GUIA2 Ntegrales Indefinidas Calculo II - 2 Semestre 2017 -1 PDF

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1 CÁLCULO II (DCCB00207-DCCB00285) Guía N° 1 / Segundo semestre 2017 Integrales Indefinidas, Métodos de Integración y Aplicaciones Profesores: Ma.A, A, C, L I. En cada caso, encontrar la función y  f (x) con la condición dada. a) f ' ' ( x)  2 , f ' (2)  5 , f (2)  10 R : f ( x)  x 2  x  4 b)...

Description

1

CÁLCULO II (DCCB00207-DCCB00285) Guía N° 1 / Segundo semestre 2017 Integrales Indefinidas, Métodos de Integración y Aplicaciones Profesores: Ma.A.Peralta, A.Bernal, C.Villalobos, L.Licuime I.

En cada caso, encontrar la función y  f (x) con la condición dada. 2 a) f ' ' ( x)  2 , f ' (2)  5 , f (2)  10 R : f ( x)  x  x  4 b) Su derivada es f ' ( x)  4 x 3  7 x 2  5 x  1 y que se anula para x  1. 7 5 1 R : f ( x)  x 4  x 3  x 2  x  3 2 6 c) La función toma en x  1 el valor 2 y que tenga por derivada la función f ' ( x)  12 x 2  6 R : f ( x)  4 x 3  6 x  8 d) Pasa por los puntos P(0,3) y Q(1,4) y que su segunda derivada es f ' ' ( x)  3x  7 1 7 R : f ( x)  x3  x 2  5 x  3 2 2

II. Problemas de aplicación: 1.- Una flecha se dispara verticalmente hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 24.5 metros por segundo. ¿Cuál es su altura máxima? R: 30.625 metros 2.- Se lanza una piedra hacia arriba desde una altura de 144 [pies] sobre el suelo con una velocidad inicial de 96 [pies/seg]. Despreciando la resistencia del aire: a) determinar su altura sobre el suelo a los t segundos b) ¿durante qué intervalo de tiempo la piedra sube? c) ¿En qué momento y con qué velocidad choca la piedra contra el suelo al descender? 3.- Una compañía maderera está buscando un modelo que describa la pérdida media de peso W ( lb) por tronco en función del número de días t de tiempo de secado. El modelo ha de ser fiable para los 100 primeros días contados desde la tala del tronco. A partir de los datos recogidos en los primeros 30 días de secado, se dW 12 determinó que  dt 16t  9 a) Hallar W como función de t. Nótese que no hay pérdida de peso hasta que 3 el tronco sea talado. R: w(t )  16 t  9 3 2 b) Calcular la pérdida total de peso en 100 días. R: w(100)  55.67 lb





2

dC 12 3 dx 12 x  1 a) Hallar la función de costo si C =100 para x =13 R: b) Dibujar la función de costo marginal y la función de costo en el mismo sistema coordenado.

4.- El costo marginal de cierto producto viene dado por

5.- Un cuerpo se mueve con velocidad variable v; su aceleración es  kv2 , siendo k 1 1 constante. Si v0 es la velocidad cuando t  0, demostrar que   kt v v0 III.

1.

Calcular las siguientes integrales por el método adecuado.

 (3x

2

 7 x  12 ) dx

( 2 x  3)2 dx 2.  x 3.

 2a b   2  3c 3 x2 dx x x 

 

x 2 2     x dx 4.   2 x 2 

 3 x x    dx   5. 4   x

x3  8 dx 6.  x  2 4 x2  x dx 7.  x

8.

 x  x dx

( 2 x  3)2 9.  dx x

4 1  10.   2   2  dx x x x 

3

14 2  x  12 x  C 3

3

R:

x

R:

2 x 2  12 x  9 ln x  C

R: 2 a Ln x 

R:

4 1 7 x  C 7 x

R: 6 x 

R:

b 9 3 5  c x C x 5

1 2 x x C 10

x3  x2  4 x  C 3

R: 2 x  2 x  C 2

R:

x 2 2x x  C 3 2

R:

2 x2  12 x  9 ln x  C

R:



1 8   2x C x x

3

IV.

Sustitución simple

1.

e

2.

 sen ax dx

3.



4.

 sen

5.

 3x  7

6.

 5  2x

R: 

1 ln 5  2 x  C 2

7.

1  e2 x  ex dx

R: 

1 C ex

8.

x

2 x 1dx

R:

5 5 1 2 x  1 2  1 2 x  1 2  C 10 6

9.

 5x

3

R:

15 4  2 x 7 3  60 4  2x 4 3  C 16 28

10.

 cos

11.



12.

 x( 3 x

13.



