Inecuaciones CON Valor Absoluto PDF

Preview

Summary

calculo 1...

Description

PROPIEIDADES DE INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

1. 2. 3. 4.

|x|≤ y ⇔[ y ≥ 0 ∧(− y ≤ x ≤ y )] |x|≥ y ⇔(x ≥ y ∨ x ≤− y ) |x|≤| y|⇔x 2 ≤ y 2 ⇔(x− y)(x + y )≤ 0 |x + y|≤|x|+| y|

Inecuaciones con valor absoluto

1.

|x−2|≤ 2 x

Sol. Acomodando la propiedad 1

|x−2|≤ 2 x ⇔2 x ≥ 0 ∧−2 x ≤ x−2 ≤ 2 x ⇔x ≥ 0∧−2 x ≤ x −2∧ x−2≤ 2 x

⇔x ≥ 0∧−3 x ≤−2 ∧−x ≤2 2 x ≥ 0 ∧ x ≥ ∧ x ≥−2 3

-2

2/3

|x 2−4 |>−2 x +4

2.

https://es.symbolab.com/solver/absolute-inequalities-

calculator/%5Cleft%7Cx-5%5Cright%7C%3E%20%203

Sol. Aplicamos propiedad (2)

|x 2−4 |>−2 x +4 ⇔x 2−4 >−2 x+ 4 ∨ x 2−4 0 ∨ x2 −2 x 0∨ x ( x−2 ) < 0 Por lo tanto la solución es

¿ ¿−∞ ,−4 [∪ ] 0,2 [ ∪ ] 2, ∞ ¿

| |

3 x +2 x2 ≥ x+3 3

3. Resolver Sol.

| |

3 x +2 3

2

x x+3

≥

2

x x +3

≤

-

3 x +2 3

2

⇔

x x +3

≥

3 x +2 3

∨

3 x +2 3

+

≤

⇔

x2 x +3

⇔

−11 x −6 3 ( x +3 )

≥

0

x2 x +3

∨

0

6 x 2 +11 x+ 6 3( x +3)

≥

0

∨

0

≤

11 x+ 6 3 ( x +3 )

⇔

≤

3 x +2 3

-

≤

0

1 3 ( x +3 )

∨

0

-

∞

≥

0

∧

-3

6 11

-

∞

+

Así,

S = ]-

| x−2 x +4 |

4.

6 ] - { - 3} 11

∞ ,-

≤

x

Sol.

| xx−2 +4 |

≤

x−2 x +4

≥

x

+ x

(

x−2 x +4

≤

x

∧

- x )]

⇔ x−2 x +4

[x

⇔

≥

[x

≥

0

∧

(

x−2 x +4

≥

0

∧

(

x +3 x + 2 x +4

- x

≤

0

∧

≥

0

∧

0) 2

⇔ x 2 +5 x −2 x +4

≥

[x 0 )]

(

⇔ [x

≥

0

≥

∧

( x +2 )(x +1) x +4

(

0

≥

∧

−5− √33 x−( ¿ )/2 ¿ (x−(−5 + √33)/2) ¿ ¿

0 )]

Luego ubicamos en una recta todas las raíces y hallamos la intersección que está en el paréntesis, es decir:

-

−5−√ 33 2

∞

-4

-2

-1

−5+ √ 33 2

∞

+

Entonces, la intersección es:

−5+ √33 , 2

[

∞ [

Después, esta última solución la intersecamos con [0, Finalmente, S = [0,

5.

∞ [

∩

[

−5+ √33 2

,

∞ [ ∞ [ = [

−5+ √ 33 , 2

∞ [

|3 x|> |6−3 x|

Sol: Primero elevamos al cuadrado ambos lados 2

2

|3 x| >|6−3 x| ⇔(3 x)2 >( 6−3 x )2 ⇔[ (3 x )2 − ( 6−3 x )2 ]>0 ⇔[3 x−( 6−3 x ) ] [3 x+ 6−3 x ] >0 ⇔( 6 x −6) ( 6 )>0 ¿ ⇔x −1> 0 ⇔x >1 o ¿ 1, ∞ ¿ 6.

|x−2| x +1

≥

x 1−x

Sol. Primeramente, ubicamos el punto crítico en una recta, el cual nos origina dos casos, donde utilizaremos la definición de valor absoluto -

∞

2

∞

i) x < 2

2−x x+1

⟹

−4 x +2 ( x +1 )(1−x)

⇔

x 1−x

≥

4 x−2 ( x +1 )(x−1)

⇔

+

-

x 1−x

≥

0

∞

1 2

-1

1

2

∞

Luego

∞ , 2[

S1 = ] -

1 2

= ] - 1, ii) x

≥

x−2 x+1

∩

]

( ] - 1,

x 1−x

≥

− 2 x 2 +2 x − 2 ( x +1) (1−x )

1 ( x +1 )(x−1)

Luego

]

-

x 1−x

∞ [)

∪ ]1,

∪ ]1, 2[

≥

x−2 x+1

⇔

≥

0

≥

⇔

0

2 x 2−2 x+2 ( x +1 )(x−1)

⇔

-

1 2

⟹

2

0

≥

⇔

0

∞

-1

S2 = [2,

∞ [

= [2,

∞ [

≥

0

≥

-

2−x x+1

⇔

∩

(]-

1

∞ , - 1[

∪

2 ]1,

+

∞ [)

∞

0

Finalmente,

S = S1

1 2

S2 = ( ] - 1,

∪

= ] - 1,

1 2

]

]

∪

∪ ]1, 2[ )

∪

]1, ∞ [

PRÁCTICA: Resolver las siguientes desigualdades

1.

|x 2+2 x −4|>4

2.

|3 x−9|< x+1

3.

|4 x−3|> x +2...