13.5 Regla de la cadena PDF

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925

w

x

y

x

y

t TEOREMA 13.6 REGLA DE LA CADENA: UNA VARIABLE INDEPENDIENTE w

f x y w

Figura 13.39

x

t

Solución dw dt

w dx w dy x dt y dt xy t x t et e

t

y et

t

t

e t et

t t

t

e

t

e

t

dw dt w w

t x y

y et

t e

dw dt

t

t

et

et e

t

t

t

et

t

et

926

t

Solución

s

s

x y x

Figura 13.40

y

927

s

intermedias

y x

y

w

w t

w s

t

Solución

w

TEOREMA 13.7 REGLA DE LA CADENA: DOS VARIABLES INDEPENDIENTES w

fx y

f

x y. x g s t x s x t y s y t

w s

t w t

s Figura 13.41

s

928

Solución t s

s t

s

t

y

x

y

x

s

s t

s

t

w

n m

929

y

s

t

Solución

y

implícitamente

x

y

930

TEOREMA 13.8 REGLA DE LA CADENA: DERIVACIÓN IMPLÍCITA x

Solución

y

Solución

– x y–

931

En los ejercicios 1 a 4, hallar na apropiada. 1. w

x

x

x

y

t y

3. w

utilizando la regla de la cade-

x

2. w

x

x

t

4. w

y x

x

t

t y

et y

t

xy

7. w

x

8. w

xy

z

9. w

xy

xz

10. w

xy

xz

et

x x

y

y

et

y

t

y

t

z

x

x

t

yz

y y

x

yz

19. w

yz x

20. w

x

t

y

t

z

t x

22. w

t

et

z t

y t

t

y

z

t

t

z

t t t t

t

x

s

y

z

x

t

25. w

ze xy

x

s

t

y

26. w

x

yz

x

s

14. w

x y

et

x

t

y

utilizando la regla de la en el valor de dado.

y

e

t

t

Función

t

x

s

16. w

y

x 17. w

es

x 18. w x

y t

s y

s

s

t

s

s y

y

x

s

y

t

y

s

t s

s

t

r utilizando la regla

s

y

xy

29.

x x x

y

x

z y

t t

st t

s

z z

z

st

st s

t

por derivación implícita.

y

xy y

x

y

y

y

y

37. ex z

32. xz

z yz

x

yz

34. x

z

y

y

z

xy

xy y

36. z

ex

38. x

y

39. xy

yz

wz

wx

40. x

y

z

yw

z y

z

yz

z

41. xy 42. w x

yz y

w

wz y z

t

s

t

s

t

t

y t

t

et x

y

t

x y y

y

Una función es si En los ejercicios 43 a 46, ) mostrar que la función es homogénea y determinar , y ) mostrar que

Punto

x

r

En los ejercicios 39 a 42, hallar las primeras derivadas parciales de por derivación implícita.

t

En los ejercicios 15 a 18, hallar y utilizando la regla de la cadena apropiada y evaluar cada derivada parcial en los valores de y dados.

15. w

xy

28.

33. x

En los ejercicios 13 y 14, hallar cadena apropiada. Evaluar x

r

r

En los ejercicios 27 a 30, hallar

35.

y

x

x

31. x

t

t

x

y y

y

r

En los ejercicios 31 a 38, hallar las primeras derivadas parciales de por derivación implícita.

t

13. w

x

r

xyz

30.

t y

t y t y

z

23. w 24. w

11. x

12. x x

r

En los ejercicios 23 a 26, hallar de la cadena apropiada.

27. x

t y

y

xy y x y x r x

21. w

En los ejercicios 11 y 12 se dan las ecuaciones paramétricas de las trayectorias de dos proyectiles. ¿A qué velocidad o ritmo cambia la distancia entre los dos objetos en el valor de dado? x

x

t

e

x

) utilizando la en una función

y y

En los ejercicios 5 a 10, hallar ) utilizando la regla de la cadena apropiada y ) convirtiendo en función de antes de derivar. 5. w 6. w

En los ejercicios 19 a 22, hallar y regla de la cadena apropiada y ) convirtiendo de y antes de derivar

43.

44.

45.

46.

932 47.

w = f x, y x = g t dw dt

ht

f g

57.

h

t

2

48.

y

2

2

2

w = f x, y x = g s t ws

4, 3

y

ht

4, 3

I

f g

h

wt 1, 2

1, 2

1, 2

1, 2

1, 2

1, 2

4, 3

4, 3 Figura para 57

Figura para 58

58.

49. 59.

50.

w u

w

w

v

fx y x

u v

60. w

51.

x

y

y

x

61.

a 52.

f x y z z

xyz

x

t

y

t

e–t

a

df dt

b

f

t

df dt a

b 62.

b

63. ecuaciones diferenciales CauchyRiemann

53.

54. 55.

56.

64.

65.

x y

Sugerencia:

n

A-40

Soluciones de los ejercicios impares...