LA Regla DE L´ Hopital (conceptos y ejercicios resueltos). PDF

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En matemática, mas especificamente en el calculo diferencial la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli, es una regla que utiliza derivadas para ayudar a evaluar limites de funciones que estén en forma indeterminada....

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TEMA: REGLA DE L´HOPITAL La regla de L´Hopital permite resolver muchos casos de indeterminación de límites de funciones en un punto x = a. En principio la vamos a enunciar así: Un límite indeterminado de la forma:

valdrá L, en caso de que también sea L el límite en x=a del cociente de las derivadas de numerador y denominador, es decir:

De esta manera podemos resolver indeterminaciones del tipo

0 0

Ejemplos Ejemplo 1

Hallar el límite: este límite tiene la forma indeterminada

0 , por tanto, podemos aplicar la regla de 0

L'Hôpital:

límite que sigue teniendo la forma indeterminada

0 , pero a la cual se puede volver 0

a aplicar la regla de L'Hôpital:

que es en definitiva el valor del límite. Pero la regla de L'Hôpital es mucho más general, pues es aplicable no sólo a la indeterminación 0/0, sino también a las indeterminaciones: / , 0× , - .

Por ejemplo, una indeterminación del tipo forma:

/

, provendrá de un límite de la

en donde las dos funciones f(x) y g(x) tiendan a infinito en x=a, y este límite obviamente no varía si lo expresamos en la forma:

y ahora sí tiene la forma 0/0. Ejemplo 2 Hallar el límite:

Este límite en principio toma la forma indeterminada aplicando directamente la regla de L'Hôpital:

/

, y lo resolvemos

En cuanto a las indeterminaciones del tipo 0× , aparecen en límites de productos de funciones f(x)×g(x) cuando una de ellas, p.ej. la f(x) tiende a 0, y la otra, la g(x), tiende a . En este caso nosotros expresaremos el límite en la forma:

y como 1/g(x) tenderá a 0, se obtiene la forma típica 0/0, a la cual se puede aplicar directamente la regla de L'Hôpital.

Ejemplo 3 Hallar el límite:

Este límite tiene la forma 0×

, por lo tanto, operamos como hemos dicho:

habiendo expresado la inversa de la tangente como la cotangente, cuya derivada es: - 1/(seno)², esto es:

Otro tipo de indeterminación susceptible de realizarse por la regla de L'Hôpita es la forma - , que aparece en límites de una resta, es decir, cuando tenemos: f(x) - g(x), y ambas funciones en x=a se hacen + . Para este caso hay que tener en cuenta la siguiente identidad:

y si en en x=a las funciones f y g son infinito, la expresión con sus inversas será 0, por lo que f-g equivaldrá a 0/0; no obstante para aplicar la regla de L'Hôpital, en este caso deberemos transformar f-g como una expresión que incluya un cociente, tal como en el ejemplo siguiente: Ejemplo 4 Hallar el límite:

Este límite tiene la forma - , y antes de aplicar la regla de L'Hôpital debemos ponerlo en forma de cociente:

así expresado el cociente tiene la forma 0/0, y se puede aplicar esta regla:

Finalmente, vamos a ver unos ejemplos en los que la regla de L'Hôpital ha de aplicarse sobre el exponente. Se trata de indeterminaciones del tipo: 0°, °,

, que proceden de límites de una función f(x) elevada a otra función g(x), para su resolución es conveniente tener en cuenta la siguiente identidad:

teniendo en cuenta esta identidad, la cual suele escribirse por comodidad: A = exp(log A), podemos poner:

y ahora si estamos hallando un límite en x=a de esa función exponencial, nosotros calcularemos el límite en el exponente, es decir, dentro del paréntesis de "exp", en concreto el límite de (g×log f), el cual puede ser, por ejemplo, de la forma 0× , cuya forma de resolverse es la del ejemplo 3. Ejemplo 5 Hallar el límite:

Este límite tiene la forma indeterminada 0°, y tal como hemos dicho, puede expresarse:

en el interior del paréntesis (la exponencial) tenemos una indeterminación 0× y ahora procederemos así:...