2 - Análisis EN Servicio Y EN Rotura PDF

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Temas teóricos de clase de la asignatura, muy completos y muy bien desarrollados....

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GEOTECNIA Grado en Ingeniería Civil - E.T.S.I. Sevilla - 2020-2021

TEMA 2

MODELOS GEOTÉCNICOS PARA ANÁLISIS DE SUELOS EN SERVICIO Y EN ROTURA Juan Diego Bauzá Castelló

ÍNDICE W Análisis en servicio y en rotura W Teoría de la elasticidad aplicada a suelos: r Conceptos y constantes elásticas

r El semiespacio de Boussinesq r Tensiones inducidas en suelos por la

aplicación de cargas flexibles r Cálculo de asientos r Cargas rígidas r Parámetros elásticos de suelos y rocas

W Análisis en rotura de suelos:

r Estados de Rankine r Teoremas de la cota inferior y superior

W Coeficiente de seguridad W Recordatorio de conceptos básicos

Karl von Terzaghi (1.883-1.963)

ANÁLISIS EN SERVICIO Y EN ROTURA W Para evitar alcanzar estados de fallo, lo normal en proyectos de ingeniería es proyectar con un margen de seguridad suficiente que garantice que el estado tensional del terreno en condiciones de servicio tras la aplicación de las cargas está suficientemente alejado de aquél que produce la situación de rotura W Por ello se suelen plantear dos tipos de análisis: r Análisis en servicio: suelen admitirse comportamientos

mecánicos simples y conocidos, como la teoría de la elasticidad r Análisis en rotura: se reconoce directamente la no linealidad y plasticidad en el comportamiento de los suelos

W La comparación entre ambos estados nos informará de la seguridad o confianza en la obra proyectada

ANÁLISIS EN SERVICIO W Para analizar los estados tenso-deformacionales y comprobar si se alcanzan las situaciones límite es preciso determinar las tensiones en diversos puntos del terreno W Para ello se emplean los modelos mecánicos W Interesa conocer, principalmente: r Tensiones verticales (gravitatorias, sobrecargas, etc.) r Tensiones horizontales:

• Sirven para evaluar empujes sobre estructuras de contención • Suelen estimarse como proporcionales a las verticales

W Estas tensiones servirán: r Para evaluar posibles situaciones de rotura, plastificación, etc. r Calcular las deformaciones previstas, asientos

fundamentalmente

TEORÍA DE LA ELASTICIDAD W Como modelo matemático la Teoría de la Elasticidad es una de las más aplicadas dado su alto desarrollo, su sencillez y su relativa validez W Se basa en que las deformaciones se recuperan tras la retirada de las cargas que las han provocado W Es aplicable a los suelos en determinadas circunstancias lejos de rotura W Es posible aplicar modelos más sofisticados, sin perder la idea de que se trata de una modelización aproximada W La mayor incertidumbre está en la estimación de los parámetros adoptados

Thomas Young (17731829)

W Científico inglés, comenzó sus estudios de medicina en Londres (1792) finalizando en Gotinga con el grado de doctor en física en 1796. W Como profesor de la Royal Institution realizó 91 conferencias publicadas en 1807 bajo el título: Course of Lectures on Natural Philosophy y contenían un buen número de anticipaciones de teorías que serían desarrolladas con posterioridad. W Presentó la teoría de la visión del color denominada Young-Helmholtz. W Young es conocido por sus experiencias de interferencia y difracción de la luz demostrando su naturaleza ondulatoria en 1801 al hacer pasar un rayo de luz a través de dos rendijas paralelas sobre una pantalla generando un patrón de bandas claras y oscuras. W También realizó estudios de materiales proponiendo una medida de la rigidez de diferentes materiales conocida en la actualidad como módulo de Young. W Fue también el fundador de la óptica fisiológica.

Siméon Denis Poisson (1781-1840)

W Físico y matemático francés conocido por sus trabajos en el campo de la electricidad, geometría diferencial y la teoría de probabilidades. W Poisson enseñaba en la escuela Politécnica desde el año 1802 hasta 1808, en que llegó a ser un astrónomo del Bureau des Longitudes. W La primera memoria de Poisson sobre la electricidad fue en 1812, en que intentó calcular matemáticamente la distribución de las cargas eléctricas sobre la superficie de los conductores. W En 1824, también demostró que estas mismas formulaciones podían aplicarse al magnetismo. W El trabajo más importante de Poisson, con 18 años, fue una serie de escritos de las integrales definidas y una memoria de diferencias finitas. W En 1837 publicó en Rerecherchés sur la probabilite

des jugements, un trabajo importante en la probabilidad.

