1.Teorema de fisher - Lecture notes 1 PDF

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Teorema de separación de Fisher Por Eliseo Navarro Arribas Departamento de Análisis Económico y Finanzas Universidad de Castilla-La Mancha En ambiente de certidumbre supongamos que un individuo tiene un presupuesto consistente en 100 u del bien de consumo disponibles 7hoy: y 50 unidades del bien de consumo disponibles 7mañana:. Para cambiar su senda intertemporal de consumo tiene la posibilidad de llevar a cabo los siguientes proyectos de inversión: Inversion

Rentabilidad

25 u. 25 u. 25 u. 25 u.

30 % 60 % 2% 20 %

Al mismo tiempo existe tiene la posibilidad de acudir a un mercado financiero en el que es posible invertir y emitir títulos que ofrecen una rentabilidad del 10 % a) Obtenga la curva de oportunidades de producción (suponga que si decide vender hoy los activos que le proporcionan las 50 u. del bien de consumo en t=1 puede obtener 25 u. del bien de consumo ) b) Dibuje la línea del mercado de capitales que pasa por el punto (C0 ; C1) = =(100,50) c) Determine cuál de los proyectos de inversión llevará a cabo d) Describa la evolución de la riqueza del inversor donferme va acometiendo los proyectros de inversión.

Respuesta:

a) El inversor en primer lugar procederá a ordenar los proyectos de inversión de mayor a menor rentabilidad de tal forma que llevará a cabo en primer lugar aquellos proyectos más rentables Inversion

Rentabilidad

25 u. 25 u. 25 u. 25 u.

60 % 30 % 20 % 2%

Si lleva adelante el primer proyecto disponible renunciará a 25 unidades hoy a cmabio de incrementar su consumo futuro en: ǻC1 = 25 · (1+ R1) = 25 · (1+0.60) = 40 Luego el nuevo par de consumo presente/consumo futuro es (C0I , C1I) = (100 - 25; 50 + 40) = (75; 90) Si lleva adelante el segundo proyecto de inversión renunciara a 25 unidades adicionales de consumo presente a cambio deinccrementar su consumo futuro en: ǻC1 = 25 · (1+ R2) = 25 · (1+0.30) = 32_5 u. luego el nuevo par de consumo presente/consumo futuro es (C0II , C1II) = (75 - 25; 90 + 32_5) = (50; 122_5) De igual forma si lleva a delante el tercer proyecto ǻC1 = 25 · (1+ R3) = 25 · (1+0.20) = 30 u. Y el nuevo par alcanzable de consumo es: (C0III , C1III) = (50 - 25; 122_5 + 30) = (25; 152_5) Por último si llevara adelante el cuarto proyecto de inversión: ǻC1 = 25 · (1+ R4) = 25 · (1+0.02) = 25_50 u. Y el par de consumo presente consumo futuro sería: (C0IV , C1IV) = (25 - 25; 152_5 + 25_50) = (0; 178) b) La línea del mercado de capitales que pasa por el punto (100; 50) viene dada por: (C0; C1) = (100- I; 50 + I (1+R)) Es decir, si deseo incrementar mi consumo futuro acudiendo al mercado de capitales n vertiré en la compra del activo financiero que proporciona una rentabilidad del 10 % C0 100 75 50 25 0

C1 50 50 + 25 (1+0_1) = 77_5 77_5 + 25·(1+0_10) = 105 105 + 25 (1+0_10) = 132_5 132_5 + 25 (1+0_10) = 160

Al mismo tiempo puede pedir prestado hasta una cantidad X tal que X (1+R) = C1, es decir

X = C1 / (1+R) = 50 /(1+0_10) = 45_50 Luego la máxima cantidad del bien de consumo de la que uede disponer hoy si acude altercado de capitales es W0 = C0 + C1 / (1+R) = 100 + 50 /(1+0_1) = 145_45 u. Luego la línea del mercado de capitales pasa también por el punto (145_45; 0) c) La curva de oportunidades de producción y la linea del mercado de cpitales podemos representarla como sigue: 200

180

160

Consuma mañana (unidades)

