(20-21) Cálculo-01 Recta real PDF

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Tema 4...

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1.

Tema 1

La recta real 1.1. El conjunto de los números naturales, N. Principio de Inducción

N = {1,2,3,4} es el conjunto de los números naturales. La inducción matemática es un método para demostrar propiedades relacionadas con los números naturales. Por ejemplo, nos damos cuenta de que se verifica la siguiente propiedad 1 = 12

1+ 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 32 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4 2 etc. La pregunta que surge espontáneamente es si esta propiedad que cumplen los números 1, 2, 3 y 4 será cierta para todos los naturales, es decir, si 1 + 3 + 5 + .... + (2n − 1) = n2 ∀n ∈ N . El principio de inducción matemática afirma: Una proposición P(n) es verdadera para todos los números naturales n si se cumple 1º P(1) es verdadera 2º ∀n ∈ N , si P(n) verdadera entonces P(n+1) también. Siguiendo con el ejemplo 1 + 3 + 5 + .... + (2n − 1) = n2 .

anterior,

llamamos

P(n)

a

la

proposición

1º) Ya se ha comprobado que P(1) es verdadera (y no sólo P(1) sino también P(2), P(3) y P(4)). 2º) Tenemos que demostrar que si P(n) es verdadera (hipótesis de inducción), entonces P(n+1) también, es decir, si 1 + 3 + 5 + .... + (2n − 1) = n 2 , entonces se cumplirá también que 1 + 3 + 5 + .... + (2n − 1) + (2n + 1) = (n + 1) 2 . En efecto, 1 + 3 + ... + (2 n − 1) + (2 n + 1) = n2 + 2 n + 1 = ( n + 1) 2 .    =n 2

Ahora ya se puede afirmar que la propiedad es cierta para todos los naturales.

1

Tema 1. La recta real

También se puede aplicar el principio de inducción cuando se quiere demostrar que una propiedad se cumple a partir de cierto número natural n0 demostrando que 1º P( n0 ) es verdadera 2º ∀n ≥ n0 si P(n) verdadera entonces P(n+1) también. Por ejemplo la proposición n!> 2 n . Se observa que es falsa para los primeros números naturales: 1!< 21 , 2! < 22 , 3! < 23 Para n = 4 , se cumple 4! > 2 4 , es decir P(4) verdadera. Veamos que ∀n ≥ 4 , si n!> 2 n entonces (n + 1)!> 2 n +1 . En efecto, n n n 1 ( n + 1)! = n!( n + 1) ≥ 2 ( n + 1) > 2 ⋅ 2 = 2 + ↑ se cumple P ( n )

↑ n ≥ 4 ⇒ n+1≥ 5 > 2

1.2. El conjunto de los números reales, R El resultado de sumar (y multiplicar) números naturales es también un número natural, es decir, la suma es una operación interna en N, no así la resta. Si queremos restar dos números naturales tenemos que introducir otro conjunto, Z:

Z = { − 2,−1,0,1,2} es el conjunto de los números enteros. El resultado de sumar, multiplicar y restar números enteros es también un número entero, pero la división introduce otro conjunto, Q: a   Q = r = / a, b ∈ Z , b ≠ 0 es el conjunto de los números racionales. En dicho conjunto b   las operaciones de suma, multiplicación, diferencia y división son operaciones internas.

Los números irracionales constituyen otro conjunto cuyos elementos son números no racionales, es decir, no se pueden expresar como cociente de dos números enteros, y se definen de diversos modos. Por ejemplo, π es un número irracional, que se puede definir como el cociente entre la longitud de una circunferencia y el diámetro de la misma. El valor de π truncado en sus primeras cifras es π ≈ 3.1415926... Otro ejemplo es el número e que se define como el límite de la sucesión de números  1 racionales an =  1 +   n a1 = 2

9 = 2.25 4 64 a3 = = 2.37037 27 ….. a2 =

2

n

 11  a10 =    10  ….

10

 101  a100 =    100  ….

= 2.59374 100

= 2.70481 n

 1 e = lim 1 +  ≈ 2.71828.... n →∞  n

También son números irracionales 2 , 3 , etc. En general se puede demostrar que la raíz cuadrada de todo número primo es irracional. El conjunto de números reales, R, está constituido por los números racionales y los irracionales.

− 3 (no

El conjunto de los números complejos, C, incluye otros números tales como son objeto de esta asignatura).

Consideremos el conjunto R de los números reales y la relación binaria ≤ en R. Dicha relación es un orden total ya que ∀a ,b , c ∈ R , se verifica: 1. Propiedad de totalidad: ∀ a ,b ∈ R , a ≤ b o b ≤ a , 2. Propiedad reflexiva: a ≤ a 3. Propiedad transitiva: si a ≤ b y b ≤ c ⇒ a ≤ c 4. Propiedad antisimétrica: si a ≤ b y b ≤ a ⇒ a = b Se dice que R es un conjunto totalmente ordenado, y se puede representar en la recta real de modo que cada punto de la recta representa un número real y a cada número real le corresponde un único punto de la recta. -2

-1 -1,5

0

1 1/4

2 2

3

e

π

Fig. 1.1

Propiedades de densidad El conjunto de los números racionales es un conjunto denso en los reales, es decir, dados dos número reales distintos, entre ellos siempre existe un racional. Así mismo, el conjunto de los números irracionales es también denso en los reales. Dados dos números reales distintos siempre existe un número irracional entre ellos Como consecuencia de estas propiedades, se puede afirmar que

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Tema 1. La recta real

Dados dos números reales distintos existen infinitos racionales e infinitos irracionales entre ellos.

