1.3 Mezclas Limpiadores PDF

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GUÍA DE APRENDIZAJEOPTIMIZACIÓN LINEALMezclasUna empresa produce limpiadores líquidos, uno de ellos se produce a partir de dos tipos de insumosquímicos (A y B). Cada galón de LIMPIADOR debe contener al menos 50% del tipo de insumo A ymenos de 40% del B y cada galón es vendido a $400. Para los insumo...

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA GUÍA DE APRENDIZAJE OPTIMIZACIÓN LINEAL Mezclas

PROBLEMA Una empresa produce limpiadores líquidos, uno de ellos se produce a partir de dos tipos de insumos químicos (A y B). Cada galón de LIMPIADOR debe contener al menos 50% del tipo de insumo A y menos de 40% del B y cada galón es vendido a $400. Para los insumos se tienen dos proveedores con las siguientes capacidades. Proveedor Capacidad A Capacidad B

H1 400 350

H2 200 260

Independientemente del proveedor, se tienen costos de los insumos para cada una de las plantas el cual varía por los cuidados que se deben tener a la hora de transportarlos al respectivo lugar. Planta Costo A ($/galón A) Costo B ($/galón B)

P1 80 72

P2 60 65

El costo por galón de transformar los insumos en limpiador es de $104 para la planta 1 y $120 para la planta 2 y cada planta de producir y entregar mínimo el 30% de la demanda total de todos los clientes. Con esto, el limpiador producido se debe enviar a 3 diferentes clientes con las siguientes cantidades mínimas: CLIENTE1 300 galones, CLIENTE2 360 galones, y el CLIENTE3 260 galones. Estas cantidades se pueden enviar desde solo una o ambas plantas a cada cliente. El costo del transporte por cada galón a cada cliente para la planta 1 respectivamente es $29, $17 y $22. Mientras que el de la planta 2 es, $18, $15 y $20. Formule un modelo que permita maximizar el beneficio de la empresa.

SOLUCIÓN Conjuntos 𝐇: 𝑃𝑟𝑜𝑣𝑒𝑒𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠{1, 2 } 𝐈: 𝑖𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢í𝑚𝑖𝑐𝑜𝑠 {1, 2 } donde 1 = 𝐴, 2 = 𝐵 𝐏: 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎𝑠{1, 2 } 𝐊: 𝐶𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 {1,2,3}

GUSEK

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Parámetros 𝑆𝑖ℎ: 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 𝑖 𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑣𝑒𝑒𝑑𝑜𝑟 ℎ, ∀𝑖 ∈ 𝐈, ∀ℎ ∈ 𝐇 𝐷𝑘 = 𝐷𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑘, ∀𝑘 ∈ 𝐊 𝑃𝑉 = 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑔𝑎𝑙ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑝𝑖𝑎𝑑𝑜𝑟 𝐶𝑖𝑝 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑔𝑎𝑙ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 , ∀𝑖 ∈ 𝐈, ∀𝑝 ∈ 𝐏 𝑅𝑝 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑚𝑝𝑖𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑔𝑎𝑙ó𝑛 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 𝑝, ∀𝑝 ∈ 𝐏 𝑇𝑝𝑘 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑝𝑖𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑔𝑎𝑙ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 𝑝 𝑎𝑙 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑘, ∀𝑝 ∈ 𝐏, ∀𝑘 ∈ 𝐊 Variables de decisión 𝑋𝑖ℎ𝑝 : 𝑉. 𝐷 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑 𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 𝑞𝑢í𝑚𝑖𝑐𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑖 𝑝𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑣𝑒𝑒𝑑𝑜𝑟 ℎ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 𝑝, ∀𝑖 ∈ 𝐈, ∀ℎ ∈ 𝐇, ∀𝑝 ∈ 𝐏 𝑌𝑝𝑘 : 𝑉. 𝐷 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 𝑝 𝑎 𝑒𝑛𝑣𝑖𝑎𝑟 𝑎𝑙 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑘, ∀𝑝 ∈ 𝐏, ∀𝑘 ∈ 𝐊 Función Objetivo: Maximizar beneficios

𝑀𝑎𝑥 𝑍 = ∑ ∑ 𝑃𝑉 ∗ 𝑌𝑝𝑘 − ∑ ∑ ∑ 𝐶𝑖𝑝 𝑋𝑖ℎ𝑝 𝑘∈𝐊 𝑝∈𝐏

ℎ∈𝐇 𝑝∈𝐏 𝑖∈𝐈

− ∑ ∑ 𝑅𝑝 ∗ 𝑌𝑝𝑘 − ∑ ∑ 𝑇𝑝𝑘 ∗ 𝑌𝑝𝑘 𝑘∈𝐊 𝑝∈𝐏

𝑘∈𝐊 𝑝∈𝐏

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Restricciones R1 Proporción mínima del insumo 1 para el limpiador en cada planta ∑ 𝑋1ℎ𝑝 ≥ 0.5 ∑ ∑ 𝑋𝑖ℎ𝑝 ℎ∈𝐇

