248943958 Redes de Tuberias Ejercicios Resueltos PDF

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2 EJERCICIOS RESUELTOS DE REDES DE TUBERÍAS (MÉTODO MATRICIAL, MÉTODO DE LA LÍNEA DE GRADIENTE HIDRÁULICO Y USO DE EPANET) – HIDRÁULICA BÁSICA Autor: J. Esteban Rodríguez – Estudiante de la Universidad Nacional de Colombia Atención: Documento provisto únicamente como material de estudio, se prohíbe su reproducción y/o uso inadecuado.

1) En la figura se ilustra un sistema de tuberías con tres embalses. Determine el caudal en cada tubería usando el método de línea de gradiente hidráulico en los nodos y el método matricial. Para cada tubería, los diámetros y longitudes están en unidades de metros.

Figura 1. Representación esquemática (No a escala) del sistema

1.1) Desarrollo por el método de la línea de gradiente hidráulico en el nodo 1.1.a) Direcciones del flujo Para este problema en particular, las direcciones del flujo son conocidas, por lo cual no se hace necesario recurrir a suposiciones iniciales.

1.1.b) Análisis del Nodo y su valor de LGH Antes de especificar las ecuaciones que rigen el sistema dado, se hará una suposición sencilla que consiste en imaginar un piezómetro en el nodo, el cual permite leer el valor de la línea de gradiente hidráulico LGH en dicha parte del sistema. La dirección del flujo en cada tubería (Que ya es conocida) permite deducir inequívocamente entre qué rangos posibles debe encontrarse tal valor de LGH en el nodo.

Figura 2. Suposición de un piezómetro imaginario en el nodo del sistema

Considerando el hecho de que el fluido siempre viajara desde el punto de mayor energía a un punto de menor energía y de que las condiciones en los embalses son conocidas, resulta evidente que el valor de LGH debe ser menor a 85 metros (Ya que el agua desde el embalse 2 viaja hacia abajo), pero mayor a 60 metros (por la misma razón respecto al embalse 3), así:

1.1.c) Aplicación de las ecuaciones de continuidad y energía en el sistema Inicialmente se puede hacer un análisis para encontrar la expresión que cumple la ecuación de continuidad en el nodo (La masa de fluido debe conservarse), de esta forma, de acuerdo a las direcciones del flujo se cumple que (Considérese la nomenclatura de la figura 2):

Donde: El siguiente paso es aplicar las ecuaciones de energía para cada tubería en la dirección que corresponda, estas resultan particularmente sencillas dada la ausencia de equipos de bombeo u condiciones especiales en los embalses, por lo tanto se tiene:

Para la tubería 1 → Para la tubería 2 → Para la tubería 3 → Donde:

Ahora bien, sabemos por definición que las pérdidas de energía se pueden representar de la forma: de acuerdo al modelo de Darcy-Weisbach, por lo tanto, reemplazando en las ecuaciones (2), (3) y (4): →

→

→

󰇡

󰇢

󰇡

󰇡

󰇢

󰇢

Las ecuaciones (5), (6) y (7) expresan explícitamente los caudales Q1, Q2 y Q3 que son precisamente aquellos que se desea conocer. Si reemplazamos estas expresiones en la ecuación (1) se obtiene la ecuación que rige al sistema en función de LGHn y los oefiietes de esisteia k: (

)

(

)

(

)

1.1d) Priera estiaió de los oefiietes de resisteia k para ada tuería Antes de analizar más a fondo la ecuación (8), hay que hacer una primera suposición que peita estia u alo iiial de los k, el pie paso es supoe u fato de fiió rugoso para cada tubería y calcular el resto de sus propiedades con base en los datos conocidos y esta suposición inicial, para esto es importante listar primero ordenadamente en tablas cada una de las propiedades conocidas de cada tubería de acuerdo a la nomenclatura seleccionada:

