗e ∗cos ( a∗t ) .u ( t ) (item grupal) Nombre del estudiante: Anny Valle Barragan Código universitario: Constante a: 14 Constante b: 16 Solución parte teórica: b 4 a ¿ x ( t )= ∗t . u ( t ) 2 a ¿ x ( t )=

16 4 ∗t .u (t ) 2

8∗n ! con n=4 s n+1 8∗4 ! x ( s)= 4 +1 s 8∗24 x ( s)= 5 s

x ( s)=

x ( s) =

192 5 s

b ¿ x ( t )=a∗sin 2 ( b . t ) . u (t ) Constante a: 14 Constante b: 16 2 b ¿ x ( t )=1 4∗sin ( 1 6 t ) . u (t ) De acuerdo a la tabla 11.1, se aplica la entrada 13 de transformadas de Laplace, la cual dice: 2 β2 L{sin2 (βt ) .u ( t ) }= 2 s ( s + 4 β 2)

Por lo tanto, la transformada de nuestra función

x (t)

es:

2

X ( s) =

4∗512 14∗2∗1 6 7S 7 =1 2 = − 2 2 s ( s +4 ¿ 1 6 ) s (s +1 02 4 ) s s ( s2 +1024 )

Constante a: 14 Constante b: 16

c ¿ x ( t ) =t a∗e−at∗cos ( a∗t ) .u ( t ) c ¿ x ( t )=t1 4∗e−1 4 t∗cos (1 4∗t) . u (t ) Primero, descomponemos la función simples:

x (t)

en multiplicaciones dos funciones más

−1 4 t y ( t )=cos (1 4 t ). u (t ) ; g (t ) =t 1 4∗y ( t ); x (t )=e ∗g ( t )

Se determina la función de la transformada de la función y ( t ) , aplicando la entrada 9 de la tabla 11.1: s L { cos ( βt ) . u ( t ) }= 2 2 s +β s s Y (s )= 2 = 2 2 s + 1 4 s +196 Luego, se aplica la propiedad de multiplicación por t n , por lo tanto, la transformada de la función g(t) es:

G ( s ) =L { t n∗ y (t ) } =(− 1)n

n

d Y ( s) n ds

14

14

G ( s ) =(−1)

d Y (s) 14 ds

s s 2 (¿¿ 2+196) 196−s2 2 (¿ ¿ 2+196 ) = ¿ 1 2 ( ) d Y (s) s + 196 −2 s2 = ¿ d s1 s s s 3 (¿¿ 2+196) 2 2 s(s +196) 4 (¿¿ 2+196) = ¿ 2 2 2 (¿ ¿ 2+ 196 ) −4 s(196 −s )(s + 196 ) −2 s ¿ 2 d Y (s) =¿ d s2 1 X ( s)=

s+ 1 4 2 (s+ 1 4) + 196

b.

C.

EJERCICIO 2. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA (POLOS Y CEROS) Usando como guía los ejemplos 11.4 y 11.5 de las páginas 338 y 339 del libro guía Ambardar, determine la función de transferencia, encuentre y dibuje los polos y ceros del siguiente sistema. posteriormente verifique sus respuestas diseñando un script en Matlab, Octave o Scilab y anexando el resultado junto con el script (práctica) a '' '' ' '' ' y ( t )+2 y (t ) +b y ( t) +8 y ( t ) = x ( t ) + 10 x '(t ) 2 Nombre del estudiante: Anny Valle Barragan Código universitario:

Constante a: 14 Constante b: 16 Solución parte teórica: y '' ' (t ) +2 y ' ' ( t ) +16 y ' ( t ) +8 y (t ) =

1 4 '' ( ) x t +10 x ' (t) 2

Aplicando la derivada obtenemos:

s 3 Y ( s )+2 s 2 Y ( s) +1 6 sY ( s) + 8Y ( s)=

14 2 s X ( s ) +10 sX ( s) 2

Aplicando la transformada de Laplace:

{

'' L { y '' ' ( t ) +2 y' '( t ) +1 6( t ) +8 y ( t ) }=L 1 4 x ( t )+10 x ' ( t ) 2

Factorizamos: 3 2 Y ( s ) ( s +2 s +1 6 s+ 8 ) =X ( s )

14 2 s +10 s 2

Por lo cual nuestra función quedaría de la forma:

14 2 s +10 s Y (s) 2 H ( s )= = 3 X (s) s +2 s2 +1 6 s+ 8

Determinamos las raíces:

14 2 s +10 s 2 s

( 124 s+ 10)=0 → s =0

s2

1

14 +10 =0 2

s 2( 7 )=−10 s 2=

−10 7

s 2=−1. 4285 Para: 3 2 s +2 s +1 6 s +8 Usamos el método Newton-Raphson:

x n+1=x n−

f ( x n) f ' ( x n)

}

Donde:

f ( s) =s 3+2 s2 + 1 6 s + 8 '

2

f (s)=3 s +4 s +1 6 Sea s 0=−1 f ( s0) =(−1)3 +2 (−1 )2 +16 ( −1 ) + 8=−7 f ' ( s0 ) =3 (−1 )2+4 ( −1) +1 6=15 s 1=−1−

−7 =−0. 533 15

∆ s1=|−0.533−(−1)|=−0 .46666 3 2 f ( s1) =(− 0.46666 ) +2 (− 0.46666 ) +1 6 ( −0 .46666 ) +8=0.86735 2 ' f ( s1 ) =3 (− 0.46666 ) + 4 (−0 .46666 )+1 6=14.7866

0.86735 =0.5253 s 2=−0 .46666− 14.7866 ∆ s2=|−0 .46666−(−0.5253 )|=0.05864 f ( s2) =(− 0.5253)3 +2(− 0.5253)2 +1 6 (−0.5253 ) +8=0.00212 '

2

f ( s2 ) =3 (− 0.5253) + 4 (−0.5253 ) + 16=14.726620

s 3=−0.5253−

0.00212 =−0.5254 14.726620

∆ s3=|−0.5253−(−0.5254 )|=0.0001 f ( s3) =(−0.5254 )3+ 2 (− 0.5254 )2 +1 6 ( −0.5254 ) +8=0.00065 2 f ' ( s3 ) =3 (− 0.5254 ) +4 (−0.5254 )+1 6=14.7265

s 4 =−0.5254−

0.00065 =−0.5254 14.7265

3 PUNTO Ejercicio 3 – Transformada inversa de Laplace:

Nombre del estudiante: Anny Valle Barragan Código universitario: Constante a: 14 Constante b: 16 Solución parte teórica: H ( s )=

b ( s + 2 s + 2∗a)( s+ a )

H ( s )=

16 ( s + 2 s + 1 4)(s + 1 4 )

2

2

Resolvemos inicialmente en el denominador aplicando ecuación cuadrática: 2

(s +2 s+ 1 4) −b ± √b 2−4 ac 2a

−2±√ 2 −4 (1)(1 4) =−1 +√ 13i 2(1) 2

H ( s )=

16 (s−1+ √13 i)( s−1− √13 i)(s+1 4)

Nuestras fracciones corresponden a:

H ( s )=

B C A + + (s−1+ √13 i) (s−1− √13 i) s+1 4

A=( s−1+√ 13 i) X (s)s=s−1+√ 13 i

A=

19 (s−1+√13 i−s−1− √13 i)(−1+ √ 13 i+1 4)

A=[−0.69382; 0,1601]

B=( s−1− √ 13 i ) X (s)s=s−1− √13 i B=

19 (s−1+ √ 13 i−s−1− √ 13 i)(−1+ √13 i−14)

B=

16 2(s−16−1 4) 16 C=(s +1 6 ) X (s)s=1 6 = 2 ( (1 6 ) +2(1 6)+1 4) 8 C= =0.05298 151

Aplicamos la transformada inversa de Laplace: −t −t −1 4 t u(t ) h( t ) =( 0,0 87) e cos ( 3.60 t ) u (t)− (0 ,31 i )e + sin(3.60 t)(0,087) e

CONCLUSIONES

 Se definieron los conceptos establecidos en el curso para la actividad y entrega un trabajo completo y basado en el libro guía Ambardar.  Se aplicaron los conceptos en el desarrollo de los ejercicios de transformada de Laplace, Transformada Inversa y función de transferencia; haciendo uso de las tablas de propiedades.  Se comprobaron los resultados obtenidos mediante softwares académicos como Matlab y Symbolab.

BIBLIOGRAFÍA

Ambardar, A. (2002). Procesamiento de señales analógicas y digitales: Transformada de Laplace, Polos y Ceros de la Función de Transferencia. Cengage Learning, (2nd ed, pp. https://link.gale.com/apps/doc/CX4060300114/GVRL? 330-358). Recuperado de u=unad&sid=GVRL&xid=77e9a350 Valderrama, F. (2016). Curso de Señales y Sistemas Unidad 3. Duitama: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/9578....