6 Capacidad Electrica - ejercicios con solucion PDF

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ejercicios con solucion...

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6. CAPACIDAD ELÉCTRICA PROBLEMA 41. En el circuito de la figura, los con-

T2

densadores están inicialmente descargados y los A

interruptores abiertos. Luego se cierra T1, lo cual

D

permite cargar los condensadores. Enseguida se

C0

3C0

2C0

vuelve a abrir T1 , después de lo cual se procede a

T3

cerrar T2 y T3 . ¿Cuál es la diferencia de potencial

T1

entre A y D después de la última operación?

V0

SOLUCIÓN Al conectar T1 , los tres condensadores se cargan en serie, es decir, todos adquieren la misma carga q . Luego:

q C0

V0 de lo que resulta : q

q 2C0

q 3C0

,

6 1 1 C0 V0 . Esta es la carga con la cual quedan cada uno de los con-

densadores al desconectar nuevamente T 1. Justo antes de conectar T 2 y T3 , la situación es la indicada en la figura siguiente: –q

+q C0

+q

Nótese que al conectar T 2 y T3 , los tres condensado-

A

res quedan en paralelo. Las placas ubicadas al lado

T2

derecho en la figura quedarán conectadas entre sí, estarán finalmente al mismo potencial (ya que tanto

–q

ellas como los alambres que las unen son conductores)

2C0

y tendrán una carga neta igual a

T3 –q

q , que deberá re-

partirse entre ellas. Un razonamiento análogo indica

+q

D

que las placas del lado izquierdo tendrán una carga

3C0

q a repartirse entre ellas. Lo anterior es una aplicación de la conservación de la carga eléctrica. Si q1 , q 2 y q3 son las cargas finales en los condensadores (placas del lado derecho) de capacidades C0 , 2C 0 y 3C 0 respectivamente; entonces :

q1

q2

q3

q 75

q

q

q

76

Electromagnetismo Problemas y Soluciones

Si V es la diferencia de potencial final entre A y D ; entonces lo anterior queda :

C0V luego :

V

2C0V

3C0 V

q

q , 6 C0

reemplazando q , obtenido anteriormente, resulta:

PROBLEMA 42.

V

6 C V g 1 1 1 0 0 6 C0

V

1 V 11 0

V0 11

Se conecta una batería a

los bornes a y b , estableciéndose entre ellos

C1

2C1 c

cierta diferencia de potencial. Luego se desconecta la batería. ¿Qué fracción de la energía

•

ƒ

eléctrica del sistema se pierde al conectar c a

con d ?

b 2C1

SOLUCIÓN: En

Q

d

‚

cada

CV

C1

V

capacitor

Q, luego : C

V1

Q1 C1

V2

Q2 C2

Q2 2 C1

V3

Q3 C3

Q3 2 C1

V4

Q4 C4

Q4 C1

se

cumple

que

„

77

6. Capacidad Eléctrica

Al aplicarse una diferencia de potencial entre los puntos a y b, los capacitores

• y ƒ se

cargan en serie. Esto mismo es válido para los capacitores ‚ y „ . Por lo tanto se cumple que :

Q1

Q3

V1 V3 Va b V

;

Q2

;

V2 V4 Va b V

Q4

reemplazando los valores de V 1 , V 2 , V3 y V 4 se tiene:

Q1 C1 Q2 2 C1

2 C 1V 3

Q3 2 C1

V

Q1

Q3

Q4 C1

V

Q2

Q4

luego

Q1

Q2

Q3

2C V 3 1

Q4

2 C 1V 3

Calculamos ahora la energía del sistema: 2

2

U

1 Q1 2 C1

U

1 2 C1V 2 3

U

2 C 2V 2 g 3 C1 9 1

2

1 Q2 2 2C 1 2

1 Q3 2 2C 1

1 C1

1 2C1

2

1 Q4 2 C1 1 C1

1 2C1

2C V 2 3 1

Otro método para determinar la energía del sistema es calculando la capacitancia equivalente. Para los capacitores • y ƒ en serie; se tiene :

1 Ce q .

1 C1

1 2C1

Análogamente para los capacitores ‚ y „ se tiene:

3 2C 1 Ce q. 2

Ce q . 1

2C 1 . 3

2 C1 . 3

La capacitancia equivalente total corresponde a los capacitores equivalentes 1 y 2 en paralelo :

C e q.

2C1 3

2C1 3

4C1 . 3

78

Electromagnetismo Problemas y Soluciones

Entonces, 2

U

1 g 4 C1 V 2 3 2

1 C V2 2 eq.

2C V2 . 3 1

Al conectar c con d que inicialmente están a distintos potenciales, se redistribuye la carga en los capacitores. En las placas conectadas al punto a debe conservarse la carga eléctrica :

ql1

q 2l

Q1

Q2 .

Además los capacitores • y ‚ quedan con la misma diferencia de potencial:

V1l Por lo tanto

V 2l ql1

ql1 C1 2 q1l 3q1l

ql2 , 2C1 Q1

es decir,

2q1l

q2l .

q1l

4C V 9 1

q2l

8 C1 V 9

Q2

2CV 3 1

2C V 3 1

Análogamente puesto que en las placas conectadas al punto b se conserva la carga eléctrica y los capacitores ƒ y „ quedan con la misma diferencia de potencial; se obtiene:

ql4

4C V 9 1

y

ql3

8C V . 9 1

La energía eléctrica final es :

Ul

4 C1 V 9 2 g C1

2

2

8 CV 9 1 2 g 2 C1

2

48 2 C V . 81 1

La fracción de la energía eléctrica que se pierde es :

U U

Ul

U U

2 C1V 2 48 C1V 2 3 81 2 C1V 2 3

1 . 9

La energía que pierde el sistema de capacitores se transforma en radiación electromagnética y también se disipa por efecto Joule. Es un proceso complejo de naturaleza semejante al que da origen al trueno, al relámpago y el rayo en una descarga entre nubes.

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6. Capacidad Eléctrica

PROBLEMA 43. Una placa metálica de área A y espesor s/2 se introduce entre las placas de un condensador plano de área A y separación entre placas igual a s. Estudiar los cambios que ocurren en la capacidad, la carga, la diferencia de potencial y la energía almacenada en el condensador, en las dos situaciones siguientes: (a) La carga del condensador se mantiene constante. (b) La diferencia de potencial del condensador se mantiene constante.

SOLUCIÓN (a) Carga constante. Antes de introducir la placa metálica, las cantidades que nos interesan son: Carga

Q0

Capacidad

0

A s

C0

Diferencia de potencial

Q0 C 0

Energía almacenada

Q0 2C 0

2

Campo eléctrico entre las placas

V0 U0 0

Q0 A

0

Al introducir la placa metálica, el campo eléctrico entre las placas del condensador debe modificarse, ya que en todo el volumen de la placa éste debe ser cero (conductor en condiciones electrostáticas).

r

Para lograr que E

0 en el interior de la placa metálica, en ella debe reordenarse su carga

eléctrica de modo que cree un campo eléctrico de igual magnitud y sentido contrario al campo producido por las placas del condensador. Evidentemente, la carga inducida en la placa metáli-

80

Electromagnetismo Problemas y Soluciones

ca residirá sobre sus superficies paralelas a las placas del condensador y tendrá las magnitudes indicadas en la figura :

r

De esta manera se logra que E

0 en el interior de la placa metálica, y en el espacio

comprendido entre las placas del condensador, fuera de la lámina metálica, el campo eléctrico no se altera respecto a su valor antes de introducir el conductor. Luego, no hay energía eléctrica almacenada en la región ocupada por la placa metálica, ya que allí

0 y la densidad de energía eléctrica es u

E

1 2

0

E 2 . En consecuencia, la

energía final del condensador es:

U

1 2

0

s x 2

E2 gA x

1 2

Q02 s A g 2 2 2 A 0

0

Q20 g s 2 g Ag 2g

0

2

U

Q0 A g2 2g 0 s

Si C es la capacidad del condensador con la placa metálica introducida; entoncesU también debe ser igual a Q02 2C , luego :

Q20 2C

Q20 A 2g 0 g2 s

C

La diferencia de potencial final es :

2g

0

s

V

A

2C0

Q0 C

y

U

Q0 . 2 C0

En resumen :

C

2 C0

;

U

1U 2 0

;

V

1V . 2 0

Q02 2 g 2C0

1U . 2 0

81

6. Capacidad Eléctrica

(b) Diferencia de potencial constante. La capacidad del condensador formado al introducir la placa metálica es C

2C 0 , resultado que es aplicable también en este caso, ya que no de-

pende de la diferencia de potencial entre las placas ni de la carga en las placas (recuerde que la capacidad depende de la geometría y del medio dieléctrico). Si V0 es la diferencia de potencial constante entre las placas, entonces antes de introducir la placa conductora tenemos: Diferencia de potencial : V 0 Capacidad : C 0 Carga : Q 0

0

A s

C 0V0

Energía almacenada : U 0

1C V 2 2 0 0

Campo eléctrico entre las placas : E0

V0 s

Una vez introducida la placa tenemos : Diferencia de potencial : V 0

2C 0

Capacidad : C Carga : Q

CV0

2C0 V0

2Q0 1 2 CV0 2

Energía almacenada : U

1 2 C0 V0 g2 2

Campo eléctrico entre las placas : E

E

V0 s2

2 U0

0 (en la región ocupada por la placa metálica) y

2 E0 (en la región no ocupada por la placa metálica).

En resumen:

C

2C 0

;

Q

2Q 0

;

U

2U 0

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Electromagnetismo Problemas y Soluciones

PROBLEMA 44. Las placas de un conductor plano se separan, desde una distancia inicial d hasta una distancia final 2d , manteniendo constante la carga en las placas. Estudiar los cambios de capacidad, diferencia de potencial, energía almacenada y el trabajo realizado por el agente externo que separa las placas. SITUACIÓN F INAL

SITUACIÓN I NICIAL

+Q0

+Q0 d

2d

–Q0 –Q0

SOLUCIÓN Suponiendo que la separación entre las placas es pequeña, entonces el campo eléctrico entre las placas puede considerarse uniforme y los efectos de dispersión pueden despreciarse. Luego: (b) Situación final :

(a) Situación inicial :

E

E0 0

0

V0

E0d

V

E g 2d

C0

0

A d

C

A 2d

U

Q02 2C

2

U0

Q0 2C0

En consecuencia tenemos que : (a)

El campo eléctrico no cambia: E

(b)

La diferencia de potencial se duplica : V

(c)

La capacidad disminuye a la mitad : C

(d)

La energía almacenada aumenta al doble : U

E0 2 V0 1C 2 0 2U 0

0

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6. Capacidad Eléctrica

Todos los cambios anteriores son el resultado de separar las placas al doble, manteniendo constante la carga Q0 en las placas (lo que implica mantener

constante).

Además, el cambio en la energía del sistema es debido al trabajo efectuado por el agente externo que separa las placas. Puesto que la única forma de energía asociada con el sistema es la energía potencial eléctrica almacenada entre las placas; entonces,

U

U U0

W

luego : 2

W

2U 0 U 0

U0

Q0 2C0

,

es el trabajo efectuado por el agente externo.

PROBLEMA 45. Las placas de un condensador plano se separan, desde una distancia inicial d hasta una distancia final 2d , manteniendo constante la diferencia de potencial entre las placas. Estudiar las mismas cantidades del problema anterior, es decir, los cambios de capacidad, diferencia de potencial, energía almacenada y el trabajo efectuado por el agente externo que separa las placas. SITUACIÓN INICIAL

V0

d

SITUACIÓN F INAL

V0

2d

SOLUCIÓN Haciendo las mismas consideraciones que en el problema anterior, es decir, considerando que d es pequeño y los efectos de dispersión en los bordes son despreciables, tenemos :

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Electromagnetismo Problemas y Soluciones

(a) Situación inicial :

E0 C0 q0 U0

(b) Situación final :

V0 d

E

V0 2d

A d

C

A 2d

C 0V 0

q

0

1C V 2 0 0 2

U

0

CV0 1 CV 2 0 2

En consecuencia tenemos que : (a)

El campo eléctrico disminuye a la mitad :

(b)

La capacidad disminuye a la mitad :

(c)

La carga disminuye a la mitad :

(d)

La energía almacenada disminuye a la mitad :

E

1E 2 0

1 C 2 0

C 1q 2 0

q

U

1U 2 0

En esta situación los resultados son muy diferentes a los del problema anterior, donde la separación se hacía a carga constante. La consecuencia de mantener constante la diferencia de potencial entre las placas es, en este caso, que la capacidad, la carga, la energía almacenada y la magnitud del campo eléctrico, disminuyen a la mitad. En cuanto al cambio en la energía electrostática del condensador, éste debe ser igual al trabajo total efectuado sobre él por agentes externos. Esta vez, además del agente encargado de separar las placas, hay otro agente que es la batería encargada de mantener constante la diferencia de potencial entre las placas. Entonces :

U

WF

1U 2 0

,

Wb

donde

U

U U0

1U U 0 2 0

W F es el trabajo que efectúa el agente que separa las placas y W b es el trabajo efectuado por la batería.

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6. Capacidad Eléctrica

La batería mueve una carga

q a través de una diferencia de potencial V 0, efectuando un

trabajo Wb igual a :

Wb Wb

V0 g q V 0 q q 0 1q V 2 0 0

1C V 2 2 0 0

V0 1q 0 q 0 2 U0

.

Wb es negativo puesto que la batería traslada una carga otro menor. Al reemplazar los valores de

1 q desde un potencial mayor a 2 0

U y W b en la ecuación

U

WF

Wb ; encon-

tramos :

WF

1U 2 0

1C V 2 4 0 0

Note que el trabajo efectuado por el agente externo que separa las placas es positivo, sin importar si es la carga o la diferencia de potencial la que se mantiene constante. Esto es así pues las placas tienen cargas de signos opuestos y se atraen entre sí.

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Electromagnetismo Problemas y Soluciones...