teoría de la hipérbola y ejercicios resueltos PDF

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teoría sobre álgebra lineal ...

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Geometr´ıa Anal´ıtica

CAPITULO 2.

Se pasa todos los elementos a un lado de la identidad: 3x2 + 4y 2 − 18x − 81 = 0 Se aplica el m´ etodo canonico: ´ 3(x2 − 2 · 3x + 9 − 9) + 4y 2 − 81 = 0 3((x − 3)2 − 9) + 4y 2 − 81 = 0 3(x − 3)2 + 4y 2 = 81 + 27

3(x − 3)2 + 4(y − 0)2 = 108 (x − 3)2 (y − 0)2 =1 + 36 27 El punto M(x,y)describe una elipse en su movimiento tangente a las circunferencias dadas. 5. Dos autom´oviles describen desplazamientos de forma de circunferencias conc´ entricas de radio ’R’ y ’r’ respectivamente. Su velocidad angular ’w’ en ambos casos es constante e igual, pero de sentido opuesto. Qu´ e lugar geom´etrico describe el punto medio del segmento M1 M2 ( x1 = R cos(wt) Para M1 y1 = R sin(wt ) Para M2

(

x2 = r cos(wt) y2 = −r sin(wt )

  1   (x + x ) x =   2 1 2   Para M     1   (x + x )  y = 2 1 2

Tambi´en:

1 x = (R cos(wt) + r cos(wt ) 2 1 x = (R + r) cos(wt) 2

Figura 3.8

1 y = (R sin(wt ) + r sin(wt ) 2 1 y = (R − r) sin(wt) 2 De estas, se obtiene: 2x = cos(wt), (R + r) Elementos B´asicos en la Geometr´ıa

2y = sin(wt) (R − r) 59

Geometr´ıa Anal´ıtica

CAPITULO 2.

Son identidades; por lo tanto, se eleva al cuadrado y se suma: 4x2 = cos2 (wt ), (R + r)2

4y 2 = sin2 (wt) (R − r)2

4y 2 4x2 + = cos2 (wt ) + sin2 (wt ) (R + r)2 (R − r)2 4y 2 4x2 =1 + (R + r)2 (R − r)2

y2 =1 (R + r)2 (R − r)2 4 4 2 y2 x " #2 = 1 #2 + " (R + r) (R − r) 2 2 x2

+

el punto M(x,y) describe una elipse, el estudiante puede ya obtener todos los elementos de dicha elipse.

2.4.6

Ejercicios Propuestos de la Elipse

1. Una elipse tiene su centro en el punto de origen y su eje mayor√coincide con √ el eje ’x’. Hallar la ecuaci´on de la elipse si pasa por los puntos A( 6, −1),B (2, 2) 2. Hallar la ecuaci´ on de la elipse cuyos v´ertices son los puntos A(4,0), B(-4,0) y cuyos focos son F1 (3, 0), F2 (−3, 0) √ ! 7 , 3 tiene su centro en 3. Hallar la ecuaci´on de la elipse que pasa por el punto 2 el punto de origen, su eje menor coincide con el eje ’x’ y la longitud de su eje mayor es el doble que la de su eje menor. 4. Los v´ertices de una elipse son los puntos A(0,6),B(0,-6) y los focos son los puntosF1 (0, 4), F2 (0, −4) Hallar su ecuaci´on. on y los elementos de la elipse, si tienesu centro en el punto 5. Hallar la ecuaci´ √ 14 de origen, uno de los v´ertices (0,-7) y pasa por el punto 5, 3 6. Dada la ecuaci´ on 49x2 + 24y 2 + 490x − 144y + 265 = 0. Definir que figura repaficar la figura. resente, sus elementos y gr´ 7. Dada la ecuaci´ on 5x2 +2y 2 − 10x +4y +7 = 0. Definir que figura represente, sus elementos y gr´ aficar la figura. 0/ra. on x2 + 16y 2 − 2x − 64y + 49 = 0. Definir que figura represente, 8. Dada la ecuaci´ sus elementos y gr´aficar la figura. 9. Dada la ecuaci´ on 9x2 + 4y 2 + 36x − 24y + 36 = 0. Definir que figura represente, sus elementos y gr´aficar la figura. 60

Elementos B´asicos en la Geometr´ıa

Geometr´ıa Anal´ıtica

CAPITULO 2.