13x 7

dx

ln x dx x

dx 2 3x

dx

dx

3

4  2 x dx

x senx dx

x2 1 x dx 2

 4 ) 4 dx

cos x dx sen 2 x

R:

1 13x 7 e C 13 cos ax C a

R: 

R:

1 2 ln x  C 2 cot g 3x C 3

R: 

R:

R:

1 ln 3



3x  7  C

cos 4 x  C 4

x



R:

1 3

R:

1 (3 x 2  4 ) 5  C 30

R: 

2

1

1 C senx

3

C

4

14.

sen 2 x dx



tgx  1



16.

 1  3sen

17.



19.

dx

2

cos x

cos 2x dx 3 2 x

V.

R:

2 3

R: 

sen 3 x dx 3

cos

4

3

3x

 x  1x  1

100

x

dx

dx ln x

1 12

 1  C 3

1

1  3sen

2 x 3

C

R:

x 1102  2x  1101  C

R:

ln ln x  C

102

101

cos x

C

1 ln 4e x  3 4

R:

 C

Integración por partes

1.

xe

2.

x e

3.

 ln x dx

4.

 x ln x dx

R:

x2  1  ln x    C 2 2 

5.

x

R:

x3  1   ln x    C 3  3

2

2

x

dx

R: e ( x  1 )  C

x

R: e x x 2  2 x  2  C

dx

ln x dx

x



R:

C

cos 3x

R: R :  e

ex dx 4e x  3



tgx

1

R:

20.  ecos x sen x dx 21.

2 1  sen 2 x  C

1 sen 2 x

15.

18.

R:



x ln x  x  C

5

 x cos x  sen x  C

6.

 x sen x dx

R:

7.

x

2

R: x 2 senx  2x cos x  2 senx  C

8.

e

x

9.

xe

10.

e

11.

 x arctan x dx

12.

x e

13.

 xsenx dx

14.

x

VI.

x

cos x dx sen x dx

x

3

R: e x ( x  1 )  C

dx

sen x dx

2 x

ex sen x  cos x   C 2

R:

R:

ex  sen x  cos x  2

R:

x2 1 1 arctan x  x  arctan x  C 2 2 2

 x 2e x  2 xe x  2 e x  C

R:

dx

R:  x cos x  senx  C

1  x 2 dx

x2 1 x2 3



R:



3 2





2 1 x 2 15

5 2

C

Integrales por sustitución trigonométrica

1.



2.



x3

dx

16  x

2

dx

R:  16  x 2 



64 16  x 2 9



1 4



x 2 16 dx x4

R:

1 x 2  16 x 2  16 C x 48

4.



9  x2 dx x2

R: 

5.



x 2  5 dx

4  x  2

3

2

R:

16  x 2  C

 x   C   2   4 x 

R:

3.







9 x 2 x  arcsen    C 2 x 3 

1 5 x x 2  5  ln 2 2

x2  5  x C 5

6

dx

6.

x

7.

 6  x 

8.

x

2

9.



4  x2 dx x2

10.

 2  x 

11.

 x

12. 13.

VII.

R:

x 9

3

2

dx

2

R:

3 2

dx 4x

2

dx

2

3

dx 2



 6 x  18

w

ln 3 w



x2

ln w  4 2

2x  x

2

3

2

dw

dx

x 6 6  x2

C

R: 

4 x2 C 4x

R: 

4 x2 x  arcsen    C x 2 

R:

2

x2  9 1 x arc sec    C 2 54  3  18 x

x 2 2  x2

R: 

C

x3 1 C 9 x 2  6 x 18





R:

1 ln 2 w  4 8  ln 2 w  C 3

R:

1 3 arcsen x  1   x  3 2x  x 2  C 2 2

Integrales que contienen una expresión cuadráticas

1.

x2  x2  2x  5 dx

2.

 x  2 

3.

 x

4.



5.

x

dx x2  4 x  3

4 x 7 2

3x  4 2 x  x2 2



2 x 3

dx  x 1

2

dx

dx

3  x 1 R: x  ln x 2  2x  5  arctan   C 2  x 

R: R: R: R:

7

6.



7.



VIII.

2 x 5 4 x  x2

dx

R:

2x  3 x  2 x 3 2



3

dx 2

R:

Método de descomposición en fracciones parciales

A) Factores lineales distintos 1.

2x 3  3x 2  4  x 2  4x  3 dx

2.

x

dx 16

R:

1 x4 ln C 8 x4

x

x 2 dx  2 x  15

R:

7 1 ln x  5  ln x  3  C 8 8

x 3  2x  x 2  2x  2 dx 4.

R:

1 2 x  2 x  4 arctan( x  1)  C 2

2 x 2  3x  1  x3  6x 2  8x dx 5.

R:

1 21 3 ln x  ln x  4  ln x  2  C 8 8 4

3.