1.3. Conjuntos acotados en R Sea A un subconjunto de R, A ⊂ R . Definición: Se dice que v ∈ R es una cota superior de A cuando ∀x ∈ A se verifica que x ≤ v . Se dice que w∈ R es una cota inferior de A cuando ∀x ∈ A se verifica que x ≥ w . superior , se dice que está acotado Definición: Si un conjunto A ⊂ R tiene cota  inferior superiormente .  inferiorme nte Definición: Se dice que un conjunto A ⊂ R está acotado si está acotado tanto superior como inferiormente. superior Es evidente que si existe una cota  de un conjunto A, existen infinitas cotas inferior superiores de dicho conjunto.  inferiores

Definición: El extremo superior o supremo de un conjunto A acotado superiormente es la menor de todas las cotas superiores, y se denota como sup(A). Análogamente, el extremo inferior o ínfimo de un conjunto A acotado inferiormente es la mayor de todas las cotas inferiores, y se denota como inf(A). Definición: Cuando el supremo de un conjunto A pertenece a dicho conjunto, se llama máximo, y se denota max(A). Análogamente, cuando el ínfimo pertenece a A, se denomina mínimo, y se denota min(A). Ejemplo 1: Sea A = [− 3,4] ∪ (7,10 ) , (Cfr. Fig. 1.2)

[

]

(

)

-3

4

7

10

Fig. 1.2

una cota superior: 12 una cota inferior: -4

sup(A) = 10 inf(A) = −3 = min(A)

  1 1  1 Ejemplo 2: El conjunto  : n ∈ N  = 1, , ,... tiene 0 como ínfimo y 1 como   2 3  n máximo.

4

Tema 1. La recta real

  5 10 17  n 2 + 1 Ejemplo 3: El conjunto  : n ∈ N  =  2, , , ,... tiene 2 como mínimo y no   2 3 4   n está acotado superiormente.

1.4. El valor absoluto y distancia en R Definición: Dado un número real x, el valor absoluto de x se denota x y se define del siguiente modo  x si x ≥ 0 x = .  − x si x < 0 Propiedades 1. ∀x ∈ R,

x ≥0

2. x = 0 ⇔ x = 0 3. x ≤ y ⇔ − y ≤ x ≤ y 4. x + y ≤ x + y 5. x − y ≥ x − y 6. x ⋅ y = x ⋅ y Observación 1: De la propiedad 4 se deduce que x − y ≤ x + y , ya que

x − y = x + (− y ) ≤ x + − y = x + y . Observación 2: Utilizando el valor absoluto, se puede definir conjunto acotado como sigue: A ⊂ R es un conjunto acotado si y sólo si ∃ k ∈ R/ ∀x ∈ A, x ≤ k .

Definición: ∀x, y ∈ R, se define distancia entre x e y, y se denota d ( x, y), al número real d ( x, y ) = x − y .

1.5. Entorno de un punto Definiciones: Dados dos número reales a, r ∈ R, con r > 0 , 1. Se llama entorno de centro a y radio r, y se denota E(a , r ) , al conjunto

E( a , r) = { x ∈ R / d (a , x ) < r} = {x ∈ R / x − a < r } = (a − r , a + r ) .

5

Tema 1. La recta real

2. Se llama entorno se denota Er (a, r ) , al

a-r

a

a+r

reducido de centro a y radio r, y conjunto

E r( a, r) = { x ∈ R / 0 < d ( a, x) < r} = {x ∈ R / 0 < x − a < r} = E( a, r) − {a} = (a − r, a ) ∪ (a, a + r )

a-r

6

a

a+r

Tema 1. La recta real

Ejercicios

1. Resolver las siguientes ecuaciones. a.

x − 2 = 1− x

b. x − 2 = 1 − x c.

x2 − 2 = 2x − 1

2. Resolver las siguientes inecuaciones a.

x +5 2 x − 4

d.

x −1 + x − 2 ≥ 3

3. Estudiar la acotación de los siguientes conjuntos y hallar el supremo y el ínfimo en los casos en que proceda. Estudiar también la existencia de máximo y mínimo del conjunto.

{ } A = {x ∈ Q / x ≤ 5} A = {x ∈ R / x + 1 ≤ 5}

a. A = x ∈ R / x 2 ≤ 5 b. c.

2

1   ≤ 1 d. A =  x ∈ R / 2 x +1    1  e. e) A =  2 : n∈ Z  n +1 

4. Demostrar por inducción las siguientes propiedades: a. ∀n ∈ N , 1 + 2 + 3 + ... + n =

n (n + 1) 2

b. ∀n ∈ N , 3n > 2n n( n + 1)( n + 2) c. ∀n ∈ N , 2 + 6 + 12 + + n( n + 1) = 3 d. ∀n ∈ N , 6 2n − 1 es divisible por 35.

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Tema 1. La recta real

Soluciones 1. a. x = 3 / 2 b. No tiene solución c. x 1 = 1 + 2 , x2 = 1 2.

a. (− 6, − 4 ) b. (− ∞,1]∪ [3, ∞ ) c. (− ∞, − 3 ) ∪ (1, ∞ ) d. (− ∞, 0] ∪ [3, ∞ )

3.

8

a.

x = − 5 es el mínimo del conjunto y x = 5 el máximo.

b.

x = − 5 es el ínfimo del conjunto y x = 5 el supremo.

c.

x = −6 es el mínimo del conjunto y x = 4 el máximo.

d.

El conjunto no está acotado superior ni inferiormente por tanto carece de ínfimo y supremo.

e.

x = 0 es el ínfimo del conjunto y x = 1 es el máximo....