Cálculo 2do semestre GUÍA 2 de Integrales Indefinidas PDF

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Guía N° 2, Cálculo IIIntegrales Indefinidas, Métodos de Integración y AplicacionesProfesores: Ma. Alejandra Peralta M., Arturo Bernal C., Claudia Villalobos H., Liliana Licuime M., ArturoVallejos A.I. En cada caso, encontrar la función y  xf )( con la condición dada.a)  senx  2 dxdy , y )3(  1 R...

Description

1

Guía N° 2, Cálculo II Integrales Indefinidas, Métodos de Integración y Aplicaciones Profesores: Ma. Alejandra Peralta M., Arturo Bernal C., Claudia Villalobos H., Liliana Licuime M., ArturoVallejos A.

En cada caso, encontrar la función y  f (x) con la condición dada.

I.

a)

dy  senx  2 , y(3)  1 dx

R : f ( x)   cos x  2x  4

b) f ' ' ( x)  2 , f ' (2)  5 , f (2)  10

R : f ( x)  x 2  x  4

c) Hallar la función cuya derivada sea f ' ( x)  4 x 3  7 x 2  5 x  1 y que se anule para x  1 . 7 5 1 R : f ( x)  x 4  x 3  x 2  x  3 2 6 d) Encontrar la ecuación de la curva que pasa por los puntos P(0,3) y Q(1,4) sabiendo que 1 7 su segunda derivada es f ' ' ( x)  3x  7 R : f ( x)  x3  x2  5 x  3 2 2

II.

Problemas de aplicación:

1.- Se lanza una piedra hacia arriba desde una altura de 144 [pies] sobre el suelo con una velocidad inicial de 96 [pies/seg]. Despreciando la resistencia del aire: a) determinar su altura sobre el suelo a los t segundos b) ¿durante qué intervalo de tiempo la piedra sube? c) ¿En qué momento y con qué velocidad choca la piedra contra el suelo al descender? 2.- Una compañía maderera está buscando un modelo que describa la pérdida media de peso W ( lb) por tronco en función del número de días t de tiempo de secado. El modelo ha de ser fiable para los 100 primeros días contados desde la tala del tronco. A partir de los datos recogidos en los primeros 30 días de secado, se dW 12  determinó que dt 16t  9 a) Hallar W como función de t. Nótese que no hay pérdida de peso hasta que 3 el tronco sea talado. R: w(t )  16 t  9 3 2 b) Calcular la pérdida total de peso en 100 días. R: w(100)  55.67 lb





2

12 dC 3 12 x  1 dx a) Hallar la función de costo si C =100 para x =13 R: b) Dibujar la función de costo marginal y la función de costo en el mismo sistema coordenado.

3.- El costo marginal de cierto producto viene dado por

4.- Un cuerpo se mueve con velocidad variable v; su aceleración es  kv2 , siendo k 1 1 constante. Si v0 es la velocidad cuando t  0, demostrar que   kt v v0 III.

Calcular las siguientes integrales indefinidas 2

a) b) c)

2   x  x  x  dx 4  x 3  x dx  4   1  x 2  4x  1 dx

R:

1 3 2 R :  x  6x  48x  64 ln x  C 3 R : 2x 2  x  4arctan x  C

e)

 tan x dx  3sen  x  7 sen x  3 cos  x  6 cos x  1 dx

f)

 e

d)

g)

2

2

x

2



 3x  2 dx

x  

1 x 2

 dx

3

h) i) j)

R : x  tan x   C R : 4 x  7 cos x  6sen x  C R:

3 2 x  2x  e x  C 2

2

1 x 3x 1  x 2  6 x 4  2 dx  5  5x 2 3  5  5x 2 dx 5  7  7 x 2 dx 2

1 4 2 x  2x  4 ln x  C 4

R : x 2  arcsen x  C

3 4 2 x  arctanx   C 20 5 3 5 R: arcsen x  C 5

R:

R:

5 arctanx   C 7

2

k) l)

m)

x    2x 2   2 e  e    dx  3 x  x 5  x 2 1 dx



4  1  x2 3  3x

2

dx

R : 4 x  e x  4e x  C

R:

R:

1 2 x  5arctanx   C 2

3  x  4arcsen x  C 3

3

x

2   2 3 5 R:  5  2 5 ln    5

   

n)

3 2x  2 3x  5x 1 dx

o)



p)

 4 csc x cot x 2 sec x dx

2 cot x  3 sen2 x dx sen x

R : 2 csc x  3 cos x  C

R : 4 csc x  2 tan x  C

2

IV.

x

3    5  C 3 ln   5

Sustitución simple

1.

e

2.

 sen ax dx

3.