10. Dada la ecuaci´ on 3x2 + 4y 2 − 18x − 81 = |0. Definir que figura represente, sus aficar la figura. elementos y gr´ 11. Una circunferencia de radio variable es tangente a x2 + y 2 − 4x = 0 y a x2 + y 2 − 16x − 36 = 0. Qu´e lugar geom´etrico describe el centro de la circunferencia movil? ´ 12. Una circunferencia de radio variable que pasa por el punto P(0,2) es tangente interiormente a x2 + y 2 − 4x = 0 y a x2 + y 2 − 12y − 28 = 0. Que´ lugar geom´etrico describe el centro de la circunferencia movil? ´

2.5

La Hip´erbola.

2.5.1 La Ecuacion ´ de la Hip´erbola etrico de un punto P(x,y), para el cual el valor absoluto La hip´erbola es el lugar geom´ de la diferencia de distancias a dos puntos constantes F1 , F2 , llamados focos, es una constante. La constante en la definici´ on es 2a; por lo tanto:   F1 P − PF2  = 2a Al aplicar la definici´on de distancia, se obtiene: q F1 P = (x − (−c))2 + (y − 0)2 q PF2 = (x − c)2 + (y − 0)2

erbola Figura 3.9 La Hip´ on: Se reemplaza en la definici´ q q (x + c)2 + y 2 − (x − c)2 + y 2 = 2a on la El par´entesis de valor absoluto no se ha escrito, ya que en el proceso de obtenci´ ecuaci´on de la hip´erbola, se elevara al cuadrado la identidad. q 2 q 2  2 2 2 2 = 2a + (x − c) + y (x + c) + y Se eleva al cuadrado y se desarrolla los binomios: q 2 2 2 2 x + 2xc + c + y = 4a + 4a (x − c)2 + y 2 + x2 − 2xc + c2 + y 2 Se simplifica: q xc = a + a (x − c)2 + y 2 2

Se eleva otra vez al cuadrado: h

xc − a2

i2

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 q 2 = a (x − c)2 + y 2 61

Geometr´ıa Anal´ıtica

CAPITULO 2. h

i h i x2 c2 − 2a2 xc + a4 = a2 (x2 − 2xc + c2 + y 2 )

x2 c2 − 2a2 xc + a4 = a2 x2 − 2xca2 + a2 c2 + y 2

Se simplifica: x 2 c 2 + a4 = a2 x 2 + a2 c 2 + y 2 a2 Las variables a un lado de la identidad: a4 − a2 c 2 = a2 x 2 + y 2 a2 − x 2 c 2 Se aplica la distributiva: h i h i a2 a2 − c 2 = x 2 a2 − c 2 + y 2 a2

Para continuar en este proceso, se regresa a la figura 3.6 y se observa: c > a −→ c2 > a2 −→ c2 − a2 > 0 Uno de los elementos que cumple la desigualdad obtenida, es cuando, toma el valor de b; por lo tanto, se puede escribir: c 2 − a2 = b 2 Para aplicar la ultima ´ identidad, se realiza cambios: h i h i −a2 c2 − a2 = −x2 c−2 − a2 + y 2 a2 Se multiplica por (-1)

h i h h i i −a2 c2 − a2 = − x2 c−2 − a2 − y 2 a2 h i h h i i a2 c2 − a2 = x2 c−2 − a2 − y 2 a2

Se reemplaza: a2 b 2 = x 2 b 2 − y 2 a2

Se divide la identidad para a2 b2 :

x 2 b 2 y 2 a2 =1 − a2 b 2 a2 b 2 Finalmente:

x2 y 2 =1 − a2 b 2 on Es la ecuaci´ on general de la hip´erbola de primer orden, tambi´ en conocida, la ecuaci´ canonica ´ de la hip´erbola. erbola, se encuentre en cualquier punto del plano cartesiano: Si el centro de la hip´ (x − h)2 (y − k)2 =1 − b2 a2 erbola. Es la ecuaci´ on general de segundo orden de la hip´ 62

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CAPITULO 2.

2.5.2 La Forma de la Hip´erbola erbola, eso significa que sus coordenadas cumplen Si un punto P(x,y) pertenece a la hip´ con la ecuacion general de la hip´ erbola, pero adem´ as, pertenecen a la hip´ erbola los puntos P’(x,-y), P”(-x,y) y P”’(-x,en, cumplen con la y), ya que, tambi´ erbola: ecuaci´on general de la hip´ x2 (−y)2 − 2 =1 b a2 (−x)2 (y)2 − 2 =1 b a2 2 (−x) (−y)2 =1 − b2 a2 Por lo tanto, los ejes ’x’ e ’y’ son ejes de Figura 4.0 La Forma de la Hiperbola ´ erbola y el punto simetr´ıa de la hip´ de origen del plano cartesiano es el centro de la hip´ erbola, como tambi´ en, es el centro del segmento V1 V2 . Los v´ertices de la hip´erbola, son los puntos de intersecci´ on de la hip´erbola con los ejes de simetr´ıa y se los obtiene cuando y = 0: x = a,

