4. Integrales Indefinidas. Fórmulas 18 a 21 6bb7aa85936 c0de2511d51b2e3fc6e86 PDF

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Ejercicios de calculo integral...

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EJERCICIOS INTEGRALES INDEFINIDAS FÓRMULAS DE 18 a 21 FÓRMULAS DE INTEGRALES INMEDIATAS. – Existe 3 casos para estas fórmulas

18.∫

v dv 1 = arctag +C 2 a a v +a 2

→

dv

∫ v 2 +a 2

también puede escribirse

dv

∫ a2 + v 2 19.∫

dv 1 v−a = ln +C 2 v −a 2a v +a

20.∫

2

19 a .∫

dv 1 a+v = ln +C 2 a−v 2 a a −v

21.∫

2

v dv =arcsen +C 2 2 a √ a −v dv

√v

2

±a

2

=ln (v+ √ v 2 ± a 2)+ C

PRIMER CASO. - Se compara el ejercicio de manera directa con las fórmulas para su resolución. EJERCICIOS. dx

∫ 4 x 2 +9

1.

4 x2 ;

v

esta integral se parece a la fórmula 18, entonces,

2

v =¿

= 2x ; y dv =2 dx , comparamos diferenciales, falta 2 en la del ejercicio. También 2 a =9 ; a=3

¿

2 dx 1 2 ∫ 4 x 2+9

¿

1 1 2x arc tan +C 2 3 3

2.

(

diferenciales iguales, se aplica la fórmula

)

dx

∫ 4 +x 2

2x ; ¿ 1 arc tan +C 6

R/.

3

según 18, a2=4 ; a=2 ; v 2=¿

2

x ,

entonces , v

= x; y

dv=dx .

Comparamos las diferenciales, estas son iguales, se aplica Fórmula 1 x ¿ arctan +C 2 2

R/.

Comprobación, se aplica diferencial o derivada al R/. 1

x 1 ¿ d [ arctan ]+ d (C ) 2 2

1 ¿ 2

¿

x 2 x2 1+ 4

x 1 ¿ d [ arctan ]+0 2 2

1 dx 1 2 ¿ 2 4 + x2 4

d

dx 4+x 2

simplifico

1 (4 + x 2) 2

1 2

y nos queda

L. q. q. d. cosθ dθ

∫ 4−sen2 θ

3.

¿

; simplifico 2 y 4:

1 dx 2

entonces , v

según 19ª,

2 a =4 ; a=2 ;

2

v =¿

2

sen θ ,

= senθ ; y dv=cosθ dθ .

Diferenciales iguales, se aplica

Fórmula. ¿

2+senθ 1 +C ln 2.2 2−senθ

(

)

2+ senθ 1 ¿ ln +C 2−senθ 4

R/.

2

u+3 ¿ ¿ 16−¿ √¿ du ¿ ∫¿

4.

2

2

según 20, a =16 ; a=4

y,

; v =¿

u+3 ¿ ¿ ¿

entonces , v

= u+3 ;

dv=du . Diferenciales iguales, se aplica

Fórmula. ¿ arc sen

∫

5.

( u+34 )+C dy

√ 9 y +4 2

R/.

según 21, v 2=¿

9 y2 ,

entonces , v

= 3 y ; y , dv=3 dy

Comparando diferenciales, le falta el 3 al del ejercicio, así mismo , 2

a =4 ; a=2

2

.

¿

3 dy 1 3 ∫ √ 9 y 2 +4

Diferenciales iguales, se aplica Fórmula.

1 2 ¿ ln ( 3 y + √9 y +4 ) +C 3

6.

dx

∫

según 19,

2

(5 x +2) −9 (5 x+2); y ,dv =5 dx

R/.

v 2=¿

(5 x+2)2 ,

=

entonces , v

. Comparando diferenciales, le falta el 5 al del ejercicio, así mismo, a2=9 ; a=3

=

1 5 dx ∫ 5 (5 x+2)2−9

(

Diferenciales iguales, se aplica Fórmula.

)

¿

5 x+2−3 1 1 ln +C 5 2.3 5 x +2+3

¿

5 x−1 1 ln +C 5 x+ 5 30

(

)

R/.