Tabla 1. Propiedades conocidas de las tuberías del sistema

Demandas q (m /s) 3

Viscosidad 0,06

2

1,31E-06

 (m /s)

Elevaciones Z1 (m) Z2 (m) Z3 (m)

Longitudes 100 85 60

L1 (m) L2 (m) L3 (m)

Diámetros D1 (m) D2 (m) D3 (m)

0,3 0,25 0,25

Ks1 (m) Ks2 (m) Ks3 (m)

2000 1500 3000 Rugosidades 0,0005 0,0005 0,0005

Suponeos etoes paa las  tueías u fato de fiió iiial f de 0,0, de lo ual se puede alula ada uo de los k de auedo a la euaió:

Donde:

Por lo tanto se tiene: Tabla 2. Estimaciones de coeficiente de rugosidad para la primera iteración

Tubería 1 2 3

Ks/D 0,0017 0,0020 0,0020

f turb 0,03000 0,03000 0,03000

K (m5/s2)-1 2040,2 3807,4 7614,9

1.1.e) Aplicación del método numérico de Newton-Raphson para estimar LGHn Si analizamos la ecuación (8) nos encontramos con un inconveniente importante, el valor de LGHn es desconocido, y a pesar de que sabemos con certeza los rangos en los que se debe encontrar no tenemos el valor preciso para que se cumpla la continuidad, por lo cual se recurre al método de Newton-Raphson para estimarlo, así que en primera medida se adoptará un valor que corresponde al promedio de los límites tiene, en este caso, será:

De acuerdo al método de Newton-Raphson, con un valor supuesto, debe generarse un error, que esta define a la ecuación (8) como una función de error E (LGHn): (

)

(

)

)

(

Para aplicar el método de Newton se debe calcular la derivada de la función de error, respecto a la variable que se está estimando: (

)

(

(

)

(

)

(

)

)

(

)

Luego, se calcula el cambio en el valor de LGHn, el, cual en teoría al ser sumado al primer valor de LGHn supuesto, debe acercarse a un mejor valor de LGHn que disminuya el error progresivamente hasta prácticamente cero, aplicamos: 󰇡

󰇢

Donde: Paa uesto aso  o los pieos aloes de k eotados se tiee ue: (

(

)

(

(

)

(

)

)

(

(

)

(

)

)

)

(

)

Entonces:

De lo que se deduce de acuerdo a la ecuación (13) que un LGH más acertado para el nodo debe ser:

Ahora bien, usando este nuevo LGHn, calculamos los caudales para esta iteración haciendo uso de las ecuaciones (5), (6) y (7), al mismo tiempo se puede obtener la velocidad del flujo, dividiendo dichos caudales por el área de la sección transversal de cada tubería y consecuentemente se puede calcular el número de Reynolds de acuerdo a la expresión:

Donde: Además con este número de Reynolds y la relación ks/D explícita en la tabla (2) para cada tubería, se puede aplicar la ecuación implícita de Colebrook-White para determinar un ueo fato f paa ada tueía ue se ajustaá ejo a las odiioes del sistea  pondrá fin a la iteración 1: √

⁄ (

√

)

Tabla 3. Factores de fricción nuevos luego de la primera iteración

Q (m3/s) 0,087 0,010 0,057

A (m^2) 0,07068583 0,04908739 0,04908739

V (m/s) 1,23 0,21 1,16

Re 281480,33215 39859,91258 220969,58224

f c-w 0,0231 0,0271 0,0242

hf (m) 15,4 0,4 24,6

Desde este punto se inicia una segunda iteración adoptando ahora los factores de fricción nuevos, el procedimiento se repite exactamente igual desde la tabla (2): Tabla 4. Estiaió de k para la seguda iteraió

Suposición LGH N1 (m)

Tubería 1 2 3

84,60

Ks/D 0,0017 0,0020 0,0020

f turb 0,02305 0,02714 0,02423

K (m5/s2)-1 1567,7 3444,7 6150,0

Hallamos entonces la función de error, su derivada y el delta en la estimación de LGHn, tal cual las ecuaciones (10) y (11):

