Demostración Ejercicios Regla de la cadena PDF

Preview

Summary

apunte...

Description

Apuntes de clase “Cálculo Multivariable” M.I Bernabé Rodríguez Tapia

Regla de cadenas. La regla de la cadena es un método que se utiliza para facilitar; resolver derivadas parciales de funciones. Las funciones que anteriormente utilizábamos estaban compuestas por más de una variable independiente. Eso que llamamos variable independiente se renombra para este caso con el nombre de variable intermedia, esto porque las ahora llamadas variables intermedias estarán compuestas por funciones que contienen variables independientes como se muestra en el ejemplo. Ejemplo 1: Función con una variable independiente. Sea 𝑤 = 𝑥 2 𝑦 − 𝑦2 , donde 𝑥 = sin 𝑡 y 𝑦 = 𝑒𝑡 . Hallar 𝑑𝑤⁄𝑑𝑡 cuando 𝑡 = 0. Solución. De acuerdo con la regla de la cadena para una variable independiente, se tiene: 𝑑𝑤 𝜕𝑤 𝑑𝑥 𝜕𝑤 𝑑𝑦 + = 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = 2𝑥𝑦(cos 𝑡) + (𝑥 2 − 2𝑦)𝑒 𝑡 = 2(sin 𝑡)(𝑒𝑡 )(cos 𝑡) + (𝑠𝑖𝑛 2 𝑡 − 2𝑒 𝑡 )𝑒 𝑡 = 2𝑒 𝑡 sin 𝑡 cos 𝑡 + 𝑒 𝑡 𝑠𝑖𝑛2 𝑡 − 2𝑒 2𝑡

Cuando 𝑡 = 0, se sigue que

𝑑𝑤 = −2 𝑑𝑡

Ejemplo 2: Regla de la cadena con dos variables independientes Utilizar la regla de la cadena para encontrar 𝑤 = 2𝑥𝑦 donde 𝑥 = 𝑠 2 + 𝑡 2 y 𝑦 = 𝑠⁄𝑡.

𝜕𝑤 𝜕𝑠

y

𝜕𝑤 𝜕𝑡

, dada.

Solución. Se puede mantener constante en 𝑡 y derivar con respecto a 𝑠 para obtener:

𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑥 𝜕𝑤 𝜕𝑦 = + 𝜕𝑠 𝜕𝑥 𝜕𝑠 𝜕𝑦 𝜕𝑠 1 = 2𝑦(2𝑠) + 2𝑥 ( ) 𝑡 𝑠 1 = 2 (𝑡) (2𝑠) + 2(𝑠 2 + 𝑡 2 ) (𝑡 )

Sustituir 𝑦 por (𝑠/𝑡) y 𝑥 por 𝑠 2 + 𝑡 2 .

Apuntes de clase “Cálculo Multivariable” M.I Bernabé Rodríguez Tapia

4𝑠 2

2𝑠2 + 2𝑡2 𝑡 + 6𝑠𝑡 2 + 2𝑡2 = 𝑡

=

De manera similar, manteniendo 𝑠 constante se obtiene

𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑥 𝜕𝑤 𝜕𝑦 = + 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝑡 −𝑠 = 2𝑦(2𝑡) + 2𝑥 ( 2 ) 𝑡 𝑠

−𝑠

= 2 (𝑡) (2𝑡) + 2(𝑠 2 + 𝑡 2 ) (𝑡2 ) 2𝑠3 + 2𝑠𝑡2 𝑡2 2 4𝑠𝑡 − 2𝑠 3 − 2𝑠𝑡 2 = 𝑡2 2 2𝑠𝑡 − 2𝑡3 = 𝑡2

𝑠

Sustituir 𝑦 por (𝑡) y 𝑥 por 𝑠 2 + 𝑡2 .

= 4𝑠 −

Ejemplo 3: Regla de la cadena para una función de tres variables independientes. Hallar

𝜕𝑥 𝜕𝑠

y

𝜕𝑤 𝜕𝑡

si 𝑠 = 1 y 𝑡 = 2𝜋, dada la función

𝑤 = 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧

Donde 𝑥 = 𝑠 cos 𝑡, 𝑦 = 𝑠 sin 𝑡 y 𝑧 = 𝑡.

Solución: 𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑥 𝜕𝑤 𝜕𝑦 𝜕𝑤 𝜕𝑧 + + = 𝜕𝑠 𝜕𝑥 𝜕𝑠 𝜕𝑦 𝜕𝑠 𝜕𝑧 𝜕𝑠 = (𝑦 + 𝑧)(cos 𝑡) + (𝑥 + 𝑧)(sin 𝑡) + (𝑦 + 𝑥)(0) = (𝑦 + 𝑧)(cos 𝑡) + (𝑥 + 𝑡)(sin 𝑡). Para 𝑠 = 1 y 𝑡 = 2𝜋, se tiene 𝑥 = 1, 𝑦 = 0 y 𝑧 = 2𝜋. Así, 𝜕𝑤⁄ = (0 + 2𝜋)(1) + (1 + 2𝜋)(0) = 2𝜋. 𝜕𝑠 Y,

Apuntes de clase “Cálculo Multivariable” M.I Bernabé Rodríguez Tapia

𝜕𝑤

𝜕𝑤 𝜕𝑥 𝜕𝑤 𝜕𝑦 𝜕𝑤 𝜕𝑧 + + = 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝑡 𝜕𝑧 = (𝑦 + 𝑧)(−𝑠 sin 𝑡) + (𝑥 + 𝑧)(𝑠 cos 𝑡) + (𝑦 + 𝑥)(1) y si 𝑠 = 1 y 𝑡 = 2𝜋, se sigue que

𝜕𝑤 = (0 + 2𝜋)(0) + (1 + 2𝜋)(1) + (0 + 1)(1) = 2 + 2𝜋. 𝜕𝑡

Bibliografía LARSON, R. H. (2009). CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES: MATEMÁTICAS 3/RON LARSON, ROBERT P. HOSTETLER Y BRUCE H. EDWARS (No. QA303. L3718 2009.)....