SEGUNDO CASO. – Las fórmulas ordinarias (18) a (21) contienen en su denominador v expresiones de segundo grado de dos términos solamente, (¿ ¿ 2 ± a2) y ( a 2−v 2) , ¿ es decir, para resolver los ejercicios, debe haber un término constante y un término variable. Sin embargo, en algunos casos una integral puede tener en su denominador una expresión de segundo grado de tres términos. Para resolver los ejercicios, se hace necesario transformar la expresión de tres términos en una de dos, completando el cuadrado. De los dos términos, el uno tiene que ser el resultado de un Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP) y el otro término debe ser una constante. El trinomio del ejercicio para transformarlo debe tener la forma

2 x + bx + c .

EJERCICIOS. 1. Demostrar la siguiente integración

dx

∫ x2 +2 x+5

1 x +1 ¿ arctan +C 2 2

Solución, transformar el trinomio en binomio, completando el cuadrado. Para esto debo formar un Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP) y otro término que es constante.

3

x x 2+2 x +5 = (¿¿2+ 2 x + 1)+4 ¿ 2 ¿ ( x+1 ) +4 dx

Los tres primeros términos forman el TCP. Este resultado se reemplaza en ejercicio inicial.

dx

∫ x2 +2 x+5 = ∫ ( x+1 ) 2 +4 v 2=¿

comparamos con fórmulas, según 18,

(x+1)2 , entonces , v a =4 ; a=2

= (x+1); y , dv=dx . Así mismo,

2

Comparamos diferenciales, son iguales, aplico Fórmula.

∫(

2.

x +1 dx 1 = arctan +C 2 2 x+1 ) +4 2

dx

∫ 4 x− x2

L. q. q. d.

denominador tiene dos términos variables, no se puede

resolver. Hay que transformarlo en 2 términos, 1 variable y el otro constante 2

2

4 x −x =−x + 4 x

lo transformo en TCP

2

¿−( x −4 x+ 4−4 ) x−2 2 ¿ (A) (¿ ¿−4 ] ¿−¿ x−2 2 ¿ +4 ¿ ¿−¿ x−2 2 ¿ (B) ¿ ¿ 4−¿

multiplico

(-) con paréntesis

Como se observa existen dos (2) opciones para resolver ejercicio, Reemplazando cualquiera de las dos en el ejercicio original.  Si resuelvo con la opción (A):

4

(A) o (B)

x−2 ¿ ¿ ¿ −¿ dx ¿ dx ∫ 4 x − x 2 =∫ ¿

x−2 2 ¿ −4 ¿ ¿ ¿ dx ¿ ¿−∫ ¿

entonces , v = x−2 ; dv=dx ; según 19: v 2=¿ (x−2)2 , Comparamos diferenciales, son iguales, aplico Fórmula.

a2=4 , a=2

x−2 2 ¿ −4 ¿ ( x−2 ) −2 −1 ¿ +C = 2.2 ln ¿ ( x−2 ) +2 dx ¿ ¿−∫ ¿

(

)

=

( )

−1 x−4 +C ln x 4

R/.

COMPROBACIÓN, Aplico diferenciales o derivadas al R/.

( x−4 x )

d[

=

−1 −1 ln ¿ +d (C )¿ = 4 4

d

( x−4x ) ln ¿ + 0 ¿

( −14) x−41 d ( x−4x ) =−( 14 )( x−4x ) ( x d ( x−4 ) −x( x−4 ) d (x) ) 2

x ¿−

x ( 14 )( x−4 ) ( xdx− xdxx +4 dx )= x −dx (x−4)

¿−

dx x −4 x

¿

2

cambio 2 de los 3 signos de la fracción, ésta no se altera.

2

dx 2 4 x− x

L. q. q. d. 5

Si resuelvo con la opción (B):



dx

∫ 4 x−x 2 =

x−2 2 ¿ ¿ ¿ 4−¿ dx ¿ ∫¿

según 19a: a2=4 , a=2

;

v 2=¿

x−2 2 ¿ ¿ ¿ 4−¿ dx ¿ ∫¿

)

( )

2+ x−2 1 1 x +C ¿ ln +C= ln 4−x 2−x + 2 4 4

R/.

COMPROBACIÓN, Aplico diferenciales o derivadas al R/.

d[

=

( 4−xx ) 1 1 ln ¿+d (C )¿= 4 4

d

( 4−xx ) ln ¿ + 0 ¿

x 4−¿ ¿ (¿ 2¿¿) (4−x ) d ( x )− x d ( 4−x ) ¿ x 1 1 1 4−x = ¿ d x x 4 4 4−x 4−x

()

entonces , v

dv = dx . Diferenciales

= x−2 ; y son iguales, aplicamos fórmula.