4.

 2 x  1 

5.

 3x  7

6.

 5  2x

R: 

7.

x

2 x 1dx

R:

5 5 1 2 x  1 2  1 2 x  1 2  C 10 6

8.

 5x

3

R:

7 15 4 2x  3  60 4  2 x 4 3  C 28 16

9.

 cos

10.



11.

 x( 3x

13 x7

dx

R:

ln x dx x 50

dx

dx

dx

3

4  2x dx

x senx dx

x2  1 x dx 2

 4 ) 4dx

1 13x 7 e C 13 cos ax C a

R: 

R:

1 2 ln x  C 2

R:

1  2 x  151  C 102

R:

1 ln 3

R: 

3x  7  C

1 ln 5  2 x  C 2

cos4 x  C 4

x



R:

1 3

R:

1 (3 x 2  4 )5  C 30

2

1

3

C

4

12.



sen 2x dx

2 1  sen 2 x  C

R:

2 3

1  sen x tgx 1

13.



14.

 1  3 sen

15.



16.

R:

2

2

cos x

dx

cos 2x dx

R: 

2 x

3

sen 3x dx 3

cos

4

3

 x  1x  1

100

dx

17.  ecos x sen x dx

R:

ex dx 4e x  3



19.

 2  sen 4xdx

20.



21.

 sen x cosx dx

22.



6  5x

2

y 2 dx y2  4 y

senx 



25.

 x  senx 

101

cos x

C

5 x sen8 x  C 16 2



3 6  5 x2 10

ln y 2  4 y

2

dx

dx

dx



2

 C

3

C

sen 3  x C 3

R:

4  cos x  1  cos x 

102

R:

R:

3

C

C

1 ln 4e x  3 4

2

24.

cos 3 x

2 x

 x 1102  2x  1101  C

R: 

dx

 secx   23.     1  tanx  

1 3sen

R:

2

2x

3

1

R: R :  e

18.

3

1 12

 1  C

1

R:

3x

tgx

2

C

1 C 1  tanx 

R:



R:

2 4  cosx   C

R:

ln x  sen x  C

5

V.

Integración por partes R: e ( x  1 )  C

1.

xe

2.

x

3.

 ln x dx

4.

x

2

5.

x

2

6.

e

x

7.

xe

8.

 x arctan x dx

9.

x e

10.

 xsenx dx

11.



12.

 3 x

2

x

e x dx

R: e

ln x dx

sen x dx

x



 2x  2  C

x ln x  x  C

R:

1  x3   ln x    C 3  3 

ex  sen x  cos x   C 2 x

dx

R:

x2 1 1 arctan x  x  arctan x  C 2 2 2

R:

 x 2e x  2 xe x  2e x  C

R:  x cos x  senx  C

R:



 2 x2  4 x  2 e x dx

3 2 2

dx

14.

 ln x 

15.

 xsen 3xdx





3 2







2 1 x 2 15



R:

1  x 2 dx



x2 1 x 2 3



5 2

3 2 R:  3x  7x  18 x  20 e

arctan x 

1  x 

2

R: e ( x  1 )  C

3x 3 6  3x 2 dx

e

x

R:

R:

dx

3

x

2 R: x senx  2 x cos x  2 senx  C

cos x dx

2 x

13. 

x

dx

1 arctanx   1  x  e   x2 2  1

R: x ln x  1  x

2

R:

2

C x

C

  C  

 1  x2  C

1 1 1 sen 2 3 x   x 2  xsen6 x   C 4 12 36

6

VI.

Integrales por sustitución trigonométrica

1.



