Sesión 1 - VALOR ABSOLUTO, RECTA NUMERO, LA RECTA Y CIRCUNFERENCIA PDF

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VALOR ABSOLUTO, RECTA NUMERO, LA RECTA Y CIRCUNFERENCIA...

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SESIÓN 1 Eje Numérico La recta numérica es una línea recta en la que se pueden ubicar todos los números reales debido a que está graduada, es decir, tiene marcados los números enteros ordenados y espaciados homogéneamente (a la misma distancia cada uno y el siguiente).  Las flechas indican que continúa hasta el infinito en ambos sentidos.  Al centro de la recta numérica va el número cero, a la derecha van los positivos y a la izquierda los negativos. Recordemos que el cero no tiene signo.  El número con el que se identifica cualquier punto en la recta numérica indica la distancia de dicho punto hacia el centro de la misma.

 Los números enteros se ubican directamente en la posición correspondiente al número. El -2 está 2 unidades a la izquierda (por ser negativo) del 0 mientras que el 1 está 1 unidad a la derecha (por ser positivo) del 0.

 Las fracciones propias positivas siempre van entre el 0 y el 1. Para ubicar 3/4, por ejemplo, se divide la unidad en cuatro partes y se elige la tercera división. Para ubicar 1/2, se divide la unidad en dos partes y se elige la primera división.

 Las fracciones impropias podemos reescribirlas como números mixtos para que sea más sencillo ubicarlas. Es muy importante que la recta numérica tenga al menos hasta la unidad siguiente al ubicar un número mixto, para que la partición de la última unidad pueda hacerse adecuadamente:

 Para ubicar los números con decimales (como los irracionales), se parte la unidad en 10 partes y se ubica tan aproximado como se pueda la posición del punto. 1.45 está a la mitad entre 1.4 y 1.5:

 La recta numérica resulta muy útil para ordenar números y distinguir cuál es mayor, al ubicar cada uno sobre dicha recta. El que esté más a la derecha será siempre mayor: 1.5 < 7/4

Cuidado especial con los negativos

 Los números negativos y positivos se acomodan de manera simétrica sobre la recta numérica, con el 0 como eje de simetría. Eso significa que si el 0.9 se ubica un poco a la izquierda del 1, el -0.9 se ubica un poco a la derecha del -1.

 De la misma forma, si el 2.1 se ubica un poco a la derecha del 2, el 2.1 se ubica un poco a la izquierda del -2.

Valor Absoluto Sea x ∈ ℝ

Ejemplo: |5| = 5 > 0 |-5| = -5 < 0

|x-3| =

x=5 x = -(-5)

x=5

X∈

x – 3; si x ≥ 3

X∈

-(x – 3); si x < 3

x-3 -x + 3

3

|2x - 1| + |x + 2| = 3x Hallamos puntos críticos:

[ +3; < -∞;

2x -1 = 0 x=½

x+2=0 x = -2 < -∞; -2>

ℝ = < -∞; -2> U [

[ 1/2; +∞>

[ -2; ½ >

-2

-2; ½ > U

1/2

[ 1/2; +∞>

Tramo 1 = Amarillo todos son negativos 1 – 2x – x -2 = 3x - 3x -1 = 3x x = - 1/6 ∩ < -∞; -2> = ø

Tramo 2 = Rojo (positivo para -2 y negativo para ½) 1 – 2x + x +2 = 3x -x + 3 = 3x x = ¾ ∩ [ -2; ½ > = ø Tramo 3 = Verde (positivo para todos) 2x -1 + x + 2 = 3x 3x + 1 = 3x 1 = 0 FALSO Entonces = no hay solución Ecuación en V. A Teoremas: 1) |x| = a ↔ a ≥ 0 ∩ [ x=a U x=-a]

2) |x| = |y| ↔ x = y

U

x = -y

x, a ∈ ℝ Ejercicios: a) |2x + 9| = x -1 Aplicamos el primer teorema x – 1 ≥ 0 ∩ [2x + 9 = x -1 U 2x + 9 = - (x -1)] x ≥ 1 ∩ [x = -10 U 2x + 9 = 1 - x] x ≥ 1 ∩ [x = -10 U x = -8/3] x ∈ [ +1; +∞> ∩ {-10; -8/3} = ø