(

(x−2)2 ,

( ) ( )( )

6

x 4−¿ ¿ (¿ 2¿¿) 4 dx − xdx + xdx ¿ 1 4−x ¿ ¿ x 4

simplifico, y queda:

dx x (4−x)

( )( )

¿

dx 4 x− x2

3.

∫

L. q. q. d.

dx

se transforma el trinomio en binomio, ordeno el

√ 15+ 2 x − x 2

trinomio

√ 15+2 x − x 2= √−x 2 +2 x+15

el TCP indica que primer y tercer término (+)

¿ √ − ( x −2 x −15 ) 2 ¿ √ − ( x −2 x +1−15−1 ) ( x−1) multiplico ( −¿ −[ ¿¿2−16 ] ¿ √¿ 2

.

¿ √ 16− ( x−1 )

2

con términos del paréntesis

Reemplazo en ejercicio original.

Recordarle y explicarles a los estudiantes que en este ejercicio NO existen 2 opciones, como en el ejercicio anterior. El signo (-) no sale del Radical, se multiplica por el paréntesis.

∫

dx

√ 15+2 x − x

2

=∫

dx √ 16−( x−1)2

según 20,

2 a =16 ;a=4 ;

2

v =¿

(x−1)2 , entonces , v

=

x−1 ; dv =dx Comparamos diferenciales, son iguales, aplico Fórmula

∫

(x−1) dx dx =∫ +C =arcsen 2 2 4 √ 15+2 x − x √ 16−( x−1)

R/.

NOTA: Vamos a ver con un ejemplo, porque no sale el signo (-) del radical.

√−( x−4 )2=√ (−1)( x−4 )2=√−1 √ (x−4)2

7

¿(x−4) √ −1

i=√ −1

¿ ( x−4 ) i

En números complejos,

2

i =−1, entonces ,

nosotros NO trabajamos con cantidades

imaginarias

∫

4.

ds

√ 4 s+ s2

se parece al ejercicio 2, con dos variables en

denominador, Se transforma en 2 términos, 1 variable y 1 constante.

√ 4 s+ s2 =√ s2 +4 s 2 ¿ √ s + 4 s+ 4−4 2

s+2 2 ¿ (¿ ¿−4 ] ¿ ¿ √¿

∫

s+2 ¿2 ¿ ¿ −4 ¿ ¿ √¿ ¿ ds ¿ ds

√ 4 s+ s2

ordeno binomio y lo transformo en TCP

reemplazo en denominador de ejercicio original

el denominador se parece a fórmula 21, según 21,

=∫ ¿ 2

v =¿

(s +2)2 ,

entonces , v

= s +2 ; dv =ds

;

2

a =4 , a=2

Comparamos diferenciales, son iguales, aplico Fórmula

8

s+2 2 ¿ ¿ ¿ −4 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ s+2 2 ¿ ¿ √¿ ¿ ds ¿ ∫¿

∫

R/.

ds

√ 4 s+ s

2

=ln ( s+2+ √ 4 s+ s2 ) +C

dy

∫ y 2+10 y +30

5.

R/.

Los 2 resultados son válidos.

transformo denominador en binomio, con ayuda del

TCP; Debo obtener, 1 término variable y el otro constante. 2

2

y + 10 y +30= y +10 y + 25+30−25 y ¿(¿¿2+10 y +25 )+ 30 −25 ¿ 2 ¿ ( y +5 ) +5

y +5 ¿2 ¿ ¿ +5 ¿ dy ¿ dy ∫ y2+ 10 y +30 =∫ ¿ y +5 ; dv =dy ;

reemplazo en denominador de ejercicio

según 18,

2

v =¿

2

( y +5) ,

entonces , v

=

2 a =5 , a=√ 5 . Diferenciales

iguales, aplico fórmula

9

dy 1 y +5 +C =¿ arctan √5 √5 y +10 y +30 ∫¿ 2

( y +5) √5 5 dy =¿ √ arctan +C 5 5 y +10 y +30 ∫¿ 2

R/.

Racionalizando el R/.

R/.

Los 2 resultados son válidos.

