1.6.2. Cálculo de áreas Negativas. PDF

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Cálculo de Áreas negativas. Activudades de cierre cálculo integral 2021-2022...

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Calcula el área sombreada en la gráfica siguiente. Registra en cada paso del procedimiento, lo que se te pide.

1. ¿En cuántos intervalos se compone el área total de la figura? En 3 intervalos. 2. El área de la función se encuentra por debajo de 𝑥 en los intervalos entre 𝑎=

−2 y 𝑏 = −1 y entre 𝑎 = 2 y 𝑏 = 3

3. El área de la función se encuentra por arriba de 𝑥, en el intervalo entre 𝑎 = −1 y 𝑏=

2

4. ¿En qué intervalos, el área por calcular resultará en un valor negativo? El intervalo de −2 a −1 (−2, − 1) y el intervalo de 2 a 3 (2,3) 5. ¿En qué intervalos, el área por calcular resultará en un valor positivo? (− 1,2) 6. Plantea el cálculo de las áreas en cada intervalo en que se compone el área total. 7. Invierte el orden de los límites de integración a las que representen en el gráfico, regiones de área por debajo de 𝑥 para evitar resultados negativos. 8. Resuelve las tres integrales aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo. 9. Determina el área total. [−1]

A1 =

∫[−2]

[2]

3

2

[x − 4x + x + 6]d x.

[3]

A3 =

∫[2]

[x 3 − 4x 2 + x + 6]d x

A2 =

∫[−1]

[x 3 − 4x 2 + x + 6]d x.

Área 1; usando

−2 de límite inferior y −1 de superior.

∫−2

(x 3 − 4x 2 + x + 6)d x

=[

4x 2+1 x 1+1 x 3+1 −1 − + 6x]−2 + 3+1 1+1 1+1

−1

x 4 4x 3 x 2 + 6x]−1 + =[ − −2 2 3 4 =

(− 2)4 4(− 2)3 (− 2)2 (−1)4 4(− 1)3 (− 1)2 − − + + 6(−1) − [ + + 6(− 2) 3 2 3 2 4 4

=

1 4 1 32 − + − 6 − [4 + + 2 − 12] 3 4 3 2

A1 = −

103

u2

12

Área 1; usando −1 de límite inferior y −2 de superior. Ahora se cambian los límites para obtener un resultado positivo.

∫−1

(x 3 − 4x 2 + x + 6)d x

=[

x 1+1 x 3+1 4x 2+1 −2 − + 6x]−1 + 3+1 1+1 1+1

−2

(−2)4 4(− 2)3 (− 2)2 (− 1)4 4(− 1)3 (− 1)2 − − = + + 6(−2) − [ + + 6(− 1)] 4 4 3 2 3 2 =4+

32 3

+ 2 − 12 − [

1 4 1 + + − 6]. 4 3 2

A1 =

103 2 u 12

Área 2; usando

−1 de límite inferior y 2 de superior.

2

∫−1

[x 3 − 4x 2 + x + 6]d x

=[

4x 2+1 x 1+1 x 3+1 2 − + 6x]−1 + 3+1 2+1 1+1

x 4 4x 3 x 2 + 6x]2−1 + =[ − 2 3 4 =

(− 1)4 4(− 1)3 (− 1)2 (2)4 4(2)3 (2)2 − − + + 6(2) − [ + + 6(− 1)] 3 2 3 2 4 4

=4− A2 =

32 1 4 1 + 2 + 12 − [ + + − 6] 3 4 3 2

45 2 u 4

Área 3; usando

2 de límite inferior y 3 de superior.

3

∫2

[x 3 − 4x 2 + x + 6]d x

=[

x 1+1 x 3+1 4x 2+1 − + 6x]23 + 3+1 2+1 1+1

x 4 4x 3 x 2 =[ − + 6x]32 + 4 2 3 =

(2)4 4(2)3 (2)2 (3)4 4(3)3 (3)2 − − + 6(3) − [ + + + 6(2)] 2 3 3 2 4 4

=

81 108 9 32 − + + 18 − [4 − + 2 + 12] 3 2 3 4

=

27 22 − 3 4

A3 = −

7 2 u 12

Área 3; usando 3 de límite inferior y 2 de superior Ahora se cambian los límites para obtener un resultado positivo. 2

∫3

[x 3 − 4x 2 + x + 6]d x

=[

x 3+1 4x 2+1 x 1+1 − + + 6x]32 3+1 2+1 1+1

x 4 4x 3 x 2 + =[ − + 6x]23 3 4 2 =

(3)4 4(3)3 (3)2 (2)4 4(2)3 (2)2 − − + 6(2) − [ + + + 6(3)] 2 3 3 2 4 4

=4− =

81 108 9 32 − + + 18] + 2 + 12 − [ 3 3 2 4

22 27 − 4 3

AT = A1 + A2 + A3 = AT =

245 = 20.416 12

A3 =

7 2 u 12

7 245 103 45 + + = 12 4 12 12...