Recalculando los caudales y demás variables, se tiene: Tabla 5. Factores de fricción nuevos luego de la segunda iteración

Q (m3/s)

A (m^2)

V (m/s)

Re

f c-w

hf (m)

0,101 0,018 0,062

0,07068583 0,04908739 0,04908739

1,44 0,37 1,27

328759,64938 70829,74422 242138,78829

0,0230 0,0257 0,0242

16,1 1,1 23,9

Las iteraciones deben detenerse cuando el cambio entre los factores de fricción antiguos y los nuevos sea despreciable, en este caso a pesar de que resultaron similares, aún hubo cambios notables, por lo cual la solución exige más iteraciones: Tabla 6. Estiaió de k para la terera iteraió

Suposición LGH N1 (m)

Tubería 1 2 3

83,86

Ks/D 0,0017 0,0020 0,0020

f turb 0,02295 0,02571 0,02416

K (m5/s2)-1 1560,9 3263,0 6133,0

Hallamos de nuevo la función de error, su derivada y el delta en la estimación de LGHn, tal cual las ecuaciones (10) y (11):

Recalculando los caudales y demás variables, se tiene: Tabla 7. Factores de fricción nuevos luego de la tercera iteración

Q (m3/s) 0,102 0,020 0,062

A (m^2) 0,07068583 0,04908739 0,04908739

V (m/s) 1,45 0,41 1,27

Re 331047,87114 77536,69959 241687,85676

f c-w 0,0229 0,0255 0,0242

hf (m) 16,3 1,3 23,7

Para la siguiente iteración se tiene: Tabla 8. Estiaió de k para la uarta iteraió

Tubería 1 2 3

Ks/D 0,0017 0,0020 0,0020

K (m5/s2)-1 1560,7 3240,9 6133,3

f turb 0,02295 0,02554 0,02416

Hallamos de nuevo la función de error, su derivada y el delta en la estimación de LGHn, tal cual las ecuaciones (10) y (11):

Recalculando los caudales y demás variables, se tiene: Tabla 9. Factores de fricción nuevos luego de la cuarta iteración

Q (m3/s) 0,102 0,020 0,062

A (m^2) 0,07068583 0,04908739 0,04908739

V (m/s) 1,45 0,41 1,27

Re 331045,69202 77708,80360 241698,42910

f c-w 0,0229 0,0255 0,0242

hf (m) 16,3 1,3 23,7

Como en este caso los cambios en los nuevos factores de fricción respecto a los anteriores no son significativos podemos aceptar que se ha llegado a la solución del problema. Los caudales de cada tubería son los siguientes:

Se puede verificar que las respuestas encontradas cumplen con las ecuaciones de continuidad: (1) y las de energía (5), (6) y (7):

→ → →

1.2) Desarrollo por el método matricial 1.1.a) Nomenclatura y Direcciones del flujo Para el problema propuesto, no hay inconvenientes con las direcciones de flujo (Pues son conocidas) ni con la nomenclatura (Pues solo se tiene un nodo). 1.1.b) Definición de circuitos Debemos considerar el problema analizado en función de circuitos abiertos, es decir, series de tuberías mediantes las cuales una línea de corriente puede existir en la realidad, en este caso, asumiremos los únicos 2 circuitos posibles de acuerdos a las direcciones de flujo que abarcan toda las tuberías del sistema:

Figura 3. Definición de circuitos en el sistema

1.1.c) Chequeo de las pérdidas de energía A diferencia del método del gradiente hidráulico en el Nodo, en este caso no se toma en cuenta el nodo explícitamente. En primer lugar para resolver el problema por el método matricial, es aconsejable realizar un chequeo de las pérdidas y para esto, recurrimos a la ecuación de Darcy-Weisbach y aplicamos unos valores bastante redondeados para f (Por ejemplo 0,02) y la velocidad (1 m/s) a cada uno de los circuitos: Para el circuito 1: 󰇡