2.



x3 16  x

2

R:  16  x 2 

dx



64 16  x 2 9



  C  

R:

x 1  4  4  x 2



x 2  16 dx x4

R:

1 x 2  16 x 2  16 C x 48

4.



9 x2 dx x2

R: 

5.



x2  5 dx

6.

x

7.

 6  x 

8.

x

2

9.



4x2 dx x2

10.

 2  x 

11.

 x

3.

12.

13.

dx

4  x  2

3 2

x 9 2

dx

2

dx 4  x2

dx

2

w 

dx 2



 6 x  18 ln 3 w ln w  4 2

x2 2x  x

2

dx

3

x2  9 1 x  arc sec    C 2 54  3  18 x x 6 6 x2

C

R: 

4 x2 C 4x

R: 

4 x2 x  arcsen   C x 2

x C 2 2  x2

R:  2

dw

x2  5  x C 5

R:

R:

3 2

9  x2 x  arcsen   C 2 x 3

1 5 x x 2  5  ln 2 2

R:

3 2



R:

dx 3



16  x 2  C

1 9

x3 x  6 x  18 2



C



R:

1 3

R:

1 3 arcsen x  1   x  3 2 x  x2  C 2 2

ln 2 w  4 8  ln 2 w  C

7

VII.

1.

Integrales por sustitución trigonométrica



du

a

2.

x

3.



2

u

5.

6.

4x  9

2



x2 x 6 2

3

a

R:

R: 2

dx

t 2 dt



4t

x

2



8

R:

3 2

8.

y

9.

z

x 4 2

R:

x 2 x2  2

y2  7



z 9 2

16  t 2 dt t2

t  t 4  t 2 2 arcsen   C 2  2 x x 8 2





 ln x  x 2  8  C

y2  7 C 7y

R:

z2  9 1  z  arc sec    C 2 18z 54 3 

R:

R:



 1  x  C ln  2 2  2  x  4 

dz 3

C

x x 2  6  3 ln x  x 2  6  C 2

dy 2

C

4 x2  9  3 C 2x

1 ln 3

R: 

dx

a 2  u2

2

R: 

2

x 2 dx

x



u

R:

dx

7.

10.

2

2







3

dx

x 2

4.

2



16  t 2 t   arcsen    C t  4

8

VIII.

Integrales que contienen una expresión cuadráticas

1.

x2  x 2  2 x  5 dx

2.

x

3.



4.

 3x

5.



6.



7.

 4x  x

8.

 4x

9.



10.

x

dx dx  2x 5

2

2

2

dx  4x  7

R:

dx

1  8x  3 arcsen  C 2  41 

R:

x 1 C ln 4 x4

R:

1  2 x  1 arctan C 4  2 

R:

x 1 ln C 2 x2

dx  4x  3

R:

1 x 1 ln C 2 x 3

dv  6v  5

R:

1 v5 ln C 4 v 1

2  3x  4 x

dx

2

2

dx  4x  5

dx x  2x 2

2

1 3x  3 ln C 10 3x  7

R:

dx

11.  v

1  x  1 C arctan  2  2 

R: arcsen x 1  C

2x  x2

2

R:

 2 x  1 R: 2 arcsen  C  3 

dx 2 x  x

3  x 1  R: x  ln x 2  2 x  5  arctan  C 2  x 

2

9

IX.

Método de descomposición en fracciones parciales A) Factores lineales distintos

2 x3  3 x 2  4 dx x2  4x  3

1.



2.

x

2

x

2

3.

4.

5.

2 R: x  11x 

1 77 ln x  1  ln x  3  C 2 2

R:

1 x 4 C ln 8 x 4

x2 dx  2 x  15

R:

7 1 ln x  5  ln x  3  C 8 8



x 3  2x dx x2  2 x  2

R:

1 2 x  2x  4 arctan( x  1)  C 2



2 x2  3x  1 dx x 3  6 x2  8 x

R:

3 21 1 ln x  ln x  4  ln x  2  C 4 8 8

dx 16

B) Factores lineales repetidos 1.

x3  1  x x 1 3 dx

2.

 x 2 x 1 dx

R:

3.

x2  2x  4  x 13 dx

R: ln x  1 

4.