TERCER CASO. – Cuando el integrando o el ejercicio a resolver, es una fracción cuyo numerador es una expresión de primer grado, mientras el denominador es una expresión de segundo grado que contiene dos o tres términos, la integral dada puede resolverse como se explica a continuación. Para resolver los ejercicios, es necesario transformar la fracción inicial en dos fracciones. Casi siempre o siempre, una fracción se resuelve aplicando las fórmulas anteriores y la otra fracción con las fórmulas actuales 18 a 21. Si el denominador tiene tres términos, se procede como en el caso anterior. EJERCICIOS.

1.

∫

(3 x−1)dx

según 1, esta fracción inicial se la transforma en dos

√4 x 2+9

fracciones

según 2, coloco la constante fuera de la integral. ¿ 3∫

x dx

√4 x

2

+9

−∫

dx

√ 4 x 2 +9

Analizo las integrales, la primera la puedo resolver según 4 y la segunda según 21 ¿ 3∫ (4 x +9 ) 2

−1 2

(xdx)

−∫

dx

√ 4 x 2+9

En la primera v = 4 x 2 +9 ; y , dv=8 x dx . Falta el 8 al diferencial del ejercicio entonces , v = 2 x ; y , dv=2 dx . Falta el 2, además, En la segunda v 2=¿ 4 x2 , 2 a =9 ; a=3

10

−1 2

3 ∫ ( 4 x2 +9) 8 fórmulas. ¿

(8 xdx)

−1 2 dx ∫ 2 √4 x2 +9

diferenciales iguales, aplico las

1

¿

2 2 3 ( 4 x +9 ) 1

1 2

8

−

2

1

= 3 (4 x 2 +9 ) 2 − 1 4

2

3

1 2 = 4 √4 x +9− 2

2 ln ( 2 x+ √ 4 x +9 ) +C

ln ( 2 x+ √ 4 x 2+9 ) +C ln ( 2 x+ √ 4 x 2+9 ) +C

simplifico el 8 con el 2

R/. R/.

Los dos resultados son válidos.

(2 x−7)dx x2 +9 fracciones,

2.

∫

¿∫

Ejercicio se transforma en 2

2 x dx dx −7 ∫ 2 2 x +9 x +9

La primera según 5, v = x 2+ 9; dv=2 x dx . 2 2 entonces , v La segunda según 18, v =¿ x , 2 a =9 ; a=3 . En los 2 casos, diferenciales iguales, se aplica fórmula. 2 ¿ ln ( x +9) −7

∫

R/.

(x+ 3)dx

Ejercicio se transforma

√ 5−4 x−x 2

en 2 fracciones, ¿∫

además,

( 13 ) arctan 3x +C

x 7 2 ¿ ln ( x +9) − arctan +C 3 3

3.

= x ; dv =dx ,

dx x dx + 3∫ 2 √5−4 x− x √ 5−4 x− x2

La primera según 4,

11

5−4 x − x 2 ¿ ¿ ¿ ¿∫ ¿ La primera, v

(A)

= 5−4 x − x 2 ; dv=− 4 dx−2 xdx =( −4−2 x ) dx , reemplazamos

5−4 x − x 2 ¿ ¿ ¿ 1 ¿− ∫ ¿ 2 5−4 x − x 2 ¿ ¿ ¿ 1 ¿− ∫ ¿ 2 5−4 x − x 2 ¿ ¿ −4−2 x ¿ 1 ¿− ∫ ¿ 2

agrupo y busco el

dv que obtuve

Puedo transformar en 2 fracciones

5−4 x −x2 ¿ ¿ −1 ¿ [ (−4 −2 x ) dx] 2 ¿ 5−4 x −x2 ¿ ¿ ¿ 1 ¿− ∫ ¿ 2 De estas dos integrales escribo la Segunda con exponente positivo o radical, y les agrego la segunda integral de (A),

12

5−4 x −x2 ¿ ¿ −1 [ (−4 −2 x ) dx] ¿ 2 ¿ 1 ¿− ∫ ¿ 2

T.S.