󰇡

󰇢

󰇢

󰇡

󰇡

󰇢

󰇢

Al comparar esto con la diferencia de alturas entre los puntos 1 y 3 (Energía disponible):

“e otiee apoiadaete el 0%, lo ual es aosejale  se puede dei ue le da luz ede al sistea. Similarmente para el circuito 2: 󰇡

󰇡

󰇢

󰇢

󰇡

󰇡

󰇢

󰇢

Al comparar esto con la diferencia de alturas entre los puntos 2 y 3 (Energía disponible):

Las pérdidas son significativas, pero no sobrepasan a la energía disponible para gastar, por lo cual el sistema funciona. 1.1.d) Aplicación de las ecuaciones de conservación de masa y energía Inicialmente se hace explícita la ecuación de conservación de masa en el nodo del sistema:

Luego, analizamos los grados de libertad del sistema, en este caso son 3 (Q1, Q2 y Q3) por lo tanto se requieren 2 ecuaciones adicionales a (16) para resolver el problema

(Corresponde a los 2 circuitos definidos) cada uno genera una ecuación de conservación de energía: Circuito 1 (

:

Circuito 2 (

:

1.1.e) Primera estiaió de los oefiietes de resisteia k Similarmente a como se trabajó en el método de LGH en el nodo, se adoptan en principio uos aloes de f paa las tueías; toaeos 0,03 en este caso para las 3, luego podeos alula el k de auedo a la ecuación (9):

Tabla 10. Coefiiete de resisteia para los f supuestos

Tubería 1 2 3

Ks/D 0,0017 0,0020 0,0020

f turb 0,03000 0,03000 0,03000

K (m5/s2)-1 2040,2 3807,4 7614,9

1.1.f) Definición de funciones de error Idealmente se quiere lograr un cumplimiento perfecto de las ecuaciones (16), (17) y (18), sin embargo, en el método matricial se inicia suponiendo los caudales por lo que la probabilidad de que se cumplan dichas ecuaciones simultáneamente con caudales supuestos es casi nula, así que se genera un error en cada una ellas. Por esta razón podemos definir:

Y de forma similar (No igual) al método de Newton, es válido afirmar que se puede obtener una función con un error menor aplicando:

En notación matricial: [

Donde: Y si [

]

[

[]

[

]

] [ ][ ]

[ ]

] tiende a ser cero, la ecuación 22 puede simplificarse como: [ ][ ] [

]

1.1.g) Montaje de las matrices

Para expresar la matriz [ ] hay que derivar parcialmente las ecuaciones (19), (20) y (21) cada una respecto a Q1, Q2 y Q3 para un total de 9 términos que conforman dicha matriz: [] [

]

El vector [ ] es simplemente un vector columna que contiene los términos que deseamos encontrar de la ecuación matricial, mientras que el vector [ ] también es un vector columna que contiene a las funciones de error definidas en (19), (20) y (21), por lo tanto: [

] [

]

Y en consecuencia la ecuación matricial a resolver es: [

] [

]

[

]

Como se mencionó anteriormente, este método exige suponer unos caudales iniciales, para este caso, se supone una velocidad inicial de 1 m/s en la tubería 1, y a partir de su área (Que es conocida) se obtiene el caudal: (

)

(

)

Ahora bien, de la ecuación de continuidad (16) podemos deducir que:

Así que aplicando estos caudales supuestos (Que cumplen la ecuación de continuidad) y los k de la tala  e la euaió atiial  se tiee: [

]

] [

[

]

[

] [

]

[ ] [

]

[

]

De (25) se obtiene:

Con el vector de correcciones para los caudales, podemos estimar unos nuevos que se aproximan mejor a las exigencias del sistema, y a partir de estos de forma análoga al método de LGH en el nodo, se puede obtener la velocidad del flujo, dividiendo dichos caudales por el área de la sección transversal de cada tubería, consecuentemente se puede calcular el número de Reynolds y ayuda de la ecuación implícita de ColebrookWhite es posile deteia u ueo fato f paa ada tueía poniendo fin a la iteración 1.

