AD1 - Calculo 3 - gabarito -2017-1 PDF

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APX1 CIII 2020 2 gabarito APX1 CIII 2020 2 gabarito...

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Fundac ¸˜ao Centro de Ciˆencias e Educac ¸˜ao Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac ¸˜ao Superior a Distˆancia do Estado do Rio de Janeiro

AD1 – C´ alculo III – Gabarito – 2017-1

Nome:

Matr´ıcula:

Quest˜ ao 1 (6,5 pontos) Considere a fun¸c˜ao vetorial r : λ ∈ R 7−→

√

√

3 λ 3 λ 3 − ,1+ − 2 2 2 2

!

∈ R2 ,

e seja C o c´ırculo centrado em (2,1), que e´ tangenciado em algum dos seus pontos pela reta parametrizada por r . (a) (4,0 pontos) Encontre uma parametriza¸c˜ao de C ; (b) (1,5 ponto) Seja Q o ponto de interse¸c˜ao entre C e a reta parametrizada por r. Encontre a equa¸c˜ao vetorial da reta normal ao c´ırculo C, que passa pelo ponto Q. Solu¸ca ˜o: (a) Consideremos a > 0 e seja C : (x − 2)2 + (y − 1)2 = a2 o c´ırculo procurado. Ponhamos 3

√

√

x = x(λ) = − λ 2 3 e y = y(λ) = 1 + 23 − λ2 para cada λ ∈ R. Da´ı, (x0 , y0 ) ∈ R2 pertence 2 a` reta parametrizada por r se, e somente se, existir λ0 ∈ R tal que √ 3 − 2x0 √ = λ0 = 2 + 3 − 2y0 , 3

isto ´e, x0 =

√

3y0 −

√

3.

Em particular, supondo que (x0 , y0 ) ∈ C, temos √ √ ( 3y0 − 3 − 2)2 + (y0 − 1)2 = a2 , que equivale a

√ √ 4y02 − (8 + 4 3)y0 + (8 + 4 3 − a2 ) = 0.

Da´ı, para que a reta parametrizada por r seja tangente a` C no ponto (x0 , y0 ), ´e necess´ario e suficiente que o discriminante da u´ltima equa¸c˜ao de segundo grau acima, dado por √ √ ∆ = (8 + 4 3)2 − 4 · 4(8 + 4 3 − a2 ) = −16 + 16a2 , seja igual a zero. Como

16 =1 16 e√a > 0, resulta que a = 1, ou seja, C ´e o c´ırculo centrado P = (2, 1) que tem raio igual a 1. Finalmente, γ : t ∈ [0, 2π] 7−→ (2 + cos t, 1 + sen t) ∈ R2 ∆ = 0 ⇐⇒ a2 =

´e uma parametriza¸c˜ao de C .

C´alculo III

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(b) Pelo item (a), o ponto Q = (x0 , y0 ) no qual o c´ırculo C ´e tangenciado pela reta parametrizada por r, tem suas coordenadas satisfazendo √ √ 4y02 − (8 + 4 3)y0 + (8 + 4 3 − a2 ) = 0.

e

x0 =

√

3y0 −

√

3,

onde a = 1. Resolvendo a primeira dessas equa¸c˜oes, temos √ √ 3 (8 + 4 3) ± 0 . = 1+ y0 = 2 2·4

Consequentemente,

x0 = 

√

√

√ ! √ 3 3 3 1+ − 3= . 2 2



Da´ı, Q = 32 , 1 + 23 . Agora, como a reta normal a` curva C em Q e´ perpendicular a` reta √ parametrizada por r = r(λ√), que tem vetor diretor ~u = (− 3, −1), segue que tal reta normal deve ter o vetor ~v = (1, − 3) como vetor diretor. Portanto, a equa¸c˜ao vetorial da reta normal ao c´ırculo C, que passa pelo ponto Q, ´e dada por r1 (λ) = Q + λ~v =

√ ! √ 3 3 + λ(1, − 3) = ,1+ 2 2

√ ! √ 3 3 + λ, 1 + −λ 3 , 2 2

onde λ ∈ R. Quest˜ ao 2 (4,5 pontos) Seja C a curva obtida pela interse¸c˜ao das superf´ıcies S1 e S2 , dadas por 3x − 2z 3 = 0 e y − z 2 = 0, respectivamente. Nessas condi¸c˜oes: (a) (1,5 ponto) Encontre uma parametriza¸c˜ao para C, indicando o intervalo onde a mesma est´a definida. (b) (1,5 ponto) Encontre a equa¸c˜ao vetorial da reta tangente a` curva C, que passa pelo ponto P = (18, 9, 3). (c) (1,5 ponto) Calcule o comprimento de C, da origem at´e o ponto P = (18, 9, 3). Solu¸ca ˜o: (a) Para cada (x, y, z) ∈ C = S1 ∩ S2 , sabemos que x=

2z 3 e y = z2. 3

Portanto, a fun¸c˜ao vetorial γ : R −→ R3 , definida por γ(t) =

2t3 2 ,t ,t 3

!

´e uma parametriza¸c˜ao para C . Fundac ¸a˜o CECIERJ

Cons´orcio CEDERJ

C´alculo III

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(b) Seja γ como no item anterior. Como γ(3) = (18, 9, 3) = P e γ ′ (t) = (2t2 , 2t, 1) para todo t ∈ R, deduzimos que r(λ) = γ(3) + λγ ′ (3) = (18, 9, 3) + λ(18, 6, 1) = (18 + 18λ, 9 + 6λ, 3 + λ) (λ ∈ R) ´e a equa¸c˜ao vetorial da reta tangente `a curva C, que passa pelo ponto P . (c) O comprimento do arco de C, que liga a origem ao ponto P , ´e dado por ℓ(C) =

Z 3 0

′

kγ (t)kdt =

Z 3√ 0

4t4 + 4t2 + 1dt =

Z 3 0

(2t2 + 1)dt = 21

(unidades de comprimento), observando que γ(0) = (0, 0, 0) e γ(3) = P .

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