y

x = −a

Los puntos de intersecci´on son: V1 (−a, 0) y V2 (a, 0). La distancia de los v´ ertices V1 V2 erbola. es igual a 2a, a esta distancia, se lo conoce con el nombre de, eje real de la hip´ Los puntos de corte, permite encontrar su dominio, es decir: x2 ≥ 1 −→ x2 ≥ a2 a2 es decir, |x| ≥ a de donde: x ≤ a o x ≥ a, lo que tambi´ en indica, que la hip´ erbola es una figura abierta. La hip´erbola se forma de dos ramas, de las cuales, una esta en el lado derecho del valor x = a, la segunda al lado izquierdo de x = -a. erbola con el eje y, cunado x = 0, se Para encontrar los puntos de corte de la hip´ obtiene : y 2 = −b2

Lo que indica, que no hay puntos de corte de la hip´ erbola con el eje ’y’; es decir, no on reales. La distancia B1 B2 , es conocida con el nombre de hay puntos de intersecci´ eje imaginario de la hip´erbola.

2.5.3 La Hip´erbola y la Recta, su Excentricidad y sus As´ıntotas Se considera una hip´ erbola: x2 (y)2 − 2 =1 b a2 Una recta: y = mx + n Para encontrar sus puntos comunes, se forma un sistema: Elementos B´asicos en la Geometr´ıa

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CAPITULO 2.   y = mx + n         x2 y 2    2− 2 = 1 b a

Se reemplaza la primera ecuaci´ on en la segunda, asociando con respecto la variable ’x’, se obtiene: (a2 m2 − b2 )x2 + 2a2 mnx + a2 (n2 + b2 ) = 0

ıces son los puntos de Como se aprecia, es un polinomio de segundo orden, sus ra´ corte entre la hip´erbola y la recta. Su discriminante ayuda en la soluci´ on:

1. Si el discriminante △ > 0, indica que el polinomio tiene dos ra´ ıces, que serian on: dos puntos de intersecci´ △ > 0 −→ n2 + b2 − a2 m2 > 0 ıces reales; es decir, 2. Si el discriminante △0, indica que el polinomio no tiene ra´ no hay puntos comunes entre las dos figuras. △ < 0 −→ n2 + b2 − a2 m2 < 0 ız doble, que 3. Si el discriminante △ = 0, indica que el polinomio tiene una ra´ erbola seria habr´ıa un punto de intersecci´ on, que en este caso, la recta y hip´ tangentes: △ = 0 −→ n2 + b2 − a2 m2 = 0 en este caso, la abscisa del punto de corte: x0 = −

a2 mn a 2 m2 − b 2

En el caso, en el cual: a2 m2 − b2 = 0 −→ |m| =

b a

La ecuaci´on: (a2 m2 − b2 )x2 + 2a2 mnx + a2 (n2 + b2 ) = 0

on lineal: Se transforma en una ecuaci´

2a2 mnx + a2 (n2 + b2 ) = 0 Si la pendiente, toma uno de los valores: m=

b a

o

m=−

b a

Se dice, que la recta tiene direcci´ on asint´otica con relaci´ on a la hip´erbola. Las rectas de direcci´ on asint´oticas tiene la ecuaci´ on: b y = − x+n a

o

b y = − x+n a

alisis de estas rectas. Se realiza un an´ 64

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CAPITULO 2.

(a) Si la recta tiene la forma: b y = − x+n a En donde: erbola. i. Si n , 0, entonces la recta le corta a la hip´ ii. Si n = 0, la recta no lo corta a la hip´erbola y en este caso las ecuaciones: b b o y= x y =− x a a Son as´ıntotas de la hip´erbola. La excentricidad de la hip´ erbola es: c e= = a

√ a2 + b 2 >1 a

Si en una hip´erbola sucede que a = b, este caso es conocido como una hip´ erbola equilatera.

