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Unidad 5...

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Primer Cuatrimestre de 2017

Departamento de tecnología y administración

Carrera: Ingeniería en Informática

Asignatura: Física I

Guía Teórico-Práctica Nº 5

[Procesos Mecánicos] Estudiando las acciones sostenidas en el tiempo y el espacio Elaboración: Juan Cruz Moreno Gustavo Montero Paulina Armagno

Física I Procesos Mecánicos1

Índice Introducción .................................................................................................................................. 2 1. Impulso de una fuerza .......................................................................................................... 3 2. Relación entre Impulso y Cambio de Estado ........................................................................ 3 3. Trabajo de una fuerza........................................................................................................... 6 4. Relación entre Trabajo y Cambio de Estado......................................................................... 7 5. Resumen de Procesos y Cambios de Estado ...................................................................... 11 6. Fuerzas Conservativas ........................................................................................................ 11 7. Energía Mecánica ............................................................................................................... 13 8. Conservación de la Energía Mecánica ................................................................................ 14 9. Problemas y Ejercicios ........................................................................................................ 19

Introducción Ya hemos avanzado mucho en la capacidad de estudio de movimientos de traslación. A partir de la Cinemática establecimos cómo describir los movimientos de traslación y definimos a la velocidad como variable que identifica el estado de movimiento. Mediante la Dinámica establecimos que los cambios de estado de movimiento del objeto de estudio se producen a partir de acciones del entorno sobre el mismo. En este pasaje de Cinemática a Dinámica debimos incorporar a la masa como variable relevante en presencia de interacciones de modo tal que nuestro modelo de partícula incorporó la masa y establecimos una nueva función de estado que representa este punto: la cantidad de movimiento. Además establecimos una serie de herramientas metodológicas como Marco de Referencia y Sistema de Coordenadas. Dentro de los posibles Marcos de Referencia, establecimos que solo en aquellos que llamamos Inerciales se podía vincular las acciones del entorno con los cambios de estado dinámico del objeto. Estos análisis están formalizados en las Leyes de Newton, base central de la Mecánica. Las Leyes de Newton nos están definidas instante a instante. Es decir que cuando hablamos de las acciones del entorno nos referimos a un dado instante de tiempo, en ese instante el estado cambia. De manera similar, hablamos de la aceleración en un instante de tiempo, etc. Sin embargo esto no resulta muy simple de utilizar cuando las acciones del entorno están cambiando en el tiempo, porque esto implicaría establecer la Segunda Ley en todos los instantes. No es que no pueda hacerse sino que es muy molesto!!. Por ejemplo si 1

Este documento incorpora muchas discusiones y acuerdos planteadas dentro del Taller de Enseñanza de Física, modalidad de la materia Física General para Ciencias Naturales, dependiente de la Facultad de Ciencias Exactas y Facultad de Ciencias Naturales y Museo d e la Universidad Nacional de La Plata, de la cual uno de los autores - Juan Cruz Moreno – es docentes desde 1998 y actualmente ocupa el cargo de Profesor Adjunto.

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Física I queremos estudiar las acciones sobre el carrito de una montaña rusa en una dada trayectoria (Figura 1), deducimos que la acción del riel sobre el carrito cambia en cada instante, tanto en dirección como en módulo. Para estudiarlo con las herramientas vistas hasta ahora y tendríamos que hacer los diagramas de fuerzas en cada instante. Esto claramente nos entorpece mucho Figura 1: Carrito en una montaña rusa. El los estudios. Para poder operar con mayor estudio de la acción del riel sobre el carrito simpleza, usaremos el concepto de proceso. en una trayectoria es muy complejo porque la fuerza del riel sobre el carrito cambia Llamaremos proceso a la acción sostenida en un instante a instante. intervalo de tiempo o de espacio. Como uno observa los estados y cambios de estado del Objeto de estudio y no las interacciones, obviamente buscaremos la relación entre los procesos y los cambios de estado (representado por las funciones de estado). El concepto de proceso es ampliamente utilizado en varios Marcos Teóricos de la Física como la Fluidodinámica, la Termodinámica, etc. En Proceso: acción del entorno esta guía se presentarán los procesos mecánicos sostenida en un intervalo de Impulso y Trabajo.

tiempo o espacio.