-10

-8/3

1

b) |x2 – 3x - 7| = 3 Mismo teorema 3 ≥ 0 (verdadero) ∩ [x2 – 3x – 7 = 3 U x2 – 3x – 7 = -3] x2 – 3x – 7 = 3 x2 – 3x – 7 = -3 x2 – 3x – 10 = 0 x2 – 3x – 4 = 0 (x -5)(x +2) = 0 (x -4)(x +1) = 0 x ∈ {-2; 5} U {-1; 4} c) |3x - 1| = |5x - 15| Teorema 2 3x – 1 = 5x – 15 U 3x -1 = - (5x - 15) 3x – 1 = 5x – 15 U 3x -1 = 15 – 5x

14 = 2x x=7

U U

8x = 16 x=2

conjunto solución x ∈ {2; 7} Inecuaciones en V. A Teoremas: 1) |x| < a ↔ a > 0 ∩ (-a < x < a) 2) |x| ≤ a ↔ a ≥ 0 ∩ (-a ≤ x ≤ a) 3) |x| ≥ a ↔ x ≥ a U x ≤ -a 4) |x| > a ↔ x > a U x < -a 5) |x| ≥ |y| ↔ (x + y)(x - y) ≥ 0 6) |x| ≤ |y| ↔ (x + y)(x - y) ≤ 0 7) |x| < |y| ↔ (x + y)(x - y) < 0 Ejercicios: a) |x2 - 4| ≥ -2x + 4 Utilizando teorema 3 x2 – 4 ≥ -2x + 4 x2 – 4 ≥ -2x + 4 x2 + 2x – 8 ≥ 0 (x +4)(x -2) ≥ 0

+

U U U U

x2 – 4 ≤ - (-2x + 4) x2 – 4 ≤ 2x – 4 x2 – 2x ≤ 0 x(x -2) ≤ 0

+

2

x ∈ 0 entonces C intercepta a L en 2 puntos donde las abscisas de los 2 puntos, son: x 1=

2 −b ± √ b2−4 ac −b ± √ b −4 ac x 2= 2a 2a

Luego reemplazamos “x1, x2” en (3), obteniendo los puntos de intercepción que son: (x1, y1); (x2; y2) jj) si Δ = 0 entonces la recta es tangente, y la abscisa del punto de tangencia es: x 2=x 1=

−b a

luego reemplazamos en (3) y hallamos la ordenada “y”, del punto de tangencia.

jjj) si Δ < 0 entonces la recta no intercepta a la circunferencia.

EJEMPLO: C : x2 + y2 – 4x + 10y + 9 = 0 L: x–y=3 1) Damos forma a la ecuación de la circunferencia. x2 + y2 – 4x + 10y + 9 = 0

(x - 2)2 + (y + 5)2 + 9 – 4 – 25 = 0 (x - 2)2 + (y + 5)2 = 20, donde c(2; -5) y r = 2√5 2) Despejamos “y” x - 3 = y … (3) 3) Reemplazamos (3) en la ecuación de la circunferencia. x2 + y2 – 4x + 10y + 9 = 0 x2 + (x-3)2 – 4x + 10(x-3) + 9 = 0 x2 + x2 – 6x + 9 – 4x + 10x - 30 + 9 = 0 2x2 – 12 = 0 x2 = 6 Δ = 24 > 0 x = ±√6 x1 = -√6 … (4) 4) Ahora reemplazamos (4) en (3) y = x -3 y = -√6 – 3 entonces un punto de intercepción es: A (x1; y1) = (-√6; -√6 – 3)

Para que una recta sea recta tangente a la circunferencia, la discriminante es igual a 0.

Distancia mínima:

L: Ax + Bx + C = 0 P0 (x0; y0) ∉ L

d(P0; L) =

¿ Ax 0+By 0+C∨ ¿

¿ √ A + B2 2

d(P0; L) es una perpendicular...