W Durante toda su vida publicó entre 300 y 400 trabajos matemáticos, incluyendo aplicaciones a la electricidad, el magnetismo y la astronomía

Robert Hooke (16351703)

W Científico inglés, considerado uno de los experimentales más importantes , sus intereses abarcaron desde la biología a la medicina, la horología (cronometría), la física planetaria, la mecánica de sólidos deformables, la microscopía, la náutica y la arquitectura. W Participó en la creación de la primera sociedad científica de la historia, la Royal Society de Londres, de la que fue director en 1662. W Sus polémicas con Newton acerca de la paternidad de la ley de la gravitación universal han pasado a formar parte de la historia de la ciencia: parece ser que Hooke era muy prolífico en ideas originales que luego rara vez desarrollaba. W En 1660, mientras trabajaba como ayudante de Robert Boyle, formuló lo que hoy se denomina ley de elasticidad de Hooke, que describe cómo un cuerpo elástico se estira de forma proporcional a la fuerza que se ejerce sobre él, lo que dio lugar a la invención del resorte helicoidal o muelle.

MEDIO ELÁSTICO TRIDIMENSIONAL W Parámetros básicos de los modelos elásticos en deformación tridimensional: r Módulo de compresibilidad K de un

material mide su resistencia a la compresión uniforme y, por tanto, indica el aumento de presión requerido para causar una disminución unitaria de volumen dado:

K

p V V

V

p V

r Módulo de rigidez transversal G, tambié

llamado módulo de cizalladura, es una constante elástica que caracteriza el cambio de forma que experimenta un material elástico lineal e isótropo cuando se aplican esfuerzos cortantes:

F A x

G

MEDIO ELÁSTICO BIDIMENSIONAL W Se caracterizan por dos parámetros: r Módulo de Young (E) r Coeficiente de Poisson ( )

W Se relacionan mediante la ley de Hooke: i

1  E 

i

j

k

 

ij i

E

W En este modelo las deformaciones lineales sólo dependen de las tensiones normales, y las distorsiones, de las tangenciales W Los incrementos de tensiones tangenciales no producen cambio de volumen W Son más racionales los modelos tridimensionales, pero están más desarrollados los modelos basados en E y

CONSTANTES ELÁSTICAS W Significado de los parámetros elásticos bidimensionales en un medio isótropo: P

P

L/2

Forma original

long

2

1

1

1

Deformada

1

long

2

L/2 P

E

P L

transv

2

P

transv

2

transv long

W Puede observarse que incrementos de tensión en una dirección producen deformaciones en la dirección perpendicular

RELACIÓN ENTRE LAS CONSTANTES ELÁSTICAS

CONSTANTES ELÁSTICAS W Valores orientativos para comparación:

Material

Módulo de rigidez transversal, G (MPa)

Módulo Módulo de de compresibilidad, Young, E K (MPa) (MPa)

Acero

81.000

160.000

210.000

0,27-0,30

Granito

21.000

35.000

50.000

0,25

Hormigón

10.000

15.000

27.000

0,20

Arcilla media

6

12

15

0,30

Agua

--

2.100

--

--

Coeficiente de Poisson,

MODELOS ELÁSTICOS W Los modelos elásticos pueden ser de distintos tipos: r Lineal - No lineal:

• La linealidad supone que las deformaciones son proporcionales a la tensión aplicada r Isotropía - Anisotropía: • Isotropía: Las propiedades son las mismas en cualquier dirección del espacio • La anisotropía transversal se asocia a la forma de las partículas de un suelo o su historia geológica r Homogeneidad – Heterogeneidad: • Según que el medio se componga de uno o varios materiales o que las propiedades varíen con la profundidad, por ejemplo • Medios heterogéneos: Suelos sobre base rígida (sustrato rocoso), multicapas (varios estratos), módulos crecientes en profundidad, etc.

CONSTANTES ELÁSTICAS W Un material elástico lineal isótropo físicamente posible limita los valores de sus constantes elásticas: r Por razones de tipo energético, se deduce que K y G deben

r r

r r

encontrarse en el rango: 0 0; E > 0 → 2∙(1+ ) > 0 → -1 < • K > 0; E > 0 → 3∙(1-2∙ ) > 0 → < 0,5 Para =0,5 el módulo de compresibilidad K se hace infinito: se trata de un sólido incompresible Los materiales que tienen negativo se llaman auxéticos: “engordan” al estirarse

MEDIO ELÁSTICO No lineal

Elasticidad

Homogénea Semiespacio de Boussinesq

Isotropía

Capa rígida

Heterogénea

Multicapa

Lineal Lineal Módulos variables Anisotropía (transversal)

General Winkler Frölich

No lineal

Otros

Joseph Valentin Boussinesq (18421929)

W Matemático y físico francés. W Fue el alumno más distinguido de Barré de Saint-Venant. W Cursó también los estudios de física y fue profesor de distintas disciplinas en París. W Miembro de la Academia de Ciencias, sus trabajos abarcaron campos muy diversos de la física, la matemática y la filosofía. W Son especialmente interesantes sus estudios estadísticos sobre hidrodinámica. W Destacan sus obras “Curso de análisis infinitesimal” y “Teoría analítica del calor”. W En 1885 presenta su teoría de distribución de esfuerzos y deformaciones por cargas estructurales sobre el terreno.