140

120

100

80

60

40

20

0 0

25

50

75

100

125

150

175

Consumo hoy (unidade s)

Si el inversor desea incrementar su consumo futuro, a la hora de escoger entre el mercado de capitales y los proyectos de inversión escogerá aquél que le ofrezca un mayor incremento en consumo futuro en este caso la economía real. 200

180

160

Cosunmo mañana (unidades)

140

120

100

80

ǻC1=22,5 u

ǻC1=40 60

40 Inv er s ión = 25 u. 20

0 0

25

50

75

100

Com sum o hoy (unidades )

125

150

175

Pero obsérvese que, incluso si no está interesado en incrementar su consumo futuro, llevará a cabo el proyecto de inversión es decir tratará de alcanzar el punto (C0I , C1I) Es decir e punto (75; 90) ya que es en cualquier caso preferible a (100; 50). Téngase en cuenta que si estoy en (75; 90) puedo pedir prestado en el mercado de capitales 25 u. del bien de consumo lo que implicaría renunciar a 25 · (1+0_10) u. de consumo futuro es decir a 27_5 unidades. De esta forma si llevo a cabo el primer proyecto de inversión y tomo prestado en el mercado de capitales 25 u. del bien puedo alcanzar el siguiente punto (75 +`25; 90 i 27_5) = (100, 62_5) que evidentemente es una combinación preferible a la inicial (100, 50). Luego aunque no desee incrementar mi consumo futuro lelvaría a cabo el proyecto de inversión lo que me permitiría tomando prestado en el mercado de capitales aumentar mi consumo presente. c) La existencia de un mercado de capitales permite comparar 7objetivamente: pares de consumo presente / consumo futuro. De hecho permite obtener una medida de la riqueza de los individuos que puede medirse como la posibilidad máxima de consumo presente que in inversor puede alcanzar si renunciara a todo su consumo futuro Así la riqueza inicial viene dada: W0 = C0 + C1 /(1+R) = 100 + 50 /(1+0_10) = 145_45 u. Si lleva a cabo el primer proyecto su riqueza pasa a ser. W0I = C0I + C1I /(1+R) = 75 + 90 / (1+0_10) = 156_82 > 145_45 Así conforme va llevando adelante proyectos de inversión. W0II = C0II + C1II /(1+R) = 50 + 122_5 / (1+0_10) = 161_36 > 156_82 W0III = C0III + C1III /(1+R) = 25 + 152_5 / (1+0_10) = 163_64 > 161_36 W0IV = C0IV + C1IV /(1+R) = 0 + 178 / (1+0_10) = 161’82 < 163’36 Obsérvese que un proyecto se va a llevar a cabo si le permite incrementar su riqueza es decir si W0I > W0. Esto es equivalente a: CoI 

C1 C1I ! Co *  (1  R ) (1  R )

 I 0 

(C Io  C 0 ) 

(C1I  C1 ) ! 0 (1  R)

'C1 ! 0  VAN ! 0 (1  R)

Donde I0 es la cuantía de la inversión inicial del proyecto.

200

180

160

Consuma mañana (unidades)

140

120

100

80

60

40

20

0 0

25

50

75

100

125

150

175

Consum a hoy (unidade s)

200

180

160

Consumo mañana (unidades)

140

120

100

80

60

40

20

0 0

25

50

75

100

Consum o hoy (unidade s)

125

150

175

200

180

Consumo mañana (unidades

160

140

120

100

80

60

40

20

0 0

25

50

75

100

125

150

175

Consum o hoy (unidades )

Obsérvese por último que la decisión de invertir es independiente de as preferencias d elos agentes individuales:

200

180

consum o mañana (unidades)

160

140

120

100

80

60

40

20

0 0

25

50

75

100

Coms umo hoy (unidade s)

125

150

175

Llegamos así a enunciar el Teorema de separación de Fisher que dice los siguiente:

Dados mercados de capitales completos y perfectos la decisión de invesión-producción viene dada exclusivamente por un criterio de mercado objetivo que es la maximización de la riqueza y es independiente de las preferencias subjetivas de los individuos que toman la decisión de consumo....