2

5−4 x −x ¿ ¿ −1 ¿ [ (−4 −2 x ) dx] 2 ¿ 1 ¿− ∫ ¿ 2

(B)

En la segunda integral de (B), hago el denominador Binomio, con ayuda del TCP. √ 5−4 x − x 2= √−x 2−42 x +5 ¿ √ −( x +4 x −5) ¿ √ −( x 2 +4 x + 4−5−4 ) 2 multiplico signo (-) por paréntesis ¿ √ −[ (x+2 ) −9] 2 9−( x+2 ) reemplazo en la 2da integral de (B) ¿ √¿ ¿ 5−4 x −x2 ¿ ¿ −1 ¿ [ (−4 −2 x ) dx] 2 ¿ ¿ 1 ¿− ∫ ¿ 2 Analizo estas 2 integrales que se lograron transformando el ejercicio original: La primera según 4, v = 5−4 x − x 2 ; dv=− 4 dx−2 xdx =( −4−2 x ) dx ( x+ 2 )2 ; v = x+ 2; dv =dx , La segunda según 20, a2=9 , a=3 ; además , v 2=¿ Podemos observar que los diferenciales de la primera y segunda integral están iguales, por lo tanto, aplico las fórmulas.

13

5−4 x − x 2 ¿ ¿ 1 ¿ 2 ¿ 1 ¿− ¿ 2

simplifico los 2 y arreglo

2 ¿−√5−4 x−x + arc sen

x+ 2 +C 3

R/.

(x−2)dx 6 x− x2 fracciones,

4.

∫

¿∫

Ejercicio se transforma en 2

x dx dx −2∫ 2 6 x− x2 6 x−x

La primera según 5,

(A)

v =6 x − x 2 ;dv =6 dx −2 xdx=( 6−2 x ) dx ,

¿−

1 −2 xdx −1 (6−2 x−6 ) dx = 2 ∫ 2 ∫ 6 x−x 2 6 x− x2

¿−

1 [ (6−2 x)−6] dx ∫ 6 x− x2 2

dx 6 x−x2 ∫ ( 6−2 x ) 2dx−6∫ ¿ 6 x− x 1 ¿− ¿ 2

esta integral la transformo en 2 integrales

simplifico y agrego 2da integral de (A)

¿−

dx dx 1 ( 6−2 x ) dx +3 ∫ −2 ∫ ∫ 2 2 2 6 x− x2 6 x− x 6 x− x

¿−

dx 1 ( 6−2 x ) dx + 2 ∫ 6 x− x2 ∫ 6 x− x2

Términos Semejantes

(B)

En la segunda integral de (B), hago el denominador Binomio, con ayuda del TCP. 6 x−x 2=− x 2 + 6 x =−( x 2 −6 x ) 14

¿−( x 2−6 x +9 −9 ) ¿−[( x 2−6 x +9 )− 9 ] 2 ¿−[ ( x−3) −9] 2 ¿ 9−( x−3) ¿−

multiplico el signo (-) por paréntesis reemplazo en denominador de 2da integral de (B)

dx 1 ( 6−2 x ) dx ∫ 6 x − x 2 +∫ 9−(x−3 )2 2

La primera resuelta según 5.

Analizo 2da integral según 19a, a2=9 , a=3 ; además , v 2=¿ dv = dx

2 ( x−3 ) ; v

= x−3 ;

3+x−3 1 1 ln ¿− ln ( 6 x − x 2) + +C 2.3 2 3−x+3 1 1 x 2 ¿− ln ( 6 x − x ) + ln +C 2 6 6−x

R/.

COMPROBACIÓN, aplicar diferenciales o derivadas al R/.

(6 x− x2 ) ln ¿ ¿ −1 d ¿ 2

6 x−x 2 ¿+

1 6−x (6− x)dx − x (− dx ) +0 2 6 x (6−x) 1 1 ¿− d¿ 2 6 x −x2

¿−

1 ( 6−2 x) dx 1 1 6 dx − xdx + xdx + 2 6 x− x2 6 x 6−x

¿−

1 2 ( 3−x ) dx 1 6 dx + 2 6 x − x 2 6 x 6−x

¿−

( 3−x ) dx 1 dx + 6 x−x 2 x 6−x

¿

¿−

dx ( 3−x ) dx + 2 6 x− x 6 x−x 2

( 3−x ) dx dx−( 3−x ) dx dx = − 2 2 6 x− x 6 x−x 6 x− x2 15

ordeno, primero el (+)

¿

dx −3 dx + xdx 2

6 x−x ¿

( x−2 ) dx 6 x− x2

=

xdx−2 dx 6 x− x2

L. q. q. d.

16...