MEDIO ELÁSTICO W La hipótesis más sencilla en los modelos de Mecánica del Suelo es la del SEMIESPACIO DE BOUSSINESQ: r r r r r

Limitado por un único plano horizontal superior Indefinido en profundidad Isótropo: Mismas propiedades en cualquier dirección Homogéneo Bajo las hipótesis de elasticidad lineal: • Tensiones y deformaciones proporcionales a las fuerzas aplicadas • El módulo de elasticidad es idéntico a tracción y compresión • Sin limitación de tensiones

W Sólo requiere dos parámetros, E y W Es una simplificación, en ocasiones poco real W Hay gran cantidad de problemas resueltos

TENSIONES EN EL MEDIO ELÁSTICO W Un punto en el semiespacio de Boussinesq está sometido inicialmente a: r Una tensión vertical geostática por su propia posición en el semiespacio

(gravitatoria) r Aunque asociamos dichos valores a tensiones verticales, también existen unas tensiones horizontales relacionadas • Suelen cuantificarse proporcionalmente a las tensiones verticales con un coeficiente “de empuje”, K • Estas tensiones tiene importancia cuando se estudian estructuras de contención

r En este tipo de situación, las direcciones vertical y horizontal son direcciones

principales r Las tensiones tangenciales horizontales y verticales son nulas

W Las tensiones impuestas por la construcción de obras en el terreno modificarán estas tensiones iniciales, bien por la propia geometría bien por la aplicación de cargas W El empleo de la teoría de elasticidad nos permite contar con el efecto de superposición de tensiones y tratar cada uno de ellos de manera separada para después sumar sus efectos

TENSIONES EN EL MEDIO ELÁSTICO W Estado de tensiones iniciales: r La mayoría de los problemas que trataremos serán

bidimensionales y las direcciones vertical y horizontal se corresponderán con direcciones principales r En este caso:

Superficie

z

v

x

y

h

xy

xz

yz

K 0

z v

x

y

Indefinido

TENSIONES EN EL MEDIO ELÁSTICO W En el semiespacio de Boussinesq, sin cargas exteriores aplicadas, cualquier punto del medio estará sometido a una tensión vertical equivalente al peso por unidad de superficie de la columna de material existente sobre él: r Si calculamos las tensiones en una sección de área S a una

profundidad h, bajo un volumen de suelo V de peso específico :

W V S S S h h S

v

v

h

h

S TENSIONES EN EL MEDIO ELÁSTICO W Si el terreno es heterogéneo, formado por varios estratos homogéneos, la tensión vertical la obtendremos como el sumatorio de la generada por cada uno de ellos:

v



h

0

h1

h

v

dz



i

hi

h

h2

1

h

2

i

h3

3

TENSIONES EN EL MEDIO ELÁSTICO W Esto es válido también para puntos en un fluido en reposo; en el caso del agua, con peso específico w la presión a una profundidad hw valdrá:

u

v

w

hw

W En el caso de suelos, en función de la situación relativa del nivel freático y cada capa de suelo emplearemos uno u otro valor de peso específico: r Sobre el nivel freático se empleará siempre el peso

específico aparente, r Bajo el nivel freático se emplearán, según la situación de dimensionado, el peso específico sumergido, ’, o saturado, sat

TENSIONES EN EL MEDIO ELÁSTICO W EJEMPLO: Tensión vertical en un punto situado a 10 m de profundidad en terreno homogéneo

h=10 m

h

v

h 18, 0 10, 0 180

=18 kN/m3

kPa

TENSIONES EN EL MEDIO ELÁSTICO W EJEMPLO: Tensión vertical en un punto situado a 10 m de profundidad en terreno heterogéneo

h=10m

h1=4,0 m

1=16

kN/m3

h2=5,0 m

2=18

kN/m3

3=20

kN/m3

h3=1,0 m



v

i

16, 0 4, 0 18, 0 5, 0 20, 0 1, 0 174 kPa

hi

i

TENSIONES EN EL MEDIO ELÁSTICO W EJEMPLO: Tensión vertical (total) en un punto situado a 10 m de profundidad en terreno homogéneo, bajo el nivel freático