2.5.4

Ejercicios Resueltos de la Hip´erbola

erbola: 1. encuentre la ecuaci´ on de la tangente a la hip´ 8x2 − 18y 2 = 144 En el punto de ordenada y = 1. El punto, por el cual, se va a trazar una tangente, cumple con la ecuaci´ on de la hip´erbola, por lo tanto: 8x2 − 18y 2 = 144 −→ 8x2 − 18(1)2 = 144 De donde:

9 9 , x2 = − 2 2 Con lo cual, se obtiene las coordenadas del punto, que pertenece a la hip´ erbola en, pertenece y por el cual, se trazara una tangente; es decir, el punto, tambi´ a la tangente.     9 9 P2 − , 1 P1 , 1 2 2 La ecuaci´on de la tangente: y = mx + n x1 =

ı que: Donde m,n no se conoce, (x,y) son las coordenadas del punto; as´   9 1=m +n 2 Falta una condici´ on m´as. En el an´alisis hecho sobre la hip´erbola y la recta, se obtuvo que para el △ = 0, esto era igual a: n 2 + b 2 − a 2 m2 = 0 Donde : a2 = 18; b2 = 8 Elementos B´asicos en la Geometr´ıa

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Geometr´ıa Anal´ıtica

CAPITULO 2.    9   m +n = 1    2      n2 + 8 − 18m2 = 0

Al resolver el sistema se obtiene: m = 2, n = -8. El estudiante debe verificar los resultados. Se obtiene las ecuaciones tangente a la hip´ erbola: y = 2x − 8.

y = −2x − 8

on: 2. Determine el tipo de figura que representa y sus elementos de la ecuaci´ 9x2 − 4y 2 + 18x + 16y − 43 = 0 Se aplica el m´etodo canonico: ´ 9(x2 + 2x) − 4(y 2 − 4y) − 43 = 0 9(x2 + 2 · 1x + 1 − 1) − 4(y 2 − 2 · 2y + 4 − 4) − 43 = 0 9((x + 1)2 − 1) − 4((y − 2)2 − 4) − 43 = 0 9(x + 1)2 − 4(y − 2)2 = 36 (x + 1)2 (y − 2)2 =1 − 4 9 El centro de la hip´erbola y sus ejes: C(−1, 2),

a2 = 4 −→ a = 2,

√ √ c = a2 + b2 = 13,

b2 = 9 −→ b = 3, LR =

2b2 =9 a

Sus v´ertices: V1 (h + a, k ) = (−3, 2), V2 (h + a, k ) = (1, 2) Sus Focos: √ √ F1 (h + c, k) = (−1 − 13, 2), F2 (h + c, 2) = (−1 + 13, 2) Sus as´ıntotas:    (x + 1)2 (y − 2)2 x+1 y −2 x+1 y −2 − =0 + − = 0 −→ 4 3 2 2 3 9    x+1 y −2 x+1 +2 − = 0 −→ y = 3 2 2 3     x+1 y −2 x+1 +2 + = 0 −→ y = −3 2 2 3 

el gr´afico debe realizarlo el estudiante. 66

Elementos B´asicos en la Geometr´ıa

Geometr´ıa Anal´ıtica

CAPITULO 2.

3. Determine el tipo de figura que representa y sus elementos de la ecuaci´ on: 4x2 − 3y 2 − 8x + 12y + 28 = 0 Se aplica el m´etodo canonico: ´ 4(x2 − 2x) − 3(y 2 − 4y) + 28 = 0 4(x2 − 2x + 1 − 1) − 3(y 2 − 4y + 4 − 4) + 28 = 0 4((x − 1)2 − 1) − 3((y − 2)2 − 4) + 28 = 0 4(x − 1)2 − 4 − 3(y − 2)2 + 12 + 28 = 0

Se multiplica por (-1):

4(x − 1)2 − 3(y − 2)2 = −36 3(y − 2)2 − 4(x − 1)2 = 36

(y − 2)2 (x − 1)2 =1 − 9 12 Como el signo (+) delante de la variable y, lo que significa, que la hip´ erbola erbola y sus se abre para arriba y para abajo en el eje y. El centro de la hip´ ejes: √ C(1, 2), a2 = 12 −→ a = 2 3, b2 = 9 −→ b = 3, √ √ √ 2b2 =3 3 c = a2 + b2 = 21, LR = a Sus v´ertices: V1 (h, k − b) = (1, −1), V2 (h, k + b) = (1, 5) Sus Focos:

√ √ F1 (h, k − c) = (1, 2 − 21), F2 (h, k + c) = (1, 2 + 21) Sus as´ıntotas: # #" " (y − 2) (x − 1) (y − 2) (x − 1) (y − 2)2 (x − 1)2 = 0 −→ − √ + √ − 12 3 3 9 2 3 2 3 √ # " 2 3(x − 1) (y − 2) (x − 1) = 0 −→ y = +2 √ − 3 3 2 3 √ # " 2 3(x − 1) (y − 2) (x − 1) = 0 −→ y = − √ + +2 3 3 2 3 el gr´afico debe realizarlo el estudiante. 4. Uno de los teoremas mas utilizados en la practica, para obtener la ecuaci´ on ıntotas y un punto P dado. de la hip´ erbola, es dado las ecuaciones de las as´ ıntotas , es una conEl teorema es: El producto de las distancias a las as´ stante. Dadas las as´ıntotas de la hip´erbola: x − y − 5 = 0, Elementos B´asicos en la Geometr´ıa

x +y +1 = 0 67

Geometr´ıa Anal´ıtica

CAPITULO 2. Que pasa por el punto P(-3,1). Se aplica el teorema indicado: x−y −5 √ 2

!