∀𝑝 ∈ 𝐏

ℎ∈𝐇 𝑖∈𝐼

R2 Proporción máxima del insumo 2 para el limpiador en cada planta ∑ 𝑋1ℎ𝑝 ≤ 0.4 ∑ ∑ 𝑋𝑖ℎ𝑝 ℎ∈𝐇

∀𝑝 ∈ 𝐏

ℎ∈H 𝑖∈𝐼

R3 Producción mínima de las plantas para cumplir la demanda de los proveedores ∑ ∑ 𝑋𝑖ℎ𝑝 ≥ 0.3 ∗ ∑ 𝐷𝑘

ℎ∈𝐇 𝑖∈𝐼

𝑘∈𝐾

∀𝑝 ∈ 𝐏

R4 Capacidad máxima de cada uno de los insumos y cada proveedor ∑ 𝑋𝑖ℎ𝑝 ≤ 𝑆𝑖ℎ ∀𝑖 ∈ 𝐈, ∀ℎ ∈ 𝐇 𝑝∈𝐏

R5 Demanda de cada uno de los clientes debe ser suplido entre las distintas plantas ∑ 𝑌𝑝𝑘 ≥ 𝐷𝑘 , ∀𝑘 ∈ 𝐊 𝑝∈𝐏

R6 Balance del total del limpiador producido con el total de insumos de ambos proveedores y el entregado a los clientes por cada planta ∑ ∑ 𝑋𝑖ℎ𝑝 = ∑ 𝑌𝑝𝑘 ∀𝑝 ∈ 𝐏

ℎ∈𝐇 𝑖∈𝐼

𝑘∈𝐾

R7 Restricción de no negatividad 𝑋𝑖ℎ𝑝 ≥ 0 𝑌𝑝𝑘 ≥ 0

∀𝑖 ∈ 𝐈, ∀ℎ ∈ 𝐇, ∀𝑝 ∈ 𝐏 ∀𝑝 ∈ 𝐏, ∀𝑘 ∈ 𝐊

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RESULTADOS

El beneficio máximo obtenido por la empresa es teniendo en cuenta los ingresos y costos generados por los galones de limpiadores es $200579.2

Las variables de decisión se interpretan de la siguiente manera: X[i,h,p]: Del insumo i entregado por el proveedor h se reciben ### galones para la producción del limpiador en la planta p Y[p,k]: Se envían ### galones del limpiador producido en la planta p para el cliente k.

Por ejemplo: X[1,1,1]: Del insumo 1 entregado por el proveedor 1 se reciben 165.6 galones para la producción del limpiador en la planta 1 X[1,1,2]: Del insumo 1 entregado por el proveedor 1 se reciben 234.4 galones para la producción del limpiador en la planta 2 X[1,2,1]: Del insumo 1 entregado por el proveedor 2 se reciben 0 galones para la producción del limpiador en la planta 1 X[1,2,2]: Del insumo 1 entregado por el proveedor 2 se reciben 200 galones para la producción del limpiador en la planta 2 X[2,1,1]: Del insumo 2 entregado por el proveedor 1 se reciben 60.4 galones para la producción del limpiador en la planta 1 X[2,1,2]: Del insumo 2 entregado por el proveedor 1 se reciben 289.6 galones para la producción del limpiador en la planta 2 X[2,2,1]: Del insumo 2 entregado por el proveedor 2 se reciben 50 galones para la producción del limpiador en la planta 1

PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA GUÍA DE APRENDIZAJE OPTIMIZACIÓN LINEAL Mezclas X[2,2,2]: Del insumo 2 entregado por el proveedor 2 se reciben 0 galones para la producción del limpiador en la planta 2 Se puede comprobar con estos valores que se cumplen las especificaciones de la composición de los insumos al sumar los tipos de insumos que llegan a cada planta. Y[1,1]: Se envían 0 galones del limpiador producido en la planta 1 para el cliente 1 Y[1,2]: Se envían 16 galones del limpiador producido en la planta 1 para el cliente 2 Y[1,3]: Se envían 60 galones del limpiador producido en la planta 1 para el cliente 3 Y[2,1]: Se envían 300 galones del limpiador producido en la planta 2 para el cliente 1 Y[2,2]: Se envían 424 galones del limpiador producido en la planta 2 para el cliente 2 Y[2,3]: Se envían 0 galones del limpiador producido en la planta 2 para el cliente 3

Se ve que se cumplió con la demanda de los clientes y para maximizar el beneficio sería conveniente ofrecer más galones de los que demanda el cliente 2, en este caso 80 galones adicionales....