Ecuaciones con Valor Absoluto PDF

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Ciclo Verano 2020. Guía de Ejercicios realizados por el Profesor Juan Romulo Matos ...

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ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Ejemplo 1:

Resolver: |2x + 5| = x – 3 Resolución: Aplicando el teorema 11: i)x – 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3 ii)2x + 5 = x – 3 v 2x + 5 = -(x -3) Resolviendo: ⇒ x = -8 ˅ x = -2/3 Pero, x = -8 y x = -2/3 no cumplen la condición:i) ∴ La Ecuación es incompatible.

Ejemplo 2: Resolver: |5x – 4| = 12 – x Resolución: Aplicando el teorema 11: i) 12 – x ≥ 0 ⇒ x ≤ 12 ii) 5x – 4 = 12 v 5x – 4 = -12 Resolviendo: ⇒ 5x = 16 v 5x = -8 ⇒ x = 16/5 v x = -8/5 Vemos que 16/5 y -8/5 cumplen la condicióni) ∴C.S. = {16/5; -8/5}

Teorema 12: |x| = |a| ⇔ {x = a v x = -a} ; ∀ x; a ∈ ℝ Ejemplo 3: Resolver: |3x + 2| = |x – 4| Resolución: Aplicando el teorema 12:

3x + 2 = x – 4 v 3x + 2 = 4 – x Resolviendo: ⇒ 2x = -6 v 4x = 2 ⇒ x = -3 v x = 1/2 ∴C.S. = {-3; 1/2}

Ejemplo 4: Resolver: |5x -1| = |x + 11| Resolución: Este tipo ecuación con valor absoluto tambien puede salir aplicando el Teorema 5, para ello elevamos ambos miembros al cuadrado, tenemos: |5x – 1| = |x + 11| ⇒ (5x -1) – (x + 11) = 0 ⇒ (6x + 10)(4x – 12) = 0 ∴ C.S. = {-5/3 ; 3} 2

2

2

2

Ejemplo 5:

Ambas soluciones cumplen la ecuación, por tanto: S = { -1 , 1}

Ejemplo 6:

3|x + 4| - 2 = x

Al comprobar las soluciones se observa que no cumplen la ecuación. Por tanto, la ecuación no tiene solución.

Ejemplo 7: |x2 - 2| = 2 - 3x Por otro lado, tenemos dos posibilidades para la igualdad:

• x2 - 2 = 2 - 3x

⇔ x2 + 3x - 4 = 0

• x2 - 2 = - (2 - 3x) = - 2 + 3x

⇔ x2 - 3x = 0 ⇔ x ( x - 3) = 0

Comprobamos si las soluciones cumplen la ecuación: x = 1:

|12 - 2| = 2 - 3·1 ⇔ 1 ≠ -1

x = 1 no es solución

Hacemos lo mismo para el resto de soluciones. x = - 4 es solución x = 0 es solución x = 3 no es solución Por tanto, el conjunto solución es: S = { -4 , 0 }

Ejemplo 8: |x + 1| = |x - 5|

Se comprueba la solución x = 2 y la cumple la ecuación. x=2

Ejemplo 9:

Tenemos dos posibilidades:

Por tanto, el conjunto solución es:...