=18 kN/m3 Nivel freático

h=10 m hw=6 m

v

 i

i

hi

18,0 10, 0 6, 0

sat=20

kN/m3

20, 0 6, 0 192 kPa

TENSIONES EN EL MEDIO ELÁSTICO W Cuando se aplica una carga sobre la superficie del terreno se altera su estado, provocando un incremento de las tensiones en cada punto: r Si la carga es infinita en dimensiones, se produce un incremento

uniforme en todos los puntos del semiespacio: • Tensión inicial: h 0 • Tensión final (por superposición en un f

h

q S S f

q S

h

h q

q

0

r Si la carga es de forma finita, el

en cada punto dependerá de la posición relativa en planta y la profundidad del punto en relación a la carga • El incremento afecta en profundidad disipándose con la misma (“bulbo de presiones”) • También se produce una modificación fuera del área ocupada por la carga (“cuenco de deformaciones”)

TENSIONES EN EL MEDIO ELÁSTICO Carga

1

3

2

Curvas de igual incremento de tensión

0

v2

v1

0

v3

v1

TENSIONES EN EL MEDIO ELÁSTICO W Casos de carga vertical en superficie: r Concentradas: Modelos teóricos

• Puntual • Lineal: Se obtienen por integración del caso anterior r Distribuida: Casos reales para carga uniforme • En faja infinita: – Por doble integración de la puntual – Asociado a zapatas corridas • Circular: – Asociada a depósitos y zapatas circulares • Rectangular: – Se asocia a cimentaciones usuales (zapatas, losas, ...) – Se generan otras formas por superposición (adiciónsustracción)

W La mayoría están resueltos analíticamente

TIPOS DE CARGA VERTICAL Lineal

En faja infinita

Rectangular

Puntual

Circular

TIPOS DE CARGA DISTRIBUIDA W En función de su rigidez, una carga vertical distribuida puede ser: r FLEXIBLE: Se conoce la distribución de las cargas en superficie

• Para distribución de tensiones en superficie uniforme, la superficie se deforma de manera irregular r RÍGIDA: Depende de la interacción suelo-estructura • La superficie se deforma uniformemente • La distribución de tensiones es irregular

r Trataremos sólo cargas con interfaz lisa

TIPOS DE CARGA DISTRIBUIDA Ejemplo de carga rígida: bloque de hormigón

Ejemplo de carga flexible: piscina desmontable

TENSIONES BAJO CARGA PUNTUAL W Bajo carga puntual vertical: r Lo resolvió Boussinesq en 1885 r Está resuelto en coordenadas cilíndricas y esféricas r Por integración se resuelven los problemas reales r En la formulación no aparece “E”, lo que proporciona seguridad

ante la incertidumbre de su determinación

Q r

2

cos 2  sen (1 2 )  1 cos   Q cos2  3 (1 2 )  cos  1 cos  2 z2 

 3 cos 2 2  z 

z

Q F1 z2

2

3 Q 5 cos 2 z2

 3 Q  2 z2  1 

5

 1  2  r z 

,

Q F2 , z2 2

Q Ir/z z2

r Bajo la carga las tensiones tangenciales son nulas

TENSIONES BAJO CARGA PUNTUAL W Bajo carga puntual vertical: r Como en σz no interviene tampoco , es posible tabularla

mediante un coeficiente de influencia I que depende de la geometría (r/z)

TENSIONES BAJO CARGA LINEAL W Bajo carga lineal vertical: r Se obtiene por integración de la carga puntual r Se emplean coordenadas rectangulares p/unidad de longitud

2 p x2 z x

z

R

z

x

R4 2 p z3 R4

2 p y

z R2 2 p z2 x

xz

r Las tensiones no dependen ni de E ni de

R4

r El problema puede representar una zapata corrida estrecha r Sirve para cargas en el trasdós de estructuras lineales (muros)

TENSIONES BAJO CARGA LINEAL W Bajo carga lineal vertical: r De nuevo puede tabularse mediante un coeficiente de influencia

Iq que depende de (x/z)

TENSIONES BAJO CARGA EN FAJA W Bajo carga en faja infinita: Se obtiene por doble integración de la formulación de Boussinesq: p

2

z

sen2 cos 2

p 2a

p

2

h

p

sen2 cos 2

sen2 sen2

zh

2

r En la vertical del eje

=0:

z

zh=0

r Las tensiones principales son:

p

2

1

sen2

1 3

p

2

3

sen2

TENSIONES BAJO CARGA CIRCUL...