! −x − y − 1 =k √ 2

Donde k es una constante, que se debe calcular, para lo cual se utiliza el punto dado: ! ! −3 − 1 − 5 3 − 1 − 1 =k √ √ 2 2 Se obtiene el valor de k: 9 k=− 2 Se reemplaza : ! ! x − y − 5 −x − y − 1 9 =− √ √ 2 2 2 Se realiza las operaciones: x2 − y 2 − 4x − 6y − 14 = 0 Se aplica el m´etodo canonico: ´ (x2 − 4x + 4 − 4) − (y 2 + 6y + 9 − 9) − 14 = 0 ((x − 2)2 − 4) − ((y + 3)2 − 9) − 14 = 0 ((x − 2)2 − 4 − (y + 3)2 + 9 − 14 = 0 (x − 2)2 − (y + 3)2 = 9

(x − 2)2 (y + 3)2 =1 − 9 9 erbola equilatera.. Es una hip´ 5. Encontrar la ecuaci´ on de la tangente a la hip´ erbola : 3x2 − 4y 2 − 12 = 0. Desde el punto P(6,5). Se utiliza la ecuaci´ on : y = mx + b, se reemplaza en la ecuaci´ on de la hip´erbola: 3x2 − 4(mx + b)2 − 12 = 0 3x2 − 4(m2 x2 + 2mxb + b2 ) − 12 = 0

3x2 − 4m2 x2 − 8mxb − 4b2 − 12 = 0

Se ordena el polinomio:

3x2 − 4m2 x2 − 8mxb − 4b2 − 12 = 0 x2 (3 − 4m2 ) − 8mxb − 4(b2 + 3) = 0

Es un polinomio de segundo orden, igualando a cero su discriminante, nos ayuda para resolver el ejercicio: △ = b2 − 4ac = 0 −→ △ = (−8mb)2 − 4(3 − 4m2 )(−4b2 − 12) = 0 68

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Geometr´ıa Anal´ıtica

CAPITULO 2. 64m2 b2 − 4(−12b2 − 36 + 16m2 b2 + 48m2 ) = 0 64m2 b2 + 48b2 + 144 − 64m2 b2 − 192m2 = 0 48b2 + 144 − 192m2 = 0

Se divide para 48: b2 − 4m2 + 3 = 0 Se tiene una ecuacion con dos variables, se utiliza el punto dado P(6,5), reemplazando en la ecuaci´ on: y = mx + b −→ 5 = 6m + b −→ b = 6m − 5 Se reemplaza: b2 − 4m2 + 3 = 0 −→ (6m − 5)2 − 4m2 + 3 = 0 36m2 − 60m + 25 − 4m2 + 3 = 0 32m2 − 60m + 28 = 0

Se divide para 4: 8m2 − 15m + 7 = 0

Es un polinomio de segundo orden, se encuentra sus ra´ ıces: △ = b2 − 4ac = 0 −→ △ = (−15)2 − 4(8)(7) = 1 : m1,2 =

−b ± 1 ; 2(8)

m1 = 1, m2 =

: Se obtiene b: b = 6m − 5 −→ b1 = 1,

b2 = −

7 8 2 8

Las ecuaciones de las tangentes son: y = x − 1,

2.5.5

7 1 y = m− 4 8

Ejercicios Propuestos de la Hip´erbola

1. Encuentre y Grafiqu´ e los elementos de la hip´erbola. 2 2 1. 4x − 9y = 1 1. 8x2 − 3y 2 = 2 2. 3x2 − 12y 2 = 36

2. y 2 − 2x2 = 2

2. Encuentre el angulo ´ entre las as´ıntotas de la hip´erbola 3x2 − y 2 = 1

3. Encuentre la ecuaci´ on canonica ´ de la hip´erbola, si se conoce :

1. La diferencia entre el eje real e imaginario es de uno y su excentricidad 5 e= 4 4 2. La distancia entre sus focos es de 16 y su excentricidad e = 3 Elementos B´asicos en la Geometr´ıa

69...