Tabla 11. Factores de fricción nuevos luego de la iteración 1

Q (m3/s) 0,090 0,027 0,057

A (m^2) 0,07068583 0,04908739 0,04908739

V (m/s) 1,27 0,55 1,15

Re 291141,033986 104039,928124 220143,908802

f c-w 0,0230 0,0250 0,0242

hf (m) 16,5 2,7 24,4

Co los ueos aloes de f se estia los k de la uea iteaió: Tabla 12. Coefiiete de resisteia para los f e la seguda iteraió

Tubería 1 2 3

Ks/D 0,0017 0,0020 0,0020

K (m5/s2)-1 2040,2 3807,4 7614,9

f turb 0,03000 0,03000 0,03000

Realizando exactamente el mismo procedimiento de la iteración anterior, se obtiene la siguiente ecuación matricial:

[

] [

]

[ ] [

]

[

]

De (26) se obtiene:

Por lo tanto para los nuevos caudales tenemos: Tabla 13. Factores de fricción nuevos luego de la iteración 2

Q (m3/s) 0,102 0,020 0,063

A (m^2) 0,07068583 0,04908739 0,04908739

V (m/s) 1,45 0,41 1,27

Re 331563,126046 78519,546775 243130,037926

f c-w 0,0229 0,0255 0,0242

hf (m) 16,4 1,3 24,1

El método exige realizar más iteraciones, de tal forma que el cambio en los factores de fricción llegue a ser despreciable:

Tabla 14. Coefiiete de resisteia para los f e la terera iteraió

Tubería 1 2 3

Ks/D 0,0017 0,0020 0,0020

K (m5/s2)-1 1560,6 3237,9 6132,3

f turb 0,02295 0,02551 0,02416

La ecuación matricial resultante es:

[

]

] [

[

]

De (26) se obtiene: [ ] [

]

Por lo tanto para los nuevos caudales tenemos: Tabla 15. Factores de fricción nuevos luego de la iteración 3

Q (m3/s) 0,102 0,020 0,062

A (m^2) 0,07068583 0,04908739 0,04908739

V (m/s) 1,45 0,41 1,27

Re 331047,828297 77733,134487 241725,268339

f c-w 0,0229 0,0255 0,0242

hf (m) 16,3 1,3 23,7

Como en este caso los cambios en los nuevos factores de fricción respecto a los anteriores no son significativos podemos aceptar que se ha llegado a la solución del problema. Los caudales de cada tubería son los siguientes:

La solución es exactamente la misma a la que se llegó por el método del LGH en el nodo del sistema.

2) En la figura se muestra el predimensionamiento de un sistema distribución de agua potable (ks = 0.02 mm para todas las tuberías). Se estima que al tanque elevado llegue al menos un caudal de 3.7 l/s. Presente una solución usando el esquema de solución matricial y compare la solución usando el modelo EPANET. Describa las características del equipo de bombeo (circulo azul) necesario (curva característica, eficiencia, potencia, CNSP, diámetro de la tubería de succión y de descarga, accesorios) para impulsar agua a la red de distribución (del tanque con elevación 80 m al nodo 4). Longitudes de tuberías y diámetros en metros.

Figura 4. Esquema del problema 2

2.1) Solución por el método matricial 2.1.a) Estimación de las pérdidas de energía para selección de la bomba Antes de iniciar con la resolución del problema, es necesario tener clara la ecuación del equipo de bombeo que se debe utilizar; como en este caso no se cuenta con dicha ecuación, se debe hacer su selección estimando las pérdidas de energía que se necesitarían compensar para transportar el fluido en la dirección especificada. Para que la estimación sea efectiva, se s...