2

2

R: x 2  11 x 

1 77 ln x 1  ln x  3  C 2 2

B) Factores lineales repetidos 1.

x 3 1  x x 1 3 dx

2.

 x 2x  1 dx

R:

3.

x2  2x  4  x 13 dx

R: ln x 1 

4.

3x 2  5 x  x  1x  12 dx

R: 2 ln x  1  ln x  1 

5.

6 x 1

3

x2  2

 x 1 x  2  dx 3

R: 2 ln x  1  ln x 

R:

1 1  C x  1  x  1 2

4 1  8 ln x  2  8 ln 2 x 1  C x 2x



3 2  x  1

2 x 1 6 x 1

2

2

C

1 C x 1

2 x2 C  ln 9 x1

8

C) Factores cuadráticos irreductibles distintos

 x

1.

R: 

R:



3

3 x 1 dx  2x 2  5x

1 1 14  1  x 1  ln x  ln x 2  2 x  5   arctan    C 5 10 5 2  2  x 2  2x  3  ( x2  4)x 12 dx

3.

2 2 4 19 1  ln x 2  4  ln x  1  arctan x   C  25 5( x  1) 25 50 2 

R:

x 2  3 x 3  x 3  x 2  x 1 dx

4. R:

5.

x dx 1 x 1

1 1 1 ln x 2  1  arctan x   ln x  1  C 4 2 2

x

2.

2

5 1 1 arctan x  ln x  1  ln x 2  1  C 2 2 4

x 3  3x 22 x  1  x 4  5x 2  4 dx R: ln x  4  2

1 2 11 1  ln x 2 1  arctan x  arctan x  C 2 3 6 2 

D) Factores cuadráticos irreductibles repetidos 1.

x 4 1  ( x 2  4) 3 dx

R:

x x 17 77 51 1  arctan  x  C   2 2 2 16 ( x  4) 128 ( x  4) 256 2 

2.

x2  (x 2  4) 2 dx

R:

x 1 1  1 arctan  x   C 2 4 2  2 x  4

3.

x

x 3 dx  9x 2

R:

1 1 1 1 1  ln x   ln x 2  9  arctan  x   C 9 3 x 18 9 3 

4.

18 2 51 7 x3  2 x2 3 x  4 2  x4  x2  2x  2dx R: 25 ln x  1  5( x 1)  25 arctan( x  1)  50 ln x  2 x  2  C

4

9

IX.

Integrales de funciones racionales de seno y coseno

dx

 2  2sen( x)  cos( x)

1.

R: 

dx 2.  tg ( x)  sen( x)

X.

x    1  tg    2   C R: ln    x   3  tg    2  

1   x  1  ln tg     C  x 2   2   4tg 2   2 

Calcular las siguientes integrales.

dx

1.



2.

 x

3.

x

R:

1  ex 3

ln x 3



R: 

dx

R: 

3x 2  2 x  5

 x  3

5.

x

6.



7.

1 1 3 7 2 7 x  x  x   e2 x  C 4 4 8 2

 5x 2  2 e 2 x dx

4.

3

R:

 1  ex  1   C ln   1  ex  1   

dx

1  x dx

1 1 ln x  2  C 2 2x 4x

R: 3 ln x  3 

R:

20 19  C x  3  x  32

2 2 1  x  2 1  x  1  x  1  x  C 5 3

x 1  2 3

x  12

dx  x 1

66 x  1 5  3 3 x  1 2  2 x  1  93 x  1  18 ln 6 x  1  1  C 2 5

e 4x  3  e 3x dx

R: e  x

1 C e3 x

10

8.

 arctan(x) dx

R: x arctan( x) 

9.

2 x 2  5 x 1  x 3  x 2  2x dx

R:

10.

x2 1  x 12 x  3 dx

x 3 1 x 4



1 1 ln x  2 ln x  1  ln x  2  C 2 2

R:



3 1 5  ln x  3  C ln x  1  8 2x  1 8



1 1 1 x4  1  x 4  ln 4 2

11.



12.

1 ex 1  e x dx

R: x  ln e x  1  C

13.

2 x2  3 x  2  x 3  x dx

R:

2 ln x  3 arctan x  C

14.

x

R:

1 3 1 x  ln x    C 3  3

15.

 x sen3xdx

16.

x

17.

3x 3  5x  x2  x  2 dx

1  x 1 4

2

dx



ln x dx

2

3

R:

3x  5 dx  x 2  x 1

R: 



1 ln 1  x 2  C 2

1  x4  1  C



2

1 2 2 2 x cos 3 x   xsen 3 x   cos 3x   C 3 9 27 R:

R:

1 1 4 ln x  1  ln x  1  C x 1 2 2

3 2 34 8 x  3 x  ln x  2  ln x  1  C 2 3 3...