1. Impulso de una fuerza

Recuadro 1: Proceso.

Para estudiar el cambio de estado dinámico en un intervalo de tiempo usaremos el concepto de Impulso. Definiremos el Impulso  de una Fuerza entre los instantes y como  ∫ 

()

Es evidente que el Impulso es un vector, por lo cual deberemos trabajarlo oportunamente en componentes. Lo otro evidente es que es una integral, este hecho nos está diciendo como actúa la fuerza en un intervalo de tiempo. También debemos interpretar que el Impulso es otra manera de interpretar la acción del entorno sobre el Objeto de Estudio, particularmente es una acción sostenida en el tiempo

2. Relación entre Impulso y Cambio de Estado Hasta ahora el concepto de Impulso resulta una definición más, nos resta encontrarle un sentido más profundo. Este sentido aparece cuando analizamos el Impulso Total (Impulso de la Fuerza Neta) sobre el Objeto de estudio, o lo que es lo mismo la suma de los Impulsos sobre el Objeto de Estudio. De acuerdo a nuestra definición de Impulso tendremos el Teorema del Impulso y la Cantidad de Movimiento que se expresa como

3

Física I 𝐼𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙

()

𝑝

donde  ( ) ( ) representa la diferencia entre los estados (representados por la cantidad de movimiento) en los instantes inicial y final . La deducción de la expresión ( ) la dejamos para estudiarla con detenimiento en el recuadro Deducción I.

En la expresión ( ) al signo igual matemático le podemos asignar nuevamente un sentido físico, el de interpretarlo como una frontera. La que separa el entorno (dado por  ) del Objeto de Estudio (dado por ).

Pero además esta expresión ( ) nos dice algo muy importante, que fue de hecho el sentido de haber definido el Impulso. Podremos ahora sacar conclusiones acerca de la acción del entorno a partir de analizar solamente los estados iniciales y finales de nuestro Objeto de Estudio. Es decir no tendremos que aplicar la Segunda Ley instante a instante, podremos obtener buena parte de nuestras conclusiones a partir de observar los estados iniciales y finales y desconociendo lo que paso en el medio.

Deducción I: Teorema del Impulso y la Cantidad de Movimiento A partir de la definición de Impulso de una fuerza

𝐼 ∫ 𝐹 (𝑡)𝑑𝑡 𝑡

𝑡

Calculamos el Impulso neto o total es decir el Impulso de todas las fuerzas (las 𝑛 fuerzas) que actúan sobre un dado objeto de Estudio en el intervalo comprendido entre 𝑡 y 𝑡 𝐼𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐼  + 𝐼  + ⋯ + 𝐼𝑛 ∫ 𝐹  (𝑡)𝑑𝑡 + ∫ 𝐹  (𝑡)𝑑𝑡 + ⋯ + ∫ 𝐹 𝑛 (𝑡)𝑑𝑡 𝑡

𝑡

𝑡

𝑡

𝑡

𝑡

Por propiedades de la Integración, la suma de las integrales es la integral de la suma, por lo cual tenemos ∫

𝑡 𝑡

𝐹  (𝑡) + 𝐹 (𝑡)+. . + 𝐹𝑛 (𝑡) 𝑑𝑡 ∫

∫

𝑡

𝑑𝑝(𝑡) 𝑑𝑡

𝑑𝑡 ∫

Es decir que en definitiva llegamos a

𝐹 𝑡

𝑖=

𝑖 (𝑡) 𝑑𝑡

𝑛 𝐹  𝑑𝑝 , 𝑖 𝑖= 𝑑𝑡

Recordando la Segunda Ley de Newton 𝑡

𝑛

𝑡

𝑝(𝑡 )

𝑝(𝑡 ) 𝑝(𝑡 ) 𝑝

𝑑𝑝

𝑝(𝑡 )

𝐼𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙

𝑝

Ejemplo: Con mi brazo empujo horizontalmente durante 5 s un libro apoyado sobre una mesada que inicialmente se encontraba en reposo respecto a la mesada. La fuerza de mi brazo

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Física I sobre el libro varía con el tiempo de acuerdo a  ( )

. Durante ese intervalo la en sentido opuesto. La

mesada hace un impulso cuya componente horizontal es de Tierra hace un impulso cuyo módulo es de

.

a) ¿Qué objetos accionan sobre el libro? b) Elijan un sistema de coordenadas y hagan el gráfico de los impulsos sobre el libro c) ¿Cuánto valdrá el Impulso de mi brazo en ese intervalo? d)

¿Cuánto valdrá cada componente de la cantidad de movimiento del libro al terminar el intervalo?

Resolución: Como siempre que resuelvo problemas mecánicos establezco:   



El objeto de estudio (OE), que en este caso será el libro. El modelo para el OE, que será el de partícula con masa considerando que estoy en presencia de interacciones mecánicas. El Marco de Referencia Inercial, que en este caso será el suelo sobre el que se apoya la mesada. Es Inercial porque no está acelerado respecto a la Tierra (que es un buen MRI para este tipo de problemas). Necesito que sea Inercial para que las leyes de Newton tengan validez. Un Sistema de coordenadas con origen en la posición inicial del libro (pero que no se mueve con él) y con eje X positivo en la dirección del movimiento y eje Y positivo en sentido opuesto al del centro de la Tierra.

a) El libro interacciona con la Tierra, la mesada y mi brazo. Desprecio la interacción con el aire. Consecuentemente tendré fuerzas sobre el libro.

Libro

Tierra

Brazo

Masada

3

Y

b) De acuerdo a la definición de Impulso, es un vector cuya dirección y sentido lo da el vector fuerza involucrado. Es decir que graficar Impulsos implica graficar vectores con la dirección de la Fuerza.

𝐼𝑀𝐿 Libro

𝐼𝐵𝐿

c) Para calcular el Impulso de mi brazo sobre el libro recurro a la definición de Impulso,  ∫  ()

Resolvemos la integral |



∫

𝐼𝑇𝐿



(( ) ( ) ) 

5

(

)  

X

Física I Es decir   d) A partir del Teorema del Impulso y la cantidad de movimiento tenemos  

Que en nuestro caso será



 + +



Separando en componentes y en coherencia con el diagrama { Pero como el libro se mueve solo en la dirección horizontal tenemos que reemplazando lo obtenido ( )

( )

{

, y

Como parte del reposo, tenemos que ( ) , así que de definitiva la respuesta es ( )

( )

3. Trabajo de una fuerza Así como consideramos la acción sostenida en el tiempo, también podemos estudiar los procesos que involucran la acción sostenida en el espacio. De hecho esto es algo más usual, porque es más complicado conocer cómo cambian las fuerzas con el tiempo ( ( )) que Y

cómo cambian en el espacio ( ()). Es por eso que podemos definir el Trabajo Mecánico de una fuerza entre las posiciones dados por los puntos y . Para eso pensemos en la trayectoria de un objeto de estudio al que modelizaremos como partícula (Figura 2). Prestemos especial hincapié a la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento que llamaremos ( ) y que obviamente depende del lugar de la trayectoria en la cual la evaluemos. Con esta salvedad definimos el trabajo de una fuerza2 como

∫

()

2

𝑭

𝑭𝒅 𝒔𝟏

𝒔𝟐 X

Figura 2: Trayectoria de un objeto modelizado como partícula entre 𝑠 y 𝑠 . Se observa una de las Fuerzas (la fuerza𝐹 ) en un instante intermedio y la componente de esa fuerza en la dirección del desplazamiento (𝐹𝑠 ).

Usaremos la letra para referirnos al Trabajo por la traducción del italiano Lavoro. En muchos textos aparece identificado por la letra de la traducción del inglés Work. Sin embargo usaremos para identificar específicamente en Termodinámica el Trabajo por cambio de volumen.

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Física I El parámetro de integración marca cuál es la longitud de la trayectoria recorrida desde la posición que refiere hasta . Básicamente la definición de trabajo implica que debemos considerar solamente la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento. Es decir que una fuerza perpendicular al desplazamiento no realiza trabajo. Y obviamente el sentido de la fuerza definirá si la componente será negativa o positiva, de manera tal que si la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento tiene el mismo sentido que el desplazamiento será positiva y si la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento tiene sentido contrario al desplazamiento será negativa. Si bien Impulso y Trabajo son procesos, esto explicitado en ambos casos en forma de integral, hay una clara diferencia entre ellas además de la variable de la integración: mientras que el Impulso es un vector, el Trabajo es un escalar.

4. Relación entre Trabajo y Cambio de Estado Nuevamente caemos en la misma sensación: el Trabajo parece no tener mucha más utilidad que el de pensar las acciones sostenidas en el espacio (lo cual es un gran paso). Sin embargo no se observa todavía la vinculación con los cambios de estado, al menos no está explícita. Al igual que en el caso del proceso Impulso, esta vinculación aparece cuando estudiamos el Trabajo Total (Trabajo de la Fuerza Neta) sobre el Objeto de estudio, o lo que es lo mismo la suma de los Trabajos sobre el Objeto de Estudio. Tendremos entonces el llamado Teorema del Trabajo y la Energía Cinética que plantea: 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙

𝐸𝑐

()

donde llamaremos a la Energía Cinética de la partícula y está definida por o lo que es lo mismo por

.

Puede que surja entonces la pregunta ¿qué es la energía? La respuesta, siempre en el ámbito de la Física, es que la energía es una función de estado. Nos representa cómo se encuentra el Objeto de Estudio en términos de su movimiento y en presencia de interacciones. Este hecho resulta obvio a partir de que la energía cinética está definida en términos de la cantidad de movimiento  (la variable de estado dinámico) y la masa . Estableceremos la energía cinética como la función de estado que usaremos en el estudio de procesos. Esto no debería ser frustrante en lo más mínimo, pese a que se tiende a buscar un correlato con algo más tangible que una función. Es que si nos detenemos a pensar, no solo la energía es una función construida dentro de un Marco teórico, sino que la gran mayoría de las variables y funciones establecidas (velocidad, aceleración, cantidad de movimiento, fuerza, etc.) son también construcciones teóricas, es decir no “existen” en la Naturaleza, solo existen dentro de un Marco teórico. Por último la energía se mide en el sistema MKS de unidades en Joules ( ) que tiene equivalencia . Volviendo a la expresión ( ), podemos ahondar un poco más en lo que plantea. Para empezar, al igual que en la expresión ( ) podemos identificar que al signo igual matemático le podemos asignar un significado físico, el de representar la frontera entre el entorno ( ) y el objeto de estudio ( ).

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Física I Por otro lado debemos tener en claro que lo más importante que nos plantea la expresión ( ) es que nos refuerza la idea planteada a partir de la Segunda Ley de Newton pero esta vez ampliada a intervalos en el espacio: la suma de los procesos trabajo (que son acciones sostenidas en el espacio) ocasionan la variación del estado del objeto de estudio, es decir si tengo una energía cinética diferente a la inicial, este cambio se debió a acciones del entorno.

Deducción II: Teorema del Trabajo y la Energía Cinética Esta deducción muy similar a la anterior. A partir de la definición del Trabajo de una fuerza 𝑉 ∫ 𝐹𝑑 (𝑠) 𝑑𝑠 𝑠

𝑠

i. Calculamos el Trabajo neto o total es decir el trabajo de todas las fuerzas (las 𝑛 fuerzas) que actúan sobre un dado objeto de Estudio en la trayectoria entre 𝑠 y 𝑠 𝐿𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐿 + 𝐿 + … + 𝐿𝑛 ∫ 𝐹𝑑 (𝑠)

𝑑𝑠 + ∫ 𝐹𝑑 (𝑠) 𝑑𝑠 + ⋯ + ∫ 𝐹𝑑 𝑛 (𝑠) 𝑑𝑠

𝑠

𝑠

𝑠

𝑠

𝑠

𝑠

ii. Por propiedades de la Integración, la suma de las integrales es la integral de la suma, por lo cual tenemos

∫ 𝐹𝑑 (𝑠) + 𝐹𝑑 (𝑠) + ⋯ + 𝐹𝑑 𝑛 (𝑠)

𝑑𝑠 ∫

𝑠

𝑠

componente paralela al desplazamiento

𝑑𝑠 ∫

𝑠 𝑑𝑝 𝑠

𝑠

𝑑𝑝  𝑛  , 𝑖= 𝐹 𝑖 (𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑝𝑠 𝑛 𝑖=𝐹𝑑 𝑖 𝑑𝑡

iii. Recordando la Segunda Ley de Newton

∫

𝑠

𝑛

𝐹𝑑 𝑖 (𝑠)

𝑑𝑠

𝑖=

en este caso para la

𝑝(𝑠 )

𝑑𝑠 𝑑𝑝𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑠 𝑝(𝑠 ) Donde este último paso lo hemos hecho a partir de una propiedad de las derivadas y los diferenciales. 𝑑𝑠 iv. Considerando que 𝑑𝑡 representa el cambio infinitesimal de la longitud de la trayectoria respecto al tiempo, es decir que estamos hablando de la rapidez 𝑣 , que podemos 𝑝 escribir en función de la cantidad de movimiento como 𝑣 𝑚. Con lo cual tenemos ∫

𝑝(𝑠 )

𝑝(𝑠 )

𝑑𝑝𝑠

𝑝

𝑚 v. Como 𝑝 como vector tiene el mismo sentido que 𝑣, y este último siempre tiene la dirección del desplazamiento, hablar de 𝑑𝑝𝑠 es lo mismo que hablar de 𝑑𝑝 . Si además la masa es constenate (sale fuera de la integral), tenemos entonces 𝑚

∫

𝑝(𝑠 )

𝑝(𝑠 )

𝑝 𝑑𝑝

𝑝 𝑚

vi. Es decir que en definitiva llegamos a

𝑝(𝑠 )

|

𝑝(𝑠 )

𝐿𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙

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𝑝

𝑝 𝑚

𝐸𝑐

𝑚

𝐸𝑐 𝐸𝑐

Física I Ejemplo: En una mudanza poco común los empleados hacen deslizar una heladera de 70 kg con aceleración constante de 3,6 m/s2 por un plano inclinado 30° con respecto a la horizontal, cuya superficie posee un coeficiente de roce desconocido. Estudiando desde que la heladera posee rapidez de 0.1 m/s respecto al suelo, la heladera recorre 4.2 m a lo largo del plano. a) Determiná el trabajo realizado por la tierra. b) ¿Cuál de las dos componentes de la fuerza que realiza el plano inclinado sobre la heladera realiza trabajo? ¿Por qué? c) Calculá el trabajo hecho por el plano inclinado. d) Calculá el trabajo total hecho sobre la heladera. e) Calculá la velocidad de la heladera al final de ese recorrido.

Resolución: Una vez más, para resolver problemas mecánicos establezco las herramientas metodológicas:

 



El objeto de estudio (OE), que en este caso será la heladera. El modelo para el OE, que será el de partícula con masa considerando que estoy en presencia de interacciones mecánicas. El [unto que representa a la heladera está en el centro de ella. El Marco de Referencia Inercial, que en este caso será el plano inclinado. Es Inercial porque no está acelerado respecto a la Tierra (que es un buen MRI para este tipo de problemas). Necesito que sea Inercial para que las leyes de Newton tengan validez.

θ



Un Sistema de coordenadas con origen en la posición inicial de la heladera (pero que no se mueve) y con eje X positivo en la dirección del movimiento y eje Y positivo en sentido perpendicular.



La heladera interactúa con el plano inclinado, y la Tierra, por lo que solo tendré dos fuerzas. La heladera no está en situación de equilibrio, y eso debe estar representado. Y<...