3x 2  5x   x 1 x 1 2 dx

R: 2 ln x 1  ln x 1 

5.

x2  2  x 13 x  2  dx

R:

6 x 1

3

R: 2 ln x  1  ln x 

1 1  C x 1  x  1 2

4 1  8 ln x  2  8 ln 2 x 1  C x 2x



3 C 2 2  x  1 1 C x1

2 x 1 2 x2 C  ln 2 9 x 1 6 x 1

10

C) Factores cuadráticos irreductibles distintos

 x

1.

R: 

R:

dx

3

3x  1 dx  2 x2  5 x

1 1 14  1  x  1  ln x  ln x 2  2x  5   arctan   C 5 10 5 2  2  x2  2x 3  (x2  4) x  12 dx

3.

2 2 4 19 1  ln x 2  4   ln x 1  arctan x   C 25 5( x 1) 25 50 2 

R:

x2  3x 3  x 3  x 2  x  1dx

4. R:

5.



1  x 1

1 1 1 ln x 2  1  arctan x   ln x  1  C 4 2 2

x

2.

x 2

5 1 1 arctan x  ln x  1  ln x 2  1  C 2 2 4

x 3  3x 22x  1  x4  5x 2  4 dx R: ln x

2

1 2 11 1  2  4  ln x 1  arctan x  arctan x   C 2 3 6 2 

D) Factores cuadráticos irreductibles repetidos



x4 1 dx (x 2  4)3

R:

x x 17 77 51 1    arctan x  C 2 2 2 16 ( x  4) 128 ( x  4) 256 2 

2.



x2 dx (x 2  4)2

R:

x 1 1  1 arctan x   C 2 4 2  2 x 4

3.

x

x 3 dx  9x 2

R:

1 1 1 1 1  ln x   ln x 2  9  arctan x   C 9 3 x 18 9 3 

1.

4.



4

18 2 51 7 x 3  2 x 23 x  4  arctan( x  1)  ln x 2  2 x  2  C dx R: ln x  1  4 2 x 25 5(  1) 25 50 x  x  2x  2

11

X.

Calcular las siguientes integrales.

dx

 1  e x 1  C ln   1  e x 1   

1.



2.

 x

3.



4.

3x 2  2 x  5  x  33 dx

R: 3 ln x  3 

5.

x

R:

6.

  x 1 

R:

1ex 3



R: 

ln x dx x3

R: 

1  x dx x 1 2

3

R:

1 1 3 7 2 7 x  x  x   e2 x  C 4 4 8 2

 5 x 2  2 e 2 x dx

2

1 1 ln x  2  C 2 2x 4x

20 19  C x  3 x  32

2 1  x 2 1  x  2 1  x  1  x  C 5 3

dx

 x 1

66 x  1 5  3 3 x  1 2  2 x  1  93 x  1  18 ln 6 x  1  1  C 5 2

7.

e4 x  3  e 3x dx

x R: e 

8.

 arctan(x ) dx

R: x arctan( x) 

9.

2x 2  5x  1  x3  x2  2 x dx

R:

10.

x2 1  x  12 x  3 dx

x3

1 x 4

11.



12.

x 1 e  1  e x dx

1  x 1 4

dx

R:

R:



1 C e3 x





1 ln 1  x 2  C 2

1 1 ln x  2 ln x  1  ln x  2  C 2 2

3 1 5  ln x  3  C ln x  1  8 2x  1 8



1 1 1 x 4  1  x 4  ln 4 2





2

R: x  ln e x  1  C

1  x4 1  C

12

13.

2 x 2  3x  2  x3  x dx

R:

2 ln x  3 arctan x  C

14.

x

R:

1 3 1 x  ln x    C 3 3 

15.

 x sen3xdx

16.

x

17.

3 x 3 5 x  x2  x  2 dx

2

ln x dx

2

3

3x  5 dx  x2  x  1

R: 

2 2 1 2 x cos 3x  xsen 3x  cos 3 x  C 27 9 3 R:

R:

1 1 4 C ln x  1  ln x...