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esercizio in preparazione agli esami di statistica molto utile...

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FIRMA DELLO STUDENTE

PRIMA PROVA INTERMEDIA DI STATISTICA (COD. 30001/6045/5047/4038/371/377) 21 ottobre 2016 Cognome

Nome

Numero di matricola

Corso di Laurea

Cod. corso

COMPITO A Ai fini della valutazione si terrà conto solo ed esclusivamente di quanto riportato negli appositi spazi. Si richiede una traccia dello svolgimento dell’esercizio e dei calcoli effettuati per rispondere alle domande Al termine della prova, è OBBLIGATORIO consegnare il presente foglio ed il foglio di brutta (DI CUI NON SI TERRÀ CONTO AI FINI DELLA VALUTAZIONE).

ESERCIZIO 1 (punti 7) In un’analisi riguardante tutte le 150 aziende di un settore, è emerso il seguente risultato in termini di FATTURATO (in milioni di euro): Densità di FATTURATO Frequenza [0, 20)

0.0100

[20, 50)

0.0200

[50, 100)

0.0020

[100, 200]

0.0010

a) Si stabilisca la tipologia della variabile FATTURATO e la si rappresenti graficamente. b) Si calcoli il numero di aziende comprese in ciascuna classe di fatturato. c) Determinare la classe modale e i valori di media e mediana del FATTURATO. a) FATTURATO è una variabile quantitativa continua raggruppata in classi di intervallo. La rappresentazione più opportuna è l’istogramma. Essendo le classi di diversa ampiezza, è necessario utilizzare la densità di frequenza nel grafico, come segue:

b) Partendo dalla densità di frequenza (ci) e dall’ampiezza di ciascun intervallo (wi), è possibile risalire alla frequenza relativa (pi) e quindi (essendo nota l’ampiezza della popolazione di aziende) alla frequenza assoluta (fi) di ogni classe: FATTURATO

ci

wi

pi = (ci * wi)

fi =( pi * N)

[0, 20) [20, 50)

0.0100

20

0.2

[50, 100)

0.0200 0.0020

30 50

0.6 0.1

30 90

[100, 200]

0.0010

100

0.1

15 15

c) La classe modale è [20, 50) in quanto è l’intervallo con maggiore densità di frequenza. Essendo la variabile raggruppata in classi, è possibile trovare i valori approssimati degli indicatori di tendenza centrale come segue: 2

MEDIA: µ =

1 N

k

∑fm i

i

=

i=1

(300 + 3150 + 1125 + 2250) 6825 = = 45.5 150 150

FATTURATO

fi

mi

fi mi

[0, 20)

30

10

300

[20, 50) [50, 100)

90

35

15

75

3150 1125

[100, 200]

15

150

2250

MEDIANA: La classe mediana è [20, 50), in quanto la frequenza cumulata supera 0.5. In modo approssimato è possibile trovare il valore della mediana come segue:

0.5 = 𝐹!!! + 𝑐! ∙ 𝑀𝑒 − 𝑥! = 0.2 + 0.02 𝑀𝑒 − 20 → 𝑴𝒆 = 20 + 0.3 0.02 = 𝟑𝟓 ESERCIZIO 2 (punti 6) Per le stesse 150 aziende presentate nell’esercizio 1, si sono raccolti ulteriori dati sugli UTILI e sugli Investimenti Pubblicitari (INVPUB), entrambi in milioni di euro. Alcuni calcoli sui dati raccolti sono riportati nella tabella seguente:

Totale

UTILI

INVPUB

UTILI2

INVPUB 2

450

30

2700

61,5

a) Che cosa si può dire del numero di aziende con utili compresi nell’intervallo (-3, 9)? Si giustifichi la risposta evidenziando le ipotesi necessarie per arrivare al risultato proposto. b) Quale dato risulta maggiormente variabile, UTILI o INVPUB? Si giustifichi la risposta utilizzando opportuni indicatori.

a) Non avendo informazioni sulla distribuzione del fatturato, è possibile applicare la disuguaglianza di Chebyshev per fornire un’indicazione sul numero di aziende con utile nell’intervallo (-3,9). Per l’applicazione della regola, non vi è alcuna ipotesi distributiva, tuttavia è necessario conoscere media e deviazione standard della popolazione. Si procede quindi con il calcolo dei due misure per la variabile UTILI: 𝜇!"#$# =

𝜎!"#$# =

!"# ! !!! 𝑥!

150

!"# !!! 𝑥!

150

! = − 𝜇!"#$#

450 =

150

=3

2700 − 3! = 3 150

Notiamo che l’intervallo (-3,9) non è altro che 𝜇!"#$# ± 2 ∙ 𝜎!"#$# ; perciò, applicando la disuguaglianza di Chebyshev, è possibile dire che nell’intervallo considerato si troveranno almeno il 75% delle osservazioni, pari a 112.5 aziende. In conclusione, nell’intervallo di UTILI (-3,9) vi sono almeno 112.5 aziende (approssimabile a 113). b) Per confrontare la variabilità dei due caratteri, essendo il valore medio molto diverso, è opportuno utilizzare il coefficiente di variazione. Tenendo presente quanto già calcolato nel punto a), si procede come segue: 3

!"# !!!

30 𝑦! = = 0.2 150 150

𝜇!"#$%& =

𝜎!"#$%& =

!"# 𝑦! !!! !

150

! = − 𝜇!"#$%&

𝐶𝑉!"#$# =

𝐶𝑉!"#$%& =

61.5 − 0.2! = 0.6083 150

3 𝜎!"#$# = =1 𝜇!"#$# 3

𝜎!"#$%& 0.6083 = = 3.0415 𝜇!"#$%& 0.2

Dal confronto dei due coefficienti di variazione risulta che il carattere INVPUB è più variabile. ESERCIZIO 3 (punti 9) In una ricerca di Customer Satisfaction (CS), si vuole indagare la relazione che esiste tra il Livello di CS e la classe di età (Età) dell’intervistato. Le analisi sui dati raccolti hanno generato la tabella seguente:

Età Livello CS

60

Totale

Basso

100

40

?

?

80

50

110

240

180

90

?

400

Alto Totale

a) Si completi opportunamente la tabella con i dati mancanti (indicati con il punto interrogativo nella tabella) e si calcolino le frequenze relative congiunte. b) Si calcoli la percentuale di intervistati con Età pari a 30 anni e oltre, e la percentuale di intervistati con Livello CS Basso ed Età minore o uguale a 60 anni. c) Esiste una relazione tra i due caratteri? Per rispondere, si costruisca un opportuno grafico e lo si commenti. d) Nel caso di due caratteri quantitativi è possibile calcolare il coefficiente di correlazione "r" per valutare la relazione di dipendenza fra i due caratteri? Definite r e precisate dettagliatamente le informazioni che esso fornisce.

a) Tabella completata: !!!!!!!!!!!!!!!!Età!

60

Basso%

100#

40#

20!

160!

Alto%

80#

50#

110#

240#

Totale%

180#

90#

130!

400#

Livello*CS*

4

Totale

Tabella con frequenze relative congiunte: !!!!!!!!!!!!!!!!Età!

60

Basso% Alto%

0.2500# 0.2000#

0.1000# 0.1250#

0.0500# 0.2750#

0.4000# 0.6000#

Totale%

0.4500#

0.2250#

0.3250#

1.0000#

Livello*CS*

b) 𝐹𝑟 𝐸𝑡à ≥ 30 =

Totale

!"!!"#

= 0.55 → 55% 100 + 40 = 0.35 → 35% 𝐹𝑟 Età ≤ 60; Livello CS = "𝐵𝑎𝑠𝑠𝑜" = 400 !""

c) Per analizzare la relazione tra i due caratteri è necessario calcolare le frequenze relative subordinate. In particolare, risulta interessante studiare come il livello di CS dipende dall’Età, quindi si ricaveranno le subordinate per colonna (Livello CS | Età). Età!

60

Basso%

0.5556#

0.4444#

0.1538#

0.4000#

Alto%

0.4444#

0.5556#

0.8462#

0.6000#

Totale%

1.0000#

1.0000#

1.0000#

1.0000#

Livello*CS*

Totale

Il grafico più opportuno per rappresentare le frequenze subordinate è il diagramma a barre sovrapposte (o in alternativa a barre accostate).

Basso# 100%# 90%# 80%# 70%# 60%# 50%# 40%# 30%# 20%# 10%# 0%#

44.44%%

Alto#

55.56%% 84.62%%

55.56%%

44.44%% 15.38%%

60#

Dall’analisi del grafico risulta evidente la dipendenza tra i due caratteri, in quanto il livello di soddisfazione cambia notevolmente al variare della classe d'età. In particolare si nota che i rispondenti più giovani presentano un livello di soddisfazione più basso rispetto alle altre due classi. Per esempio, nella classe “>60” si rileva una percentuale di soddisfazione alta di circa l’85%, mentre solo il 44.44% dei rispondenti con età inferiore ai 30 anni mostra elevata soddisfazione. d) [Si veda il materiale del corso]. 5

ESERCIZIO 4 (punti 4) In un corso di statistica, il docente ha misurato il tempo medio necessario a un gruppo di 80 studenti per risolvere un tema d’esame. Si supponga che la deviazione standard del tempo di risoluzione nella popolazione sia pari a 20 minuti. a) Qual è la probabilità che la media campionaria superi la media della popolazione per più di 5 minuti? b) Qual è la probabilità che la media campionaria differisca per più di 2 minuti dalla media della popolazione? a) Denominato X=”Tempo di risoluzione”, essendo il campione sufficientemente grande è possibile applicare il teorema centrale del limite, ottenendo che: 𝑋 ≈ 𝑁(𝜇! = 𝜇! ; 𝜎! =

𝜎! 𝑛

)

𝜎!

L’errore standard della media campionaria è pari a 𝜎! =

𝑛

= 20

80

= 2.2361

Ne consegue che:

𝑃 𝑋 − 𝜇! > 5 = 𝑃

5 𝑋 − 𝜇! >𝜎 𝜎! ! 𝑛 𝑛

=𝑃 𝑍>

5 = 2.2361

= 1 − 𝐹! 2.2361 ≅ 0.0125 b) Partendo dalle stesse considerazione fatte per il punto a), risulta che:

𝑃 𝑋 − 𝜇! > 2 = 2 ∙ 𝑃

𝑋 − 𝜇! 2 >𝜎 𝜎! ! 𝑛 𝑛

= 2 ∙ 1 − 𝐹! 0.8944

=2∙𝑃 𝑍>

2 = 2.2361

≅ 0.3734

ESERCIZIO 5 (punti 5) In 11 città americane si sono osservati le concentrazioni di fluoro nell’acqua (FLUORO) e il numero di carie per 100 bambini (CARIE); i dati ottenuti sono riportati nella tabella seguente: OBS

FLUORO (X)

CARIE (Y)

1 2

1.9 2.6

236 246

3 4

1.2 0.9

258 343

5

0.6

412

6 7

0.5 0.4

444 556

8 9

0 0.2

722 733

10 11

0.1 0.1

772 823

6

a) Si osservi il seguente diagramma di dispersione. Risulta coerente con i dati forniti? Quali osservazioni siete in grado di trarre osservando il grafico stesso?

Diagramma#dispersione# 900# 800# 700#

CARIE#

600# 500# 400# 300# 200# 100# 0# 0#

0.5#

1#

1.5#

2#

2.5#

3#

FLUORO#

b) Sapendo che !! !!! 𝑥! =8.5,

!! !!!

!! ! !!! 𝑥! =13.45,

𝑦!=5545,

!! !!!

𝑥! 𝑦! =2704,

si calcoli l’interpolante lineare che mostra la relazione tra CARIE e FLUORO. c) Si preveda il numero di carie per 100 bambini corrispondente a una concentrazione di fluoro pari a 0.7.

a) Il grafico proposto è un diagramma di dispersione a rappresenta correttamente, in modo congiunto, le variabili FLUORO e CARIE. Dal grafico è possibile osservare la presenza di una relazione tra fluoro e carie, in particolare si nota che al crescere della concentrazione di fluoro nell’acqua, il numero di carie diminuisce (anche se la relazione non sembra essere lineare). b) È possibile calcolare i coefficienti del modello lineare come segue: 𝑏! =

𝑠!" 𝑠!!

𝑏! = 𝑦 − 𝑏! ∙ 𝑥

;

In primo luogo si procede al calcolo delle medie campionarie di X e Y: 𝑥=

𝑦=

!! !!! 𝑥!

11

!! !!! 𝑦!

11

=

=

8.5 = 0.7727 11

5545 = 504.0909 11

Quindi è possibile calcolare la covarianza 𝑠!" e la varianza 𝑠!! utilizzando le rispettive formule ridotte: 𝑛 𝑠!" =

𝑛−1

∙

!! !!!

𝑥!∙ 𝑦!

11

−𝑥∙𝑦 =

11 2704 ∙ − 0.7727 ∙ 504.0909 = −158.0621 11 10 7

𝑠!! =

𝑛 ∙ 𝑛−1

!! !!!

𝑥!!

11

− 𝑥! =

11 13.45 ∙ − 0.7727! = 0.6882 11 10

Infine si calcolano i coefficienti del modello come segue: 𝑏! =

𝑠!" −158.0621 = −229.6967 ! = 𝑠! 0.6882

𝑏! = 504.0909 + 229.6967 ∙ 0.7727 = 681.5776 La retta stimata è la seguente: 𝑦 = 681.5776 − 229.6967 ∙ 𝑥 c) Utilizzando la retta di regressione appena stimata, la previsione risulta essere: 𝑦 = 681.5776 − 229.6967 ∙ 0